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2) Tangente et nombre dérivé Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel =, soit (C) sa courbe représentative dans un repère ; , &, & ; On appelle A et B les points de (C) d’abscisses respectives = et = Eh (h étant un réel non nul positif ou négatif ) Soit I le taux de variation de B en a
Tangente et Nombre dérivé - MathXY
Tangente et Nombre dérivé Classe de Première ST2S - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www mathxy - 2015 Objectifs: • Savoirlirelecoefficientdirecteurd
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Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d’une fonction en un point Soit ???? une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel , soit (C) sa courbe représentative dans un repère ( ????; ⃗ , )
Terminale ST2S – F1 : FONCTIONS – DÉRIVATION
Terminale ST2S – F1 : FONCTIONS – DÉRIVATION I Nombre dérivé et tangente à une courbe On considère une fonction f, définie sur un intervalle I, et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j) Définition (rappel) : Si la courbe C admet en un point M, d'abscisse t0, une tangente
Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe
Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe I Tangente à une courbe L’idée La définition d’une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme L’ « idée principale » est la suivante : La tangente à une courbe en un point A est une droite : ¤ qui passe par le point A ;
1 Suites numériques - Paroisse de Suèvres et Cour sur Loire
Fiche Prérequis : Fonctions et Droites 2 1 Nombre dérivé et tangente 1 Définition Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente (non parallèle à l’axe des ordonnées) au point d’abscisse a Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente
Présentation du rogramme de mathématiques en première ST2S
concrètes et spécifiques à la série ST2S les acquis des élèves concernant • Approche de la notion de nombre dérivé et de tangente en un point Aspects
Exercices supplémentaires – Dérivation
1) Calculer 5 et 5ˇˆ où ˆ est un réel 2) En déduire une expression simplifiée de ˙ ˝˛˚ ˜˙ ˝ ˚ pour ˆ non nul 3) Déterminer le nombre dérivé de en 5 Exercice 2 Un véhicule décrit un mouvement rectiligne La distance parcourue, en mètres, depuis le temps 0 jusqu’au temps en secondes, est ˇ5
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Author: Adrien Holliger Created Date: 11/14/2010 9:12:11 PM
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TP Tableur : Activité 2 & 3 p 34-35 (introduction)Fiche Prérequis.
1.1. Généralités sur les suites numériques
1. Rappels
Définition :
Une suite numérique est une fonction définie sur ? ou sur une partie de ? A chaque entier naturel n, on associe un nombre réel un. On dit que l"ensemble des nombre un forme la suite de terme général un. Notation : Cette suite est notée (un) ou u.Représentation graphique :
La représentation graphique d"une suite est l"ensemble des points ()nnunM;Activité 1 :
Le plan est rapporté à un repère ()jiOrr,;1) Représenter graphiquement les suites arithmétiques :
· (u
n) de 1er terme 30=u et de raison 2=a (vn) de 1er terme 50=v et de raison 0=a (wn) de 1er terme 100=w et de raison 5,1-=a n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nu nv nw 2) Représenter graphiquement les suites arithmétiques : (un) de 1er terme 5,00=u et de raison 2=b (vn) de 1er terme 50=v et de raison 1=b (wn) de 1er terme 120=w et de raison 8,0=b n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nu nv nw 3) Que remarque-t-on sur le sens de variation vis-à-vis des raisons ?11.. SSuuiitteess nnuumméérriiqquueess
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2. Suites croissantes ou décroissantes
Définition :
Une suite (un) est strictement croissante si et seulement si pour tout n, 1+Une suite
(un) est constante si et seulement si pour tout n 1+=nnuuExemples :
1.2. Suites arithmétiques
1. Rappels
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s"obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant a appelé raison. Pour tout nombre entier naturel n de ? ou ?*, auunn+=+1 Pour démontrer qu"une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u un n+-1 est constant ; cette constante est la raison a. Pour une suite arithmétique on a : nauun+=0 ()anuun11-+= ()apnuupn-+= avec np££0 On peut retenir : un=(premier terme) + (nombre de termes avant un)x(raison)2. Sens de variation
Voir activité 1
Théorème :
Soit (un) une suite arithmétique de raison a
· Si 0>a, (un) est une suite strictement croissante · Si 0· Si 0=a, (un) est une suite constante3. Somme de termes consécutifs
Activité 2 : Somme des termes consécutifs d"une suite arithmétique Lors d"une épidémie de grippe, sur une période de 6 jours, un pharmacien voit sa vente journalière de boites d"un certain médicament augmenter de 20 chaque jour. Il en vend 25 le premier jour. On note nu le nombre de boîtes vendues le n-ième jour (donc 251=u) 1) Expliquer pourquoi la suite (un) est une suite arithmétique ; préciser sa raison et exprimer nu en fonction de n. 2) Calculer la somme des six premiers termes de cette suite. En déduire le nombre total de boîtes vendues au cours de cette période.Calculer
2661uuS+´=. Que constate-t-on ?
3) Calculer le nombre de boîtes vendues les 3 derniers jours.Calculer
2364uuS+´=. Que constate-t-on ?
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TP Tableur + calculatrice : Livre page 36 - salle informatique + calculatrice (partie A)Théorème
Si pkkuuuS+++=+K1 est la somme de termes consécutifs de cette suite, alors,S =(nombres de termes de S)x
Cas particuliers :
· Si le terme initial est 1u, alors 2
1 21ntermesnnuunuuu+=+++44 344 21K
· Si le terme initial est 0u, alors
( )( )21 0 1 10n termesnnuunuuu++=+++ +44 344 21KExemples :
1.3. Suites géométriques
1. Rappels
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s"obtient en multipliant au précédent une constante b ()0¹bappelée raison. Pour tout nombre entier naturel n de ? ou ?*, nnbuu=+1 Pour démontrer qu"une suite est géométrique, il suffit de vérifier que u un n+1 est constant ; cette constante est la raison b. Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison b, on a : n nbuu×=0 11-×=n
nbuu pn pnbuu-×= pour tout n de ? et np££0 . On peut retenir : un=(premier terme) x (raison)nombre de termes avant un2. Sens de variation
Voir activité 1
Théorème :
Soit (un) une suite géométrique de raison b
· Si 1>b, (un) est une suite strictement croissante · Si 10<· Si 1=b, (un) est une suite constante3. Somme de termes consécutifs
premier terme de S+ dernier terme de S 2Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 4
Activité 3 : Somme des termes consécutifs d"une suite géométrique Pour produire le médicament contre la grippe, le laboratoire qui le fabrique augmente sa production de 5% environ chaque année. En janvier 2005, elle offrait sur le marché 200000 boîtes.On note
np le nombre de boîtes offertes au 1er janvier de l"année ()n+2005 (donc200000
0=p) 1) Expliquer pourquoi la suite (un) est une suite géométique ; préciser sa raison et exprimer np en fonction de n. 2)Calculer la production totale entre 2005 et 2012.
Calculer
05,1105,11
8 0 --´=pS. Que constate-t-on ? 3) Calculer le nombre de boîtes à produire entre 2008 et 2012.Calculer
05,1105,11
5 3 --´=pS. Que constate-t-on ? TP Tableur + calculatrice : Livre page 38 - salle informatique + calculatrice (partie B)Théorème
Si pkkuuuS+++=+K1 est la somme de termes consécutifs de cette suite, alors,S =(Premier terme de S)x
Cas particuliers :
· Si le terme initial est 1u, alors bbuuuu
n termesnn --=+++1112144 344 21K
· Si le terme initial est 0u, alors
( )bbuuuu n termesnn 11 1 0 11044 344 21K
TP Tableur
TP1 p 45
TP2 p 46 (à voir avec calculatrice)
TP3 p 46-47
TP4 p 48
Soutien Elèves en difficulté : Exercices résolus p 50-51Tableur sur PAPIER
Ex 36 p 58
Ex 37 p 59 (en DTL)
Ex38 p 59
Ex39 p 60
QCM Exercices : p53 à 60 : Ex 5-10-11-18-19-23-29-321 - (raison) (nombre de termes de S)
1 - (raison)
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Activité 1 : Activité 1 du livre page 6
Fiche Prérequis : Fonctions et Droites
2.1. Nombre dérivé et tangente
1. Définition
Soit f une fonction dont la courbe
représentative admet une tangente (non parallèle à l"axe des ordonnées) au point d"abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente. Notation : Le nombre dérivé de f en a est noté ()¢f a (cela se lit f prime de a)Exemple :
2. Equation de tangente
Nous savons que si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe représentative de f a pour
coefficient directeur au point d"abscisse a, f"(a).L"équation de la tangente est donc de la forme
()y f a x p=¢+ où p est une constante définie parle fait que le point A d"abscisse a et d"ordonnée f(a) appartient à la courbe d"équation y=f(x) et à
cette tangente On peut apprendre aussi directement la formule de la tangente : ()()()afaxafy+-¢=TP3 livre page 16
2.2. Fonctions dérivées
Activité 2 : Activité 2 du livre page 7
Définition :
Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si, f admet un nombre dérivé en tout point de I.La fonction qui à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x, s"appelle fonction dérivée de f
et se note f".22.. DDéérriivvaattiioonn eett ééttuuddee ddee
ffoonnccttiioonn ir jr x y a f "(a) est le coefficient directeur de T m 1Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 6
Conséquence : Le nombre dérivé de f en a est noté ()af¢.1. Dérivées usuelles des fonctions de référence
f(x) f"(x) Intervalle I k ; k réel constant 0 IR x 1 IR x2 2x IR x3 3x2 IR xn, n entier naturel nxn-1 IR 1 x -12x ][-¥;0 ou ][0;+¥ x 12x ][0;+¥
2. Opérations
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soient u est v deux fonctions définies et dérivables sur I.Tous les résultats suivants sont admis
La fonction vuf+= est dérivable sur I et ( )vuvuf¢+¢=¢+=¢ ())()(xvxuxf¢+¢=¢
· La fonction vuf-= est dérivable sur I et ( )vuvuf¢-¢=¢-=¢ ())()(xvxuxf¢-¢=¢
· La fonction kuf= (k réel) est dérivable sur I et ( )ukkuf¢=¢=¢ ())(xukxf¢=¢
TP2 livre page 16
2.3. Dérivée et sens de variation
Activité 3 : Activité 3 du livre page 8
1. Observations des fonction de référence
Soit f la fonction définie sur IR par ()f x x=2 f est dérivable sur IR, et pour tout réel x , ()f x x"=2x -¥ 0 +¥ x -¥ 0 +¥
f f" + 0 - Nous observons sur le tableau de variation de f et sur le tableau donnant le signe de f" que : · Sur l"intervalle ]]-¥,0 où f est décroissante, f" est négative · Sur l"intervalle [[0,+¥ où f est croissante, f" est positiveOn observe la même correspondance entre les variations et le signe de la dérivée pour les autres
fonctions de référence. 0 0Cours Terminales ST2S ©E. Poulin Page 7
2. Conclusion
Nous venons d"observer pour les fonctions de référence que :· Si f est dérivable sur l"intervalle I et si f est croissante sur I, alors f" est positive sur I.
· Si f est dérivable sur l"intervalle I et si f est décroissante sur I, alors f" est négative sur I.
Nous admettons ce résultat pour toutes les fonctions3. Généralisation par un théorème admis
Si pour tout réel x de I Alors
f"(x)=0 f est constante sur I f"(x)>0 f est strictement croissante sur I f"(x)<0 f est strictement décroissante sur I2.4. Extremum
Théorème :
Si f est dérivable sur un intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f"(a)=0.ATTENTION
La réciproque n"est pas toujours vérifiée. La fonction 3:xxfa admet pour dérivée 0 en 0,
mais la fonction n"admet pas d"extremum en 0. Il faut que la dérivée s"annule en changeant de signeThéorème admis :
Si f est dérivable sur un intervalle I et si f" s"annule en changeant de signe en a, (a appartenant à
I), alors f admet un extremum local en a.
2.5. Méthodologie d"étude d"une fonction
Pour Etudier une fonction et construire sa représentation graphique, on procède généralement de
la manière suivante:· Etude des variations :
· Dérivée On calcule ()xf¢
· Signe de la dérivée on étudie le signe de ()xf¢ en utilisant s"il y a lieu un tableau · Tableau de variation On en déduit le sens de variation de f.· Le plan étant muni d"un repère orthogonal ou orthonormal, on dessine la courbe
représentative après avoir placé : · Les éventuels points représentatifs des extremums