Pascal Lainé

1 Le nombre complexe (1 ) i10 est imaginaire pur 2 Le nombre complexe 2 13 (1 ) i i est de module 1 et l’un de ses arguments est 7 3 S 3 A est le point d’affixe dans un repère orthonormal L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant ( 1 2 )( 1 2 ) 4z i z i est le cercle de centre A et de rayon 4 Correction 1

Feuille 5 : Nombres complexes

Exercice 5-6 Montrer que tout nombre complexe z6= 1 de module 1 s’écrit sous la forme x+ i x i avec x2R Solution Soit z= a+ ib2C nf1gde module 1

Nombres complexes – Exercices - Physique et Maths

Exercice 12 Exercice 13 Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit Z= z−2i z−1 On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X et Y réels 1 Exprimer X et Y en fonction de x et y 2 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel 3 Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit

Pascal Lainé - Licence de mathématiques Lyon 1

Exercice 5 : Effectuer les calculs suivants : 1 (3+2 )1−3 ) 2 Produit du nombre complexe de module 2 et d’argument ???? 3 par le nombre complexe de module 3 et d’argument −5???? 6 3 Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d’argument ???? 3 par le nombre complexe de module 3 et d’argument −5???? 6 Allez à : Correction

NOMBRES COMPLEXES(Partie 1) - AlloSchool

donc S est bien un nombre réel Exercice13 : dans le plan complexe on considére le nombre complexe uet soit M l’image du nombre complexe z et on pose : U iz z 2 Et z x yi avec x et y 1)écrire en fonction de x et y la partie réel et la partie imaginaire de 2) Déterminer l’ensemble ' des points (????) du plan tels que : est réel

Corrigés dexercices sur les nombres complexes

Interprétation géométrique : la multiplication d'un nombre complexe par i3 z ↦ z i3 consiste en une rotation dont le centre est à l'origine et dont l'angle est 3π 2 Corrigé de l'exercice 2-7 a) Somme de deux nombres complexes w=z1 +z2 4 2-complexes-cor nb Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Série d’exercices Les nombres complexes

Exercice 2 1) Soit θ réel de [0,2 π[, résoudre dans ℂ l’équation P(z) 4z 4cos 1 cos z² 1 cos ² 0= + θ + θ + + θ =4 ( ) ( ) 2 )Mettre P(z) sous la forme d’un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels Exercice 3 Soit le nombre complexe a = i2 e 5 π 1) Vérifier que a5 = 1

exercice Nombres complexes

EXERCICE N°2 Soit a , b et c trois nombres complexes de modules sont égaux à 1 et tel que: a + b + c = 1 Calculer c 1 b 1 a 1 + + EXERCICE N°3 z désigne un nombre complexe différent de 2 i Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O,u,v) (unité graphique: 3 cm) On désigne par A le point d'affixe 2 i

NOMBRES COMPLEXES (II) - Mathovore

I Module et arguments Corrigé Exercice 4 : A a pour affixe a tel que a = 2 et arg ( ) 3 a π = ; B a pour affixe b tel que 3 2 b = et arg ( ) 4 b π = − ; C a pour affixe c tel que c = 2,5 et ( ) 4 arg 3 c π =

TD 3 Nombres complexes

un nombre somme de deux carrés On prend N =a2+b2 et N′ =c2+d2 avec a,b,c,d des entiers En remarquant que N est le module d’un nombre complexe z ainsi que N′, démontrer le résultat Exercice 11 : [corrigé] Soit z un nombre complexe distinct de −i Soit Z = i−z z+i 1

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1 :

Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ߠ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Mettre sous la forme ܽ൅ܾ݅ǡܽǡאܾ

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants

ݖ଼, le nombre de module - గ

ݖଽ le nombre de module ͵ െగ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :

Pour ݖହ, factoriser par ݁

Pour ݖଵ଴, factoriser par ݁

2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.

Indication :

Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ

3. Calculer

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Effectuer les calculs suivants :

2. Produit du nombre complexe de module - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Etablir les égalités suivantes :

1. 2. 3.

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

Soit

1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.

2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.

3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.

4. Déterminer le module et un argument de ௨

5. En déduire les valeurs de

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

Calculer le module et un argument de

En déduire le module et un argument de ௨

Allez à : Correction exercice 8 :

Pascal Lainé

Exercice 9 :

Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Calculer les racines carrées des nombres suivants.

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Calculer les racines carrées de ଵା௜

଼ቁ et ቀగ

2. Calculer les racines carrées de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Résoudre dans ԧ les équations suivantes :

11. ݖଷ൅͵ݖെ-݅ൌ-.

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.

2. Résoudre cette équation.

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Montrer que

Admet une ou plusieurs racines réelles.

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Allez à : Correction exercice 17 :

Exercice 18 :

1. Résoudre ܺ

2. Résoudre ܼ

3. Résoudre

On rappelle que ξ͸͹͸ൌ-͸.

Allez à : Correction exercice 18 :

Exercice 19 :

Allez à : Correction exercice 19 :

Exercice 20 :

Allez à : Correction exercice 20 :

Exercice 21 :

2. En déduire le module et un argument de ݖ.

Pascal Lainé

3. En déduire ...ቀగ

Allez à : Correction exercice 21 :

Exercice 22 :

1. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique et trigonométrique.

2. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 22 :

Exercice 23 :

1. Résoudre

On donnera les solutions sous forme algébrique. 2.

Trouver les solutions de

On donnera les solutions (et sous forme algébrique en bonus).

Allez à : Correction exercice 23 :

Exercice 24 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 24 :

Exercice 25 :

Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexe

Allez à : Correction exercice 25 :

Exercice 26 :

1. Déterminer le module et un argument de ଵା௜

ଵି௜, calculer ቀଵା௜

3. Calculer les puissances ݊-ième des nombres complexes.

Allez à : Correction exercice 26 :

Exercice 27 :

݊ pour que ൫ξ͵൅݅൯௡ soit réel ? Imaginaire ?

Allez à : Correction exercice 27 :

Pascal Lainé

Exercice 28 :

Soit ݖ un nombre complexe de module ߠ ߩ

Allez à : Correction exercice 28 :

Exercice 29 :

1. Pour quelles valeurs de ݖא

2. On considère dans ԧ

Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.

3. Calculer les racines cubiques de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 29 :

Exercice 30 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 30 :

Exercice 31 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 31 :

Exercice 32 :

2. Résoudre

On explicitera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 32 :

Exercice 33 :

Résoudre dans ԧ

On donnera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 33 :

Exercice 34 :

On appelle ݆ൌെଵ

1. Résoudre dans ԧܺ

Pascal Lainé

5. Calculer ଵ

6. Calculer ݆௡ pour tout ݊א

Allez à : Correction exercice 34 :

Exercice 35 :

Résoudre dans ԧ

ces solutions a une puissance quatrième réelle.

Allez à : Correction exercice 35 :

Exercice 36 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 36 :

Exercice 37 :

Trouver les racines cubiques de ͳͳ൅-݅.

Allez à : Correction exercice 37 :

Exercice 38 :

Calculer

Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ...ቀగ

Allez à : Correction exercice 38 :

Exercice 39 :

Trouver les racines quatrième de ͺͳ et de െͺͳ.

Allez à : Correction exercice 39 :

Exercice 40 :

Soit ݊൒-, un entier.

1. b. Déterminer les complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

2. Calculer la somme des complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

Allez à : Correction exercice 40 :

Exercice 41 :

Soit ݖ une racine n-ième de െͳ, donc ݖ௡ൌെͳ. Avec ݊൐- et ݖ്െͳ

Calculer

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 41 :

Exercice 42 :

2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans ԧ de :

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Pascal Lainé

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1 :

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

ݖ଼, le nombre de module - గ

ݖଽ le nombre de module ͵ െగ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :

Pour ݖହ, factoriser par ݁

Pour ݖଵ଴, factoriser par ݁

2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.

Indication :

Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ

3. Calculer

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Effectuer les calculs suivants :

2. Produit du nombre complexe de module - గ

3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Etablir les égalités suivantes :

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.

2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.

3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.

4. Déterminer le module et un argument de ௨

5. En déduire les valeurs de

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

Calculer le module et un argument de

En déduire le module et un argument de ௨

Allez à : Correction exercice 8 :

Pascal Lainé

Exercice 9 :

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Calculer les racines carrées de ଵା௜

2. Calculer les racines carrées de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

11. ݖଷ൅͵ݖെ-݅ൌ-.

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.

2. Résoudre cette équation.

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Montrer que

Admet une ou plusieurs racines réelles.

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Allez à : Correction exercice 17 :

Exercice 18 :

1. Résoudre ܺ

2. Résoudre ܼ

3. Résoudre

On rappelle que ξ͸͹͸ൌ-͸.

Allez à : Correction exercice 18 :

Exercice 19 :

Allez à : Correction exercice 19 :

Exercice 20 :

Allez à : Correction exercice 20 :

Exercice 21 :

2. En déduire le module et un argument de ݖ.

3. En déduire ...ቀగ