Leçon 0402C Budget des ventes - totaux et moyennes mobiles
m2 = 1 / 4 x ( 160 + 210 + 150 + 180 ) = 175 ; etc Cette moyenne concerne la période du 1 er trimestre N-2 et 4 ème trimestre N-2 dont la moyenne se situe du 2 ème trimestre et début du 3 ème trimestre Elle n’est pas centrée sur un trimestre Calcul des moyennes mobiles centrées [M] de deux moyennes non centrées [m]
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mobile à 20 jours donne le cours moyen sur les vingt dernières séances, une moyenne mobile à 50 semaines donne le cours moyen hebdomadaire sur les 50 dernières semaines et ainsi de suite Le choix de la période de référence est primordial dans la mesure où il détermine son aptitude à réagir à des
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2X est une moyenne mobile (2) SiM 1 est d’ordren 1 etM 2 est d’ordren 2, alorsM 1M 2 est d’ordren 1 +n 2 − 1 (3) M 1M 2 = M 2M 1 (Commutativité) (4) SiM 1 etM 2 sont des moyennes mobiles centrées, alorsM 1M 2 est une moyenne mobile centrée (5) Une moyenne mobileM est symétrique ssi le polynôme associé est symétrique (6) SiM
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La moyenne mobile simple donne un poids égal à chaque cours ce qui la Pour chacun des 2 sous ensembles, on calcule la moyenne des t et la moyenne des Moyenne mobile dordre 2 sur la série des moyennes mobiles dordre p La moyenne glissante, ou moyenne
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de degr´e 2 et annulant les composantes saisonni`eres trimestrielles Exercice 11 Soit (X t) un processus stochastique On consid`ere la moyenne mobile suivante : MX t = X t+2 +2X t+1 +2X t +2X t−1 +X t−2 8 1 Exprimer cette moyenne mobile `a l’aide de l’op´erateur B et donner son polynˆome caract´eristique 2
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t∈Z un processus moyenne mobile infinie X t = P i (1 −aL)−1ε t et l’écriture moyenne mobile de ce processus peut-être vue comme un problème
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Les processus AR et MA
MAP-STA2 : Séries chronologiques
Yannig Goude yannig.goude@edf.fr
2020-2021
Contents
Théorème de représentation de Wold 1
Représentation spectrale2
Opérateurs retard et avance 5
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Inversion de polynômes enL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Processus auto-régressif (AR) 7
Processus moyennes mobiles (MA) 10
Processus autorégressifs moyennes mobiles (ARMA) 13 Identification et estimation de modèles ARMA 15Théorème de représentation de WoldCe théorème motive les résultats présentés dans ce chapitre. Nous n"en ferons pas la démonstration pour des
raisons de temps. théorème soit(Xt)t?Z)un processus centré et stationnaire du second ordre, alors on a la décomposition suivante: X t=+∞? j=0ψ jεt-j+Ct, t?Z où •ψ0= 1et?+∞ j=0|ψj|<+∞ •εtest le processus d"innovation deXt •Ctest un processus déterministeles moyennes mobiles s"avèrent donc intéressantes pour modéliser des processus stationnaires. La question
reste alors l"estimation des coefficientsψ. Nous verrons par la suite que certaines familles de modèles
permettent une représentation parcimonieuse de cette moyenne mobile. 1Représentation spectraleNous avons jusqu"à présent étudié les processus stationnaires du second ordre dans leur représentation
temporelle. On peut également s"intéresser à leur représentation dans le domaine des fréquences, approche
largement considérée en traitement du signal, en décomposant le processus en composantes périodiques
aléatoires. Considérons, pour simplifier, le cas des moyennes mobiles infinies. X t=? i?Zθ iεt-i,? i?Z|θi|<+∞ etεtest un bruit blanc de varianceσ2.Ce processus a pour fonction de covariance:
γ(h) =σ2?
i?Zθ iθi-h la sérieγ(h)est absolument sommable (à vérifier). la densité spectrale du processus est la fonction définie par: f(ω) =12π? h?Zγ(h)eiωh,?ω?R cette fonction existe car la série(γ(h)eiωh)h?Zest absolument sommable. D"autre part c"est une fonction réelle carγest paire: f(ω) =12π[γ(0) ++∞? h=1γ(h)(eiωh+e-iωh)] f(ω) =γ(0)2π+1π h=1γ(h)cos(ωh) =12π+∞? h=-∞γ(h)cos(ωh) propriétéconnaitre la fonction d"auto-covariance d"un processus est équivalent à connaitre sa densité
spectrale et on a:γ(h) =?
-πf(ω)cos(ωh)dω=? -πf(ω)eiωhdω preuveà faire propriété soient(Xt)t?Zun processus moyenne mobile infinieXt=? i?Zθiεt-iet(Yt)t?Zle processus défini parYt=? j?ZθjXt-javec? i?Z|θi|<+∞alors on a la relation suivante entre les deux densités spectrales deXetY: f y(ω) =fx(ω)|? j?Zθ jeiωj|2 preuveà faire exemples 2 •bruit blanc: la densité spectrale d"un bruit blanc de varianceσ2est constante et vaut: f(ω) =12π? inversement, siXest un processus stationnaire de densité spectrale constantef(ω) =con a:γ(h) =?
-πccos(ωh)dω= 0,sih?= 0 ce qui est la définition d"un bruit blanc faible. •moyenne mobile d"ordre 1: MA(1). SoitXt=εt+θεt-1: f(ω) =σ22π(1 +θ2+ 2θcos(ω)) •moyenne mobile infinie: MA(∞). soitXt=? j?Zθjεt-j, on a alors:γ(h) =σ2?
j?Zθ2j+|h|
et f(ω) =σ22π|Θ(eiω)|2 avecΘ(z) =?+∞ j=0θjzj,z?C. d"ou:f(ω) =σ22π1|1-θeiω|=σ22π11 +θ2-2θcos(ω)ci-dessous un exemple de densités spectrales obtenues pour deux processus AR(1), de coefficientsθ= 0.3et
θ= 0.9. Le casθ= 0.9fait clairement apparaitre une prédominance des basses fréquentes.set.seed(131)
n<- 1000sigma<- 1/2 eps<-rnorm(n,0,sd=sigma) y03<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.3)),innov=eps) y09<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.9)),innov=eps) par(mfrow=c(2,2)) plot(y03,type=?l?,ylim=range(y03,y09)) spectrum(y03,kernel("daniell",c(3,3 ))) plot(y09,type=?l?) spectrum(y09,kernel("daniell",c(3,3 ))) 3 Time y03
02004006008001000
-4 0 40.00.10.20.30.40.5
0.1 0.5 frequency spectrumSeries: x
Smoothed Periodogram
bandwidth = 0.00284 Time y0902004006008001000
-4 0 40.00.10.20.30.40.5
0.05 5.00 frequency spectrumSeries: x
Smoothed Periodogram
bandwidth = 0.00284Un autre exemple avec le processus:Xt= 2cos(2πt/10) + cos(8πt/10) +εt: 4020406080100
-2 0 2 4 Index X10.00.10.20.30.40.5
0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 frequency spectrumSeries: x
Smoothed Periodogram
bandwidth = 0.0284Opérateurs retard et avanceDéfinition
définitionon appelle opérateur retardLl"opérateur qui associe à un processus(Xt)t?Zle processus(Yt)t?Z
tel queYt=LXt=Xt-1. Cet opérateur est: •linéaire •inversible: son inverse estL-1=Ftel queFXt=Xt+1et est appelé l"opérateur avanceDe plus on a:
L nXt=Xt-n et p? i=1a iLi)Xt=p? i=1a iXt-i séries en Lon peut définir à l"aide de cet opérateur des séries enL(ouF). Soit un processus stationnaire
(Xt)t?Zet une suite(ai)i?Zde nombres réels absolument sommable? i?Z|ai|<∞, alors le processus défini par: Y t=? i?Za iXt-i= (? i?Za iLi)Xt 5 est stationnaire (voir le cours précédant).Inversion de polynômes enL
Avec ces notations le processus AR(1)Yt=aYt-1+εt, avec|a|<1s"écrit ainsi:(1-aL)Yt=εtainsiYt= (1-aL)-1εtet l"écriture moyenne mobile de ce processus peut-être vue comme un problème
d"inversion du polynômex→1-ax. En se rappelant qu"au voisinage de0:11-ax= 1 +ax+a2x2+...+akxk+...
on a: Y t= (∞? i=0a iLi)εtPlus rigoureusement,1-aLest une application de l"ensemble des processus stationnaires dans lui même. La
série?∞ i=0aiétant absolument sommable, la série?∞ i=0aiLiest défnie (|a|<1) et nous avons: i=0a iLi)(1-aL) =∞? i=0a iLi-ai+1Li+1=L0= 1