Relations d’ordre
˛ une relation d’ordre, a isomorphisme pr es Dans la suite, on travaillera, sans le repr eciser a chaque fois, dans un ensemble Ad’ensembles bien ordonn es, de sorte que, restreinte a A, 4 soit une ˝ vraie ˛ relation d’ordre (3) Montrer que 4 est un ordre total (4) Montrer que 4 est un bon ordre 4
Relation binaire, relation dordre, treillis
Relation d’ordre Definition:´ Une relation sur X ∼ qui est reflexive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre ´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ≤ a` la place de ∼ Si (x,y) ∈ X2, x et y seront comparables si x ≤ y ou y ≤ x
1 Relations d’´equivalence et d’ordre
La relation R est-elle r´eflexive, sym´etrique, transitive ? Exercice 6 Dans N∗, on d´efinit une relation
SUITESRECURRENTESLINEAIRES D’ORDRE2
2 ∆ = 0 L’équation caractéristique possède une solution double notée r Dans ce cas u appartientàU sietseulements’ilexiste(λ,µ) ∈R2 telque: ∀n∈N,u n = (λn+ µ)rn 3 ∆
RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer que est une relation d’ordre 2 On admettra qu’il s’agit d’une relation d’ordre totale Classer par ordre croissant les dix premiers couples de muni de la relation d’ordre Allez à : Correction exercice 18 : Exercice 19 : Soient une relation définie sur par : ( ) ( ) 1 Montrer que est une relation d’équivalence 2
TD 2 : Relations d’ordre et d’ equivalence
Montrer que jest une relation d’ordre sur N Est-ce un ordre total? 2 Montrer que N muni de cet ordre admet un plus petit el ement et un plus grand el ement Comparer ces r esultats a ce que l’on a dans N muni de l’ordre naturel Exercice 6 : Pour tout x 2R et tout y 2R, on pose xRy ()x2 y2 = x y: 1 Montrer que Rest une relation d
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
a) Montrer que 4o est une relation d’ordre b) Montrer que si E possède au moins deux éléments, 4 o n’est pas totale 2) On définit un relation 4 ∗ sur E × E par :
Induction, relations et ordres bien fondés
Montrer qu’une relation qui a la propriété du diamant est confluente Donner un exemple de relation confluente qui n’a pas la propriété du diamant Exercice 8 Prouver qu’un relation fortement confluente est confluente Exercice 9 Deux relations R;S A A commutent si: a S / R b R c S /d Soient R;S A A Prouver que R S S est
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Exo7
Relation d"équivalence, relation d"ordre
1 Relation d"équivalence
Exercice 1DansCon définit la relationRpar :
zRz0, jzj=jz0j: 1.Montrer que Rest une relation d"équivalence.
2. Déterminer la classe d"équi valencede chaque z2C.Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy()xey=yexest une relation d"équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d"éléments de la classe dexmoduloR.
Exercice 3Soit(E;6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)nf/0gla relationparXYssi(X=You8x2X8y2Y x6y):
Vérifier que c"est une relation d"ordre.
Indication pourl"exer cice1 NUn dessin permettra d"avoir une bonne idée de ce qui se passe...Indication pour
l"exer cice2 N1.Pour la transiti vitéon pourra calculer xyez.
2.Poser la fonction t7!te
t, après une étude de fonction on calculera le nombre d"antécédents possibles.2 Correction del"exer cice1 N1.Soient z;z0;z00des complexes quelconques.Reflexivité :zRzcarjzj=jzj.
Symétrie :zRz0)z0Rzcarjzj=jz0jet doncjz0j=jzj.
Transitivité :zRz0etz0Rz00alorsjzj=jz0j=jz00jdonczRz00. En fait, nous avons juste retranscrit que l"égalité "=" est une relation d"équivalence. 2.La classe d"équi valenced"un point z2Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation avecz,i.e.
l"ensemble des complexes dont le module est égal àjzj. Géométriquement la classe d"équivalence dez
est le cerlceCde centre 0 et de rayonjzj: C=n jzjeiq=q2Ro :Correction del"exer cice2 N1.• Refle xivité: Pour tout x2R,xex=xexdoncxRx. Symétrie : Pour x;y2R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. T ransitivité: Soient x;y;z2Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey. Calculonsxyez: xye z=x(yez) =x(zey) =z(xey) =z(yex) =yzex: Doncxyez=yzex. Siy6=0 alors en divisant paryon vient de montrer quexez=zexdoncxRzet c"est fini. Pour le casy=0 alorsx=0 etz=0 doncxRzégalement. 2. Soit x2Rfixé. On noteC(x)la classe d"équivalence dexmoduloR:C(x):=fy2RjyRxg:
DoncC(x) =fy2Rjxey=yexg:
Soit la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(t) =te t: AlorsC(x) =fy2Rjf(x) =f(y)g:
Autrement ditC(x)est l"ensemble desy2Rqui parfprennent la même valeur quef(x); en raccourci :C(x) =f1(f(x)):
Étudions maintenant la fonctionfafin de déterminer le nombre d"antécédents: par un calcul def0on
montrer quefest strictement croissante sur]¥;1]puis strictement décroissante sur[1;+¥[. De plus
en¥la limite defest¥,f(1) =1e , et la limite en+¥est 0.