[PDF] 1 Suites numériques - Paroisse de Suèvres et Cour sur Loire



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Nombre dérivé et tangente - Parfenoff org

2) Tangente et nombre dérivé Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel =, soit (C) sa courbe représentative dans un repère ; , &, & ; On appelle A et B les points de (C) d’abscisses respectives = et = Eh (h étant un réel non nul positif ou négatif ) Soit I le taux de variation de B en a



Tangente et Nombre dérivé - MathXY

Tangente et Nombre dérivé Classe de Première ST2S - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www mathxy - 2015 Objectifs: • Savoirlirelecoefficientdirecteurd



Nombre dérivé et tangente - Parfenoff org

Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d’une fonction en un point Soit ???? une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel , soit (C) sa courbe représentative dans un repère ( ????; ⃗ , )



Terminale ST2S – F1 : FONCTIONS – DÉRIVATION

Terminale ST2S – F1 : FONCTIONS – DÉRIVATION I Nombre dérivé et tangente à une courbe On considère une fonction f, définie sur un intervalle I, et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j) Définition (rappel) : Si la courbe C admet en un point M, d'abscisse t0, une tangente



Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe

Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe I Tangente à une courbe L’idée La définition d’une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme L’ « idée principale » est la suivante : La tangente à une courbe en un point A est une droite : ¤ qui passe par le point A ;



1 Suites numériques - Paroisse de Suèvres et Cour sur Loire

Fiche Prérequis : Fonctions et Droites 2 1 Nombre dérivé et tangente 1 Définition Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente (non parallèle à l’axe des ordonnées) au point d’abscisse a Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente



Présentation du rogramme de mathématiques en première ST2S

concrètes et spécifiques à la série ST2S les acquis des élèves concernant • Approche de la notion de nombre dérivé et de tangente en un point Aspects



Exercices supplémentaires – Dérivation

1) Calculer 5 et 5ˇˆ où ˆ est un réel 2) En déduire une expression simplifiée de ˙ ˝˛˚ ˜˙ ˝ ˚ pour ˆ non nul 3) Déterminer le nombre dérivé de en 5 Exercice 2 Un véhicule décrit un mouvement rectiligne La distance parcourue, en mètres, depuis le temps 0 jusqu’au temps en secondes, est ˇ5



mathaapitiorg

Author: Adrien Holliger Created Date: 11/14/2010 9:12:11 PM

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Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 1

TP Tableur : Activité 2 & 3 p 34-35 (introduction)

Fiche Prérequis.

1.1. Généralités sur les suites numériques

1. Rappels

Définition :

Une suite numérique est une fonction définie sur ? ou sur une partie de ? A chaque entier naturel n, on associe un nombre réel un. On dit que l"ensemble des nombre un forme la suite de terme général un. Notation : Cette suite est notée (un) ou u.

Représentation graphique :

La représentation graphique d"une suite est l"ensemble des points ()nnunM;

Activité 1 :

Le plan est rapporté à un repère ()jiOrr,;

1) Représenter graphiquement les suites arithmétiques :

· (u

n) de 1er terme 30=u et de raison 2=a (vn) de 1er terme 50=v et de raison 0=a (wn) de 1er terme 100=w et de raison 5,1-=a n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nu nv nw 2) Représenter graphiquement les suites arithmétiques : (un) de 1er terme 5,00=u et de raison 2=b (vn) de 1er terme 50=v et de raison 1=b (wn) de 1er terme 120=w et de raison 8,0=b n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nu nv nw 3) Que remarque-t-on sur le sens de variation vis-à-vis des raisons ?

11.. SSuuiitteess nnuumméérriiqquueess

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2. Suites croissantes ou décroissantes

Définition :

Une suite (un) est strictement croissante si et seulement si pour tout n, 1+Une suite (un) est strictement décroissante si et seulement si pour tout n, 1+>nnuu

Une suite

(un) est constante si et seulement si pour tout n 1+=nnuu

Exemples :

1.2. Suites arithmétiques

1. Rappels

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s"obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant a appelé raison. Pour tout nombre entier naturel n de ? ou ?*, auunn+=+1 Pour démontrer qu"une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u un n+-1 est constant ; cette constante est la raison a. Pour une suite arithmétique on a : nauun+=0 ()anuun11-+= ()apnuupn-+= avec np££0 On peut retenir : un=(premier terme) + (nombre de termes avant un)x(raison)

2. Sens de variation

Voir activité 1

Théorème :

Soit (un) une suite arithmétique de raison a

· Si 0>a, (un) est une suite strictement croissante · Si 0· Si 0=a, (un) est une suite constante

3. Somme de termes consécutifs

Activité 2 : Somme des termes consécutifs d"une suite arithmétique Lors d"une épidémie de grippe, sur une période de 6 jours, un pharmacien voit sa vente journalière de boites d"un certain médicament augmenter de 20 chaque jour. Il en vend 25 le premier jour. On note nu le nombre de boîtes vendues le n-ième jour (donc 251=u) 1) Expliquer pourquoi la suite (un) est une suite arithmétique ; préciser sa raison et exprimer nu en fonction de n. 2) Calculer la somme des six premiers termes de cette suite. En déduire le nombre total de boîtes vendues au cours de cette période.

Calculer

2661uuS+´=. Que constate-t-on ?

3) Calculer le nombre de boîtes vendues les 3 derniers jours.

Calculer

2364uuS+´=. Que constate-t-on ?

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 3

TP Tableur + calculatrice : Livre page 36 - salle informatique + calculatrice (partie A)

Théorème

Si pkkuuuS+++=+K1 est la somme de termes consécutifs de cette suite, alors,

S =(nombres de termes de S)x

Cas particuliers :

· Si le terme initial est 1u, alors 2

1 21n
termesnnuunuuu+=+++44 344 21K

· Si le terme initial est 0u, alors

( )( )21 0 1 10n termesnnuunuuu++=+++ +44 344 21K

Exemples :

1.3. Suites géométriques

1. Rappels

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s"obtient en multipliant au précédent une constante b ()0¹bappelée raison. Pour tout nombre entier naturel n de ? ou ?*, nnbuu=+1 Pour démontrer qu"une suite est géométrique, il suffit de vérifier que u un n+1 est constant ; cette constante est la raison b. Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison b, on a : n nbuu×=0 1

1-×=n

nbuu pn pnbuu-×= pour tout n de ? et np££0 . On peut retenir : un=(premier terme) x (raison)nombre de termes avant un

2. Sens de variation

Voir activité 1

Théorème :

Soit (un) une suite géométrique de raison b

· Si 1>b, (un) est une suite strictement croissante · Si 10<· Si 1=b, (un) est une suite constante

3. Somme de termes consécutifs

premier terme de S+ dernier terme de S 2

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 4

Activité 3 : Somme des termes consécutifs d"une suite géométrique Pour produire le médicament contre la grippe, le laboratoire qui le fabrique augmente sa production de 5% environ chaque année. En janvier 2005, elle offrait sur le marché 200000 boîtes.

On note

np le nombre de boîtes offertes au 1er janvier de l"année ()n+2005 (donc

200000

0=p) 1) Expliquer pourquoi la suite (un) est une suite géométique ; préciser sa raison et exprimer np en fonction de n. 2)

Calculer la production totale entre 2005 et 2012.

Calculer

05,1105,11

8 0 --´=pS. Que constate-t-on ? 3) Calculer le nombre de boîtes à produire entre 2008 et 2012.

Calculer

05,1105,11

5 3 --´=pS. Que constate-t-on ? TP Tableur + calculatrice : Livre page 38 - salle informatique + calculatrice (partie B)

Théorème

Si pkkuuuS+++=+K1 est la somme de termes consécutifs de cette suite, alors,

S =(Premier terme de S)x

Cas particuliers :

· Si le terme initial est 1u, alors bbuuuu

n termesnn --=+++111

2144 344 21K

· Si le terme initial est 0u, alors

( )bbuuuu n termesnn 11 1 0 110

44 344 21K

TP Tableur

TP1 p 45

TP2 p 46 (à voir avec calculatrice)

TP3 p 46-47

TP4 p 48

Soutien Elèves en difficulté : Exercices résolus p 50-51

Tableur sur PAPIER

Ex 36 p 58

Ex 37 p 59 (en DTL)

Ex38 p 59

Ex39 p 60

QCM Exercices : p53 à 60 : Ex 5-10-11-18-19-23-29-32

1 - (raison) (nombre de termes de S)

1 - (raison)

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 5

Activité 1 : Activité 1 du livre page 6

Fiche Prérequis : Fonctions et Droites

2.1. Nombre dérivé et tangente

1. Définition

Soit f une fonction dont la courbe

représentative admet une tangente (non parallèle à l"axe des ordonnées) au point d"abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente. Notation : Le nombre dérivé de f en a est noté ()¢f a (cela se lit f prime de a)

Exemple :

2. Equation de tangente

Nous savons que si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe représentative de f a pour

coefficient directeur au point d"abscisse a, f"(a).

L"équation de la tangente est donc de la forme

()y f a x p=¢+ où p est une constante définie par

le fait que le point A d"abscisse a et d"ordonnée f(a) appartient à la courbe d"équation y=f(x) et à

cette tangente On peut apprendre aussi directement la formule de la tangente : ()()()afaxafy+-¢=

TP3 livre page 16

2.2. Fonctions dérivées

Activité 2 : Activité 2 du livre page 7

Définition :

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si, f admet un nombre dérivé en tout point de I.

La fonction qui à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x, s"appelle fonction dérivée de f

et se note f".

22.. DDéérriivvaattiioonn eett ééttuuddee ddee

ffoonnccttiioonn ir jr x y a f "(a) est le coefficient directeur de T m 1

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 6

Conséquence : Le nombre dérivé de f en a est noté ()af¢.

1. Dérivées usuelles des fonctions de référence

f(x) f"(x) Intervalle I k ; k réel constant 0 IR x 1 IR x2 2x IR x3 3x2 IR xn, n entier naturel nxn-1 IR 1 x -12x ][-¥;0 ou ][0;+¥ x 1

2x ][0;+¥

2. Opérations

On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soient u est v deux fonctions définies et dérivables sur I.

Tous les résultats suivants sont admis

La fonction vuf+= est dérivable sur I et ( )vuvuf¢+¢=¢+=¢ ())()(xvxuxf¢+¢=¢

· La fonction vuf-= est dérivable sur I et ( )vuvuf¢-¢=¢-=¢ ())()(xvxuxf¢-¢=¢

· La fonction kuf= (k réel) est dérivable sur I et ( )ukkuf¢=¢=¢ ())(xukxf¢=¢

TP2 livre page 16

2.3. Dérivée et sens de variation

Activité 3 : Activité 3 du livre page 8

1. Observations des fonction de référence

Soit f la fonction définie sur IR par ()f x x=2 f est dérivable sur IR, et pour tout réel x , ()f x x"=2

x -¥ 0 +¥ x -¥ 0 +¥

f f" + 0 - Nous observons sur le tableau de variation de f et sur le tableau donnant le signe de f" que : · Sur l"intervalle ]]-¥,0 où f est décroissante, f" est négative · Sur l"intervalle [[0,+¥ où f est croissante, f" est positive

On observe la même correspondance entre les variations et le signe de la dérivée pour les autres

fonctions de référence. 0 0

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 7

2. Conclusion

Nous venons d"observer pour les fonctions de référence que :

· Si f est dérivable sur l"intervalle I et si f est croissante sur I, alors f" est positive sur I.

· Si f est dérivable sur l"intervalle I et si f est décroissante sur I, alors f" est négative sur I.

Nous admettons ce résultat pour toutes les fonctions

3. Généralisation par un théorème admis

Si pour tout réel x de I Alors

f"(x)=0 f est constante sur I f"(x)>0 f est strictement croissante sur I f"(x)<0 f est strictement décroissante sur I

2.4. Extremum

Théorème :

Si f est dérivable sur un intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f"(a)=0.

ATTENTION

La réciproque n"est pas toujours vérifiée. La fonction 3:xxfa admet pour dérivée 0 en 0,

mais la fonction n"admet pas d"extremum en 0. Il faut que la dérivée s"annule en changeant de signe

Théorème admis :

Si f est dérivable sur un intervalle I et si f" s"annule en changeant de signe en a, (a appartenant à

I), alors f admet un extremum local en a.

2.5. Méthodologie d"étude d"une fonction

Pour Etudier une fonction et construire sa représentation graphique, on procède généralement de

la manière suivante:

· Etude des variations :

· Dérivée On calcule ()xf¢

· Signe de la dérivée on étudie le signe de ()xf¢ en utilisant s"il y a lieu un tableau · Tableau de variation On en déduit le sens de variation de f.

· Le plan étant muni d"un repère orthogonal ou orthonormal, on dessine la courbe

représentative après avoir placé : · Les éventuels points représentatifs des extremums

· Des points ou des droites particuliers

· Quelques points obtenus à l"aide d"une calculatrice

Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 8

Exemple :

Etudier et représenter sur [-4 ;4] ( )443

223--+=xxxxf

On vérifiera que

()()()212+-=¢xxxf (voir plan d"étude

Livre page 17 - TP5)

Application : TP6 - Livre p17

2.6. Position de la tangente par rapport à la courbe

Situation Problème : (feuille activités)

Les informations fournies par le réseau

Sentinelles lors d"une épidémie de grippe ont permis d"établir la courbe suivante, pour une région de

France.

La courbe en fin d"énoncé donne le nombre

de cas recensés pour 100 000 habitants, en fonction du temps t en jours ; Le seuil épidémique, obtenu pour

0=t, est égal à 165 cas pour 100 000 habitants.

On cherche à savoir à partir de quel

instant la croissance de l"épidémie va ralentir.

POSITION DE LA TANGENTE PAR RAPPORT A LA COURBE

TP4 livre page 16

Méthode :

Pour étudier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g sur un intervalle I, on étudie le signe de ()()xgxf-. Si ()()0>-xgxf, alors Cf est au dessus de Cg.

Si ()()0<-xgxf, alors Cf est en dessous de Cg.

Si ()()0=-xgxf, alors Cf coupe Cg.

TPTableur + Calculatrice

Calculatrice : Tangente avec vérification calculatrice (voir feuille activité calculatrice) Ordinateur : Position d"une courbe avec ses tangentes (TP21- format pdf)

Tableur sur PAPIER

TSP-Fonctions (document à imprimer)

QCM Exercices : p23 à 27 : Ex 6-7-8-9-10-11-16-17-22-23-24-26-33-36-37-38-39-40

· ( )3

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