NOMBRES COMPLEXES
1 Nombre complexe nul Le nombre complexe nul , noté simplement z = 0, est le nombre complexe dont l'image est l'origine du plan complexe c'est à dire le point O(0, 0) Cette définition conduit aux égalités suivantes: Sous forme cartésienne: = =+ =⇔ = y 0 z x jy 0 x 0 Sous forme polaire: [ ] θ = θ=⇔ = quelconque
I- L’ensemble des nombres complexes
V-1 Racine carr ee d’un nombre complexe Proposition 10: tout un nombre complexe non nul Z= a+ ib ou a;b 2R admet deux racines complexes Remarque 3 :la recherche des racines carr ees est donn ee par la r esolution du syst eme (s) Soit z= x+ iytel que z2 = Zon a : z2 =Z, 8
Les nombres complexes - maths-francefr
Inverse d’un complexe non nul Pour tous réels a et b tels que a+ib ≠ 0, 1 a+ib = a−ib a2+b2 On obtient l’inverse d’un nombre complexe non nul a+ib (où a et b sont des réels) en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction 1 a+ib par a−ib qui est le conjugué du dénominateur Conjugué Soit z ∈ C
Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths
On parle alors de nombre complexe nul Démonstration du théorème : Déjà fait ci-dessus On peut néanmoins en donner une preuve différente Montrons, pour commencer, l'équivalence : a + bi = 0 ⇔ a = 0 et b = 0 • Déjà, il est clair que si a = 0 et b = 0 alors a + bi = 0 • Réciproquement, supposons que a + bi = 0
NOMBRES COMPLEXES(2)
2) Les racines n-ème d’un nombre complexe non nul Le nombre complexe non nul Ti a re admet racines − é ( ∈ ℕ∗) differentes qui sont : TS 2 n k i n u re k où ???? ∈ {0,1,2, , ( − 1)} K) LES TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN COMPLEXE 1) La translation : Soit u un vecteur de ???? 2 tel que :
Les nombres complexes - Partie II
nombre complexe I Définitions 7 Calculs de modules et arguments 11 Représentation géométrique 12 Problème 12 Forme trigonométrique 12 Exercice 15 Déterminer un ensemble de points 15 A Définitions Définition: Module et Argument Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé , on considère un point M d'affixe non nulle
1 Nombres complexes
Pour tout nombre complexe z 1 et z 2, z z z z1 2 1 2+ ≤ + 2 Argument d’un nombre complexe non nul 2 1 Définition Interprétation graphique Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère (O u v, ,) r r étant orienté dans le sens direct a b
NOMBRES COMPLEXES(Partie 2) - alloschoolcom
un nombre complexe non nul et son conjugué = ???? - ???? ???? ???? = i e T en faisant la somme membre à membre on obtient : ???? = 2 eeiiTT puis en faisant la différence membre à membre on obtient : ???? ???? = 2 eeii i TT Propriété : Pour tout réel ????on a : cos 2 eeiiTT T et sin 2 eeii x i TT Exemple1:Linéariser : 4
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NOMBRES COMPLEXES
1NOMBRES
COMPLEXES
CoursNOMBRES COMPLEXES
2I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
2. Représentation graphique
3. Forme polaire
4. Forme trigonométrique
5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
6. Exemples
II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
2. Egalité de deux nombres complexes
3. Nombres complexes opposés
4. Nombres complexes conjugués
5. Propriétés importantes
III. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
1. Somme et différence de deux nombres complexes
2. Multiplication de deux nombres complexes
3. Quotient de deux nombres complexes
4. Conclusions générales
IV. FORMULES D"EULER - FORMULE DE MOIVRE
1. Formules d"Euler
2. Généralisation aux nombres complexes de module quelconque
3. Linéarisation d"un polynôme trigonométrique
4. Formule de Moivre
5. Formule du binôme - triangle de Pascal
V. RACINE n
ième D"UN NOMBRE COMPLEXE1. Sous forme polaire
2. Sous forme algébrique
VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXESVII. APPLICATION A L"ELECTRICITE
1. Les lois de l"électricité
2. Impédances
3. Construction de Fresnel
4. Utilisation des nombres complexes
NOMBRES COMPLEXES
3I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
Soient x et y deux nombres réels, et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d"un nombre complexe z = (x, y) l"expression z = x +jy. ( )jyxzy)(x,z jyx, 2+=Î= -=ή®CR 1 2 x est la partie réelle de z, notée x = Re(z), y est la partie imaginaire de z, notée y = Im (z).L"ensemble des nombres complexes se note
C.Cas particuliers :
si y = 0, alors z = x est un nombre réel: zÎR si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: zÎIL"ensemble des nombres imaginaires purs se note
I.Î+=®IRC
jyz,0x Sixz,0y Sijyxz2. Représentation graphique
Soit le plan, rapporté à un repère orthonormé {}v,u,Orr, on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y). La correspondance entre zet M est bijective c"est à dire qu"à tout nombre complexe z = x + jy, on peut faire
correspondre un point du plan, de coordonnées x et y et que réciproquement, tout point M du plan définit par ses coordonnées x et y un nombre complexe z = x + jy. ur vr O