Les similitudes

Nombres complexes et similitude directe Exercice : Dans le plan orienté, ABCD est un carré de côté 1 et de centre O tel que I est le milieu du segment [AO]

Similitudes planes et nombres complexes

1 Ecriture complexe d'une similitude directe Théorème Si f est une similitude directe, il existe des nombres complexes a et b (a 0) tel que l'écriture complexe de f est de la forme z'=az+b Soit le point d'affixe et k un réel positif - L'homothétie h ( , k) transforme le point M (z) en M 1 (z 1) tel que : z 1 - = k (z - )

Les Similitudes Complexes

Une similitude directe du plan est la composé d’une homothétie et d’un déplacement (rotation ou translation) Si nous utilisons les écritures complexes de d et de h, nous avons : d : z’ = ei θ z + b o θ réel et bo complexe h : z’ = ρ z + b1 ρ rapport de h et b1 complexe L’écriture complexe de h o d = d o h : z’ =ρ (ei θ

Les similitudes

Œ Complexe conjugué z = a iib ou z = re q on a alors zz = jzj2 1 2Représentation d’un nombre complexe Œ Le plan muni du repère ortho-gonal direct (O,u ,v ) est ap-pelé le plan complexe Œ z = a +ib est représenté par le point M de coordonnées carté-siennes (a,b) Œ z = reiq est représenté par le point M de coordonnées po

Terminale S – Spécialité Cours : SIMILITUDES PLANES

Toute similitude plane directe, autre qu’une translation, admet un point fixe unique Ce point fixe est appelé centre de la similitude Démonstration Soit s une similitude directe complexe dont l’écriture est z’ = az + b Si M, d’affixe z est un point fixe de s, alors s(M) = M, c'est-à-dire z’ = z

Similitudes 1 Transformations, g´en´eralit´es (Rappels )

Il existe une unique similitude directe s transfor-mant A en A’ et B en B’ Une similitude indirecte peut s’écrire sous la forme sor où s est une similitude directe et r une réﬂexion P Louison & T Jourdan − 4 − February 14, 2009

p ; z f z i z - unicefr

On consid ere la similitude : f: C C : z7f(z) = (p 3 i)z+ i : 1) D eterminer les points xes de f 2) Caract eriser la similitude f(c a d pr eciser sa d ecomposition en compos ee d’une rotation et d’une homoth etie de m^eme centre) Correction de l’exercice 1 : 1) Si aet bsont des r eels, le conjugu e du complexe a+ ibest a ib

Exo sur les similitudes - lyceedadultesfr

Caractéristiques d’une similitude directe Quelles sont les caractéristiques de la similitude suivante, d’écriture complexe : z′ = (1 − √ 2)eiπ4 z +i Exercice 4 : Discution suivant la valeur d’un paramètre Soit u un nombre complexe et f la transformation d’écriture complexe : z′ = u2z +u −1

EXERCICES - Meabilis

a Justifier une similitude directe et une seule telle que S(A) = O et S(B) = I b Déterminer le rapport et l’angle de S c Donne une écriture complexe de S dans le repère orthonormal direct (A ;AB , AD) d On note Ω le centre de S Démontrer que les droites (A Ω) et ( ΩD) sont perpendiculaires CORRECTION a

Les similitudes

Table des matières

1 Rappels sur les nombres complexes

1.1 Expression d"un nombre complexe

1.2 Représentation d"un nombre complexe

1.3 Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

1.4 Application des complexes en géométrie

2 Transformations élémentaires

2.1 Définition

2.2 Isométrie

2.3 La translation

2.3.1 Définition et propriétés

2.3.2 Fonction complexe associée

2.4 La rotation

2.4.1 Définition et propriétés

2.4.2 Fonction complexe associée

2.4.3 Exemple

2.5 La réflexion

2.5.1 Définition et propriétés

2.5.2 Fonction complexe associée

2.6 L"homothétie

2.6.1 Définition et propriétés

2.6.2 Fonction complexe associée

2.6.3 Exemple

3 Similitude

3.1 Définition

3.2 Conséquences

3.3 Propriétés

3.3.1 Le produit scalaire

3.3.2 Les angles géométriques

3.3.3 Repère orthogonal

3.3.4 Conséquences

4 Écriture complexe d"une similitude

4.1 Similitude et triangle

4.2 Écriture complexe d"une similitude

14 1 2

5 Similitudes directes et indirectes

5.1 Définitions

5.2 Théorème

6 Similitudes directes

6.1 Propriétés d"une similitude directe

6.2 Comment définir une similitude directe?

6.2.1 Théorème

6.3 Figures clés de la similitude

7 Configuration de cercles sécants

7.1 Théorème

7.2 Application

21 PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

3 1

Rappels sur les nombres complexes

1.1

Expression d"un nombre complexe

êForme algébrique :

z=a+ib aveca=<(z)partie réelle dezetb==(z)partie imaginaire dez.

êForme trigonométrique :

z=r eiq=r(cosq+isinq) =r eiq avecr=jzjmodule dezetq=arg(z)argument dez êFormules de passage d"une ériture à l"autre : r=pa

2+b2et cosq=ar

et sinq=br êComplexe conjuguéz=aibouz=r eiqon a alorszz=jzj2 1.2 Représentation d"un nombre complexe êLe plan muni du repère ortho- gonal direct(O,!u,!v)est ap- pelé leplan complexe.

êz=a+ibest représenté par le

pointMde coordonnées carté- siennes(a,b)

êz=r eiqest représenté par

le pointMde coordonnées po- laires(r,q)

êOn dit queMest l"image dez,

et quezestl"affixedu pointM.

On note alorsM(z).

ConséquenceLe pointM0d"affixe le complexe conjugué dez,zest alors de

symétrique par rapport à l"axe des abscisses du pointM.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

41 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES1.3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

Propriété 1 :Opérations sur les conjugués, modules et arguments. êLe conjugué de la somme et du produit ne pose pas de problème.

En effet, on a :z+z0=z+z

0,zz=zz

0 zz 0 =z z

0(z06=0),z

n=(z)n êLe module du produit est le produit des modules mais pour l"addition, on ne peut rien dire.

On a :

jzz0j=jzj jz0j,jznj=jzjn zz

0=jzjjz0j,jzj=jzj

Attention :jz+z0j6jzj+jz0j

êL"argument du produit est la somme des argument. De même le quotient des arguments est la différence des arguments. argzz0=argz+argz0(mod 2p), argzn=nargz(mod 2p) arg zz 0 =argzargz0(mod 2p), argz=argz(mod 2p)1.4Application des complexes en géométrie êSoit 2 pointsAetBd"affixes respectiveszAetzB. On a alors : z !AB=zBzAetAB=jzBzAj êSoit 2 vecteurs!uet!vd"affixes respectiveszetz0. On a alors :

1)(!u,!v) =argz0z

(mod 2p) 2) !uet!vsontcolinéairessi :z0z est réel 3) !uet!vsontperpendiculairessi :z0z est imaginaire pur. êSoit quatre pointsA(zA),B(zB),A0(zA0)etB0(zB0). On a alors : !AB,!A0B0) =argzB0zA0z BzA (mod 2p)PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ 5 Remarque :Nous pouvons résumer par un schéma l"intervention des nombres complexes en géométrie.

Propriétés géométriques!Traduction!Relations entre affixesCalculs dansC!Traduction!Nouvelle prop.géométriques2Les transformations élémentaires et les fonctions

complexes associées 2.1 Définition Définition 1 :Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. À tout pointM, on associe un unique pointM0, et tout pointM0a un unique antécédent. SiTest la transformation, on noteT1la transformation réciproque. M T!

T1M0avecT(M) =M0etT1(M0) =MExemple :La translation, la rotation,la symétrie centrale, la réflexion ou

l"homothétie sont des transformations. Par contre la projection orthogonale n"est pas une transformation car une fois le point projeté, on ne peut plus revenir en arrière : l"antécédent n"est pas unique. Remarque :La transformation qui au pointMassocie lui-même s"appelle l"identité. Elle est notée :Id 2.2 Isométrie Définition 2 :Une isométrie est une transformation que conserve les distances. Soitiune isométrie : 8< :A i!A0 B i!B0on a alors :A0B0=ABRemarque : êLes isométries élémentaires sont : les translations, les rotations, les symé- tries centrales et les réflexions.

êOn distingue deux sortes d"isométrie :

1)Les déplacements: isomètries que conservent les angles orientés :

!O0A0,!O0B0) = (!OA,!OB)

On range dans cette catégorie : les translations et les rotationsPAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

62 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES2)Les antidaplacements: isométries qui changent les angles orientés en

leur opposé. (!O0A0,!O0B0) =(!OA,!OB) On range dans cette catégorie : les réflexions et les symétries glissées êL"image d"une droite par une isométrie est une droite. L"image d"un cercle par une isométrie est un cercle de même rayon.

Propriétés :Une isométrie conserve :

êLes distances :A0B0=AB

êLes aires :A=A0

êLe parallèlisme : si(D)//(D)alors(D0)//(D0)

êL"orthogonalité : si(D)?(D)alors(D0)?(D0)

êLes angles géométriques :[AOB=\A0O0B0

êLe milieu : siI=m[AB]alorsI0=m[A0B0]

êL"alignement : siA,BetCsont alignés alorsA0,B0etC0le sont aussi. êLe contact : siIest l"intersection des droites(D)et(D)alorsI0est l"inter- section de(D0)et(D0) 2.3

La translation

2.3.1

Définition et propriétés Définition 3 :Une translationtde vecteur!uest une transformation

définie par : M t!M0tel que!MM0=!uExemple :Image d"un trianglePropriétés :

êPour tous pointsAetB, on a :!A0B0=!AB

êLa translation n"admet pas de point fixe.

êLa translation réciproque est la translation de vecteur!u.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

2.4 LA ROTATION7êL"image(D0)d"une droite(D)par une translation est :

1.(D0)//(D)si la direction de(D)est différente de!u

2.(D0) = (D)si(D)et!uont même direction.

2.3.2

Fonction complexe associée

Si le vecteur

!u(b)de la translation a pour affixeb, alors l"imageM0(z0)du pointM(z)par la translationt, verifie : !MM0=!u z 0z=b z 0=z+b Conclusion :La fonction complexe associée à la tranlation est de la forme z 0=z+b 2.4

La rotation

2.4.1

Définition et propriétés Définition 4 :Une rotationrde centreWet d"angleqest une transforma-

tion définie par : M r!M0tel que(!WM,!WM0) =qetWM0=WMExemple :Image d"un triangle (q=p3 )Propriétés : êLa rotation possède un point invariant : son centre.

êUne rotation de centreWd"anglep2

correspond à un quart de tour direct notéQW.

êUnerotationdecentreWd"anglep2

correspondàunquartdetourindirect notéQ0W.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

82 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRESêUne rotation de centreWet d"anglepcorrespond à une symétrie centrale

de centreWnotéSW. êL"image(D0)d"une droite(D)est une droite telle que : (D0)et(D)forme un angleq. 2.4.2

Fonction complexe associée

Soit le centreW(w)et l"angleqde la rotation, alors l"imageM0(z0)du point

M(z)par la rotationr, verifie :

WM0=WMalorsjz0wj=jzwjdoncz0wzw

=1(1) !WM,!WM0) =qalors argz0wzw =q(2)

De(1)et(2)on en déduit que :

0wzw=eiq

0w=eiq(zw)

0=eiqz+weiqw

en posantb=weiqw, on obtient z

0=eiqz+b

Remarque :

êSiq=p2

alors on a :z0=iz+b.

êSiq=p2

alors on a :z0=iz+b.

êSiq=palors on a :z0=z+b.

2.4.3

Exemple

Soit la rotation de centreWdéfinie par :

z 0= 12 +p3 2 i! z+p3 2 +32
i Déterminer l"angle de la rotation et l"affixe deW. Pour déterminer l"angleqde la rotation, il faut déterminer : arg 12 +p3 2 i! 2p3 en effet : cos 2p3 =12 et sin2p3 =p3 2

PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

2.5 LA RÉFLEXION9Pour déterminer l"affixe du centreW, il faut résoudre l"équation au point fixe :

w= 12 +p3 2 i! w+p3 2 +32
i

2w= (1+p3i)w+p3+3i

w(3p3i) =p3+3i w=p3+3i3p3i p3i2+3i3p3i i(3p3i)3p3i =i

Conclusion :La rotation est d"angle2p3

et de centreW(i) 2.5

La réflexion

2.5.1

Définition et propriétés Définition 5 :Une réflexionSd"axe(D)est une transformation définie

par : M S!M0tel que(D)est la médiatrice de[MM0]Exemple :Image d"un triangleABCest direct etA0B0C0indirect

Propriétés :

êLa réflexion possède une droite où tous les points sont invariants : son axe.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

102 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRESêLa réflexion inverse les angles orientés. C"est un antidéplacement.

êL"image(D0)d"une droite(D)est une droite telle que :

1)(D0) = (D)si(D) = (D)ou si(D)?(D)

2)(D0)//(D)si(D)//(D).

3)(D)est la bissectrice de l"angle formé par les droite(D)et(D0)dans

les autres cas. êLa réflexion réciproque est elle-même. (transformation involutive) 2.5.2

Fonction complexe associée

Nous admettrons provisoirement que la fonction complexe associée à une ré-quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] Les similitudes

Les similitudes

Table des matières

1 Rappels sur les nombres complexes

1.1 Expression d"un nombre complexe

1.2 Représentation d"un nombre complexe

1.3 Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

1.4 Application des complexes en géométrie

2 Transformations élémentaires

2.1 Définition

2.2 Isométrie

2.3 La translation

2.3.1 Définition et propriétés

2.3.2 Fonction complexe associée

2.4 La rotation

2.4.1 Définition et propriétés

2.4.2 Fonction complexe associée

2.4.3 Exemple

2.5 La réflexion

2.5.1 Définition et propriétés

2.5.2 Fonction complexe associée

2.6 L"homothétie

2.6.1 Définition et propriétés

2.6.2 Fonction complexe associée

2.6.3 Exemple

3 Similitude

3.1 Définition

3.2 Conséquences

3.3 Propriétés

3.3.1 Le produit scalaire

3.3.2 Les angles géométriques

3.3.3 Repère orthogonal

3.3.4 Conséquences

4 Écriture complexe d"une similitude

4.1 Similitude et triangle

4.2 Écriture complexe d"une similitude

5 Similitudes directes et indirectes

5.1 Définitions

5.2 Théorème

6 Similitudes directes

6.1 Propriétés d"une similitude directe

6.2 Comment définir une similitude directe?

6.2.1 Théorème

6.3 Figures clés de la similitude

7 Configuration de cercles sécants

7.1 Théorème

7.2 Application

21 PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

Rappels sur les nombres complexes

Expression d"un nombre complexe

êForme algébrique :

êForme trigonométrique :

2+b2et cosq=ar

êz=a+ibest représenté par le

êz=r eiqest représenté par

êOn dit queMest l"image dez,

On note alorsM(z).

41 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES1.3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

En effet, on a :z+z0=z+z

0,zz=zz

0(z06=0),z

On a :

0=jzjjz0j,jzj=jzj

Attention :jz+z0j6jzj+jz0j

1)(!u,!v) =argz0z

êOn distingue deux sortes d"isométrie :

1)Les déplacements: isomètries que conservent les angles orientés :

62 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES2)Les antidaplacements: isométries qui changent les angles orientés en

Propriétés :Une isométrie conserve :

êLes distances :A0B0=AB

êLes aires :A=A0

êL"orthogonalité : si(D)?(D)alors(D0)?(D0)

êLes angles géométriques :[AOB=\A0O0B0

êLe milieu : siI=m[AB]alorsI0=m[A0B0]

La translation

êPour tous pointsAetB, on a :!A0B0=!AB

êLa translation n"admet pas de point fixe.

2.4 LA ROTATION7êL"image(D0)d"une droite(D)par une translation est :

1.(D0)//(D)si la direction de(D)est différente de!u

2.(D0) = (D)si(D)et!uont même direction.