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Nombres complexes et gØomØtrie plane

Chapitre 1 : ReprØsentation graphique des nombres complexes Soit a,b 2 C distincts La mØdiatrice du segment [ab] est l™ensemble des nombres complexes z satisfaisant : 2Re(z(b a)) = jbj2 jaj2 Soit r un nombre rØel strictement positif et a 2 C Le cercle de centre a et de rayon r est l™ensemble des nombres complexes z satisfaisant l

Universit e Claude Bernard Lyon 1 Nombres complexes et g eom

Nombres complexes et g eom etrie Le point de vue de ce chapitre consiste a relier une g eom etrie plane suppos ee connue aux nombres complexes (re)d ecouverts dans un chapitre pr ec edent On pourrait en quelque sorte inverser le point de vue et reconstruire compl etement la g eom etrie plane a partir de consid erations purement

LEÇON 13 : NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE DU PLAN

terminale, passionné de nombres complexes et géométrie, affirme que les segments [????1????3] et [????2????4] ont des supports perpendiculaires et ont la même longueur D’autres élèves n’étant pas de cet avis, portent le problème aux autres Ceux-ci décident d’effectuer des calculs avec des nombres complexes pour vérifier

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Nombres complexes et géométrie plane

Présenté par : Fatimazahra CHAICHAA, Fatima LAAROUSSI et Saadia

OUHAMMOUEncadré par :Mr Khalid Hattaf

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 1 / 24

Le plan

Introduction

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclusion

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 2 / 24

Le plan

Introduction

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclusion

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 2 / 24

Le plan

Introduction

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclusion

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Le plan

Introduction

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclusion

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 2 / 24

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesReprésentation d"Argand

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 3 / 24

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesL"image du nombre complexez=x+iyest le point de coordonées (x,y)dans le repèreRL"a¢ xe du pointMde coordonées(x,y)dans le repèreRest le M

1àM2est donnée par :M1M2=jz2z1jSoitA,BetGtrois points d"a¢ xes respectivesa,betg; soientαet

βdeux réels tel queα+β6=0 , alorsGest le barycentre des points α(ga) +β(gb) =0Soita2Cetb2C. La droite qui passe paraet de vecteur directeurbest donnée par la paramétrisation suivante : ?(t) =a+tb t2RCRMEF Casablanca (institute)05/2015 4 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesL"image du nombre complexez=x+iyest le point de coordonées (x,y)dans le repèreRL"a¢ xe du pointMde coordonées(x,y)dans le repèreRest le M

1àM2est donnée par :M1M2=jz2z1jSoitA,BetGtrois points d"a¢ xes respectivesa,betg; soientαet

βdeux réels tel queα+β6=0 , alorsGest le barycentre des points α(ga) +β(gb) =0Soita2Cetb2C. La droite qui passe paraet de vecteur directeurbest donnée par la paramétrisation suivante : ?(t) =a+tb t2RCRMEF Casablanca (institute)05/2015 4 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesL"image du nombre complexez=x+iyest le point de coordonées (x,y)dans le repèreRL"a¢ xe du pointMde coordonées(x,y)dans le repèreRest le M

1àM2est donnée par :M1M2=jz2z1jSoitA,BetGtrois points d"a¢ xes respectivesa,betg; soientαet

βdeux réels tel queα+β6=0 , alorsGest le barycentre des points α(ga) +β(gb) =0Soita2Cetb2C. La droite qui passe paraet de vecteur directeurbest donnée par la paramétrisation suivante : ?(t) =a+tb t2RCRMEF Casablanca (institute)05/2015 4 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesL"image du nombre complexez=x+iyest le point de coordonées (x,y)dans le repèreRL"a¢ xe du pointMde coordonées(x,y)dans le repèreRest le M

1àM2est donnée par :M1M2=jz2z1jSoitA,BetGtrois points d"a¢ xes respectivesa,betg; soientαet

βdeux réels tel queα+β6=0 , alorsGest le barycentre des points α(ga) +β(gb) =0Soita2Cetb2C. La droite qui passe paraet de vecteur directeurbest donnée par la paramétrisation suivante : ?(t) =a+tb t2RCRMEF Casablanca (institute)05/2015 4 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesL"image du nombre complexez=x+iyest le point de coordonées (x,y)dans le repèreRL"a¢ xe du pointMde coordonées(x,y)dans le repèreRest le M

1àM2est donnée par :M1M2=jz2z1jSoitA,BetGtrois points d"a¢ xes respectivesa,betg; soientαet

βdeux réels tel queα+β6=0 , alorsGest le barycentre des points α(ga) +β(gb) =0Soita2Cetb2C. La droite qui passe paraet de vecteur directeurbest donnée par la paramétrisation suivante : ?(t) =a+tb t2RCRMEF Casablanca (institute)05/2015 4 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSoita,b2Cdistincts. La médiatrice du segment[ab]est l"ensemble des nombres complexeszsatisfaisant :

2Re(z(ba)) =jbj2jaj2Soitrun nombre réel strictement positif eta2C. Le cercle de

centreaet de rayonrest l"ensemble des nombres complexesz satisfaisant l"équation : j zaj=rSoitrun nombre réel strictement positif eta2C. Une paramétrisation du cercle dansCde centreaet de rayonrest : ?(t) =a+reitt2]π,π]CRMEF Casablanca (institute)05/2015 5 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSoita,b2Cdistincts. La médiatrice du segment[ab]est l"ensemble des nombres complexeszsatisfaisant :

2Re(z(ba)) =jbj2jaj2Soitrun nombre réel strictement positif eta2C. Le cercle de

centreaet de rayonrest l"ensemble des nombres complexesz satisfaisant l"équation : j zaj=rSoitrun nombre réel strictement positif eta2C. Une paramétrisation du cercle dansCde centreaet de rayonrest : ?(t) =a+reitt2]π,π]CRMEF Casablanca (institute)05/2015 5 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSoita,b2Cdistincts. La médiatrice du segment[ab]est l"ensemble des nombres complexeszsatisfaisant :

2Re(z(ba)) =jbj2jaj2Soitrun nombre réel strictement positif eta2C. Le cercle de

centreaet de rayonrest l"ensemble des nombres complexesz satisfaisant l"équation : j zaj=rSoitrun nombre réel strictement positif eta2C. Une paramétrisation du cercle dansCde centreaet de rayonrest : ?(t) =a+reitt2]π,π]CRMEF Casablanca (institute)05/2015 5 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSoitA,BetCtrois points du plan tel queCest distinct deAetB, d"a¢ xes respectivesa,betc. Une mesure de de l"angle\(!CA,!CB) est donnée par : (!CA,!CB) =arg(bcac)[2π]On notera par la suite l"angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé(O,!i,!j)par : \(w,z) = (\!OW,!OZ)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 6 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSoitA,BetCtrois points du plan tel queCest distinct deAetB, d"a¢ xes respectivesa,betc. Une mesure de de l"angle\(!CA,!CB) est donnée par : (!CA,!CB) =arg(bcac)[2π]On notera par la suite l"angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé(O,!i,!j)par : \(w,z) = (\!OW,!OZ)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 6 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSi det(w,z)0 \(w,z) =arccos(Re(wz)j wj.jzj)Si det(w,z)0 \(w,z) =arccos(Re(wz)j wj.jzj)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 7 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesSi det(w,z)0 \(w,z) =arccos(Re(wz)j wj.jzj)Si det(w,z)0 \(w,z) =arccos(Re(wz)j wj.jzj)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 7 / 24 Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesRemarque : det(w,z)0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sin est positif .det(w,z)0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sin est négatif .

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 8 / 24

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexesRemarque : det(w,z)0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sin est positif .det(w,z)0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sin est négatif .

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 8 / 24

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres L"homothétie de rapportλet de centreΩpeut être représentée dans le plan complexe par l"application qui à toutz2Cassociez02Ctel que : z

0ω=λ(zω)SoitΩ2Petθun réel. La rotation de centreΩet d"angleθpeut

être representée dans le plan complexe par l"application qui à tout z2Cassociez02Ctel que : z

0ω=eiθ(zω)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 9 / 24

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres L"homothétie de rapportλet de centreΩpeut être représentée dans le plan complexe par l"application qui à toutz2Cassociez02Ctel que : z

0ω=λ(zω)SoitΩ2Petθun réel. La rotation de centreΩet d"angleθpeut

être representée dans le plan complexe par l"application qui à tout z2Cassociez02Ctel que : z

0ω=eiθ(zω)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 9 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Théorème de Von Aubel :

On construit quatre carrés de centre respectifsP,Q,RetSqui s"appuient extérieurement sur les cotés[AB],[BC],[CD]et[DA]du quadrilatéraleABCD.Le but du problème est de démontrer que les diagonalesPQRSdu quadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.

CRMEF Casablanca (institute)05/2015 10 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Théorème de Von Aubel :

On construit quatre carrés de centre respectifsP,Q,RetSqui s"appuient extérieurement sur les cotés[AB],[BC],[CD]et[DA]du quadrilatéraleABCD.Le but du problème est de démontrer que les diagonalesPQRSdu quadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Théorème de Von Aubel :

On construit quatre carrés de centre respectifsP,Q,RetSqui s"appuient extérieurement sur les cotés[AB],[BC],[CD]et[DA]du quadrilatéraleABCD.Le but du problème est de démontrer que les diagonalesPQRSdu quadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On notea,b,c,d,p,q,retset les a¢ xes respectives des points A,B,C,D,P,Q,RetSdans un repère orthonormé(O,!e1,!e2)de sens direct

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Démontrer que le dans le carré construit sur[AB]on a : p=aib1iPuisqueABCDest de sens direct et quePest le centre du carré construit extérieurement sur[AB],on peut a¢ rmer queAest l"image deBpar la rotation de centrePet d"angleπ2 ap=i(bp) aib=pip p=aib1iEtablir des relations analogues pourq,retsen raisonnant dans les trois autres carrés.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Démontrer que le dans le carré construit sur[AB]on a : p=aib1iPuisqueABCDest de sens direct et quePest le centre du carré construit extérieurement sur[AB],on peut a¢ rmer queAest l"image deBpar la rotation de centrePet d"angleπ2 ap=i(bp) aib=pip p=aib1iEtablir des relations analogues pourq,retsen raisonnant dans les trois autres carrés.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Démontrer que le dans le carré construit sur[AB]on a : p=aib1iPuisqueABCDest de sens direct et quePest le centre du carré construit extérieurement sur[AB],on peut a¢ rmer queAest l"image deBpar la rotation de centrePet d"angleπ2 ap=i(bp) aib=pip p=aib1iEtablir des relations analogues pourq,retsen raisonnant dans les trois autres carrés.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On obtient de même que :

q=bic1i,r=cid1i,r=dia1iCalculer : sqrpOn a : sqrp=db+i(ca)ca+i(db)=iCRMEF Casablanca (institute)05/2015 13 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On obtient de même que :

q=bic1i,r=cid1i,r=dia1iCalculer : sqrpOn a : sqrp=db+i(ca)ca+i(db)=iCRMEF Casablanca (institute)05/2015 13 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On obtient de même que :

q=bic1i,r=cid1i,r=dia1iCalculer : sqrpOn a : sqrp=db+i(ca)ca+i(db)=iCRMEF Casablanca (institute)05/2015 13 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclure

On en déduit, d"une part, que les droites(PR)et(QS)sont perpendiculaires. De plus, commesqrp=1 . On a :PR=QS. Donc les diagonales du quadrilatèrePQRSsont perpendiculaires et de même longueur.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclure

On en déduit, d"une part, que les droites(PR)et(QS)sont perpendiculaires. De plus, commesqrp=1 . On a :PR=QS. Donc les diagonales du quadrilatèrePQRSsont perpendiculaires et de même longueur.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Formule de Heron ( L"aire d"un triangle )

SoitIle centre du cercle inscrit au triangleABCCRMEF Casablanca (institute)05/2015 15 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Formule de Heron ( L"aire d"un triangle )

SoitIle centre du cercle inscrit au triangleABCCRMEF Casablanca (institute)05/2015 15 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Les longueurs des côtés sonta=y+z,b=z+xetc=x+yOn appellesle demi-périmètrex+y+z. Les angles enIvéri...ent

α+β+γ=πDémontrer que :

r+ix=ueiαOn aAIHest un triangle rectangle enHdonc :r=ucosαet x=usinαd"où :

r+ix=u(cosα+isinα) =ueiαCalculer(r+ix)(r+iy)(r+iz)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 16 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Les longueurs des côtés sonta=y+z,b=z+xetc=x+yOn appellesle demi-périmètrex+y+z. Les angles enIvéri...ent

α+β+γ=πDémontrer que :

r+ix=ueiαOn aAIHest un triangle rectangle enHdonc :r=ucosαet x=usinαd"où :

r+ix=u(cosα+isinα) =ueiαCalculer(r+ix)(r+iy)(r+iz)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 16 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Les longueurs des côtés sonta=y+z,b=z+xetc=x+yOn appellesle demi-périmètrex+y+z. Les angles enIvéri...ent

α+β+γ=πDémontrer que :

r+ix=ueiαOn aAIHest un triangle rectangle enHdonc :r=ucosαet x=usinαd"où :

r+ix=u(cosα+isinα) =ueiαCalculer(r+ix)(r+iy)(r+iz)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 16 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Les longueurs des côtés sonta=y+z,b=z+xetc=x+yOn appellesle demi-périmètrex+y+z. Les angles enIvéri...ent

α+β+γ=πDémontrer que :

r+ix=ueiαOn aAIHest un triangle rectangle enHdonc :r=ucosαet x=usinαd"où :

r+ix=u(cosα+isinα) =ueiαCalculer(r+ix)(r+iy)(r+iz)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 16 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar+ix=ueiα, on montre aussi quer+iy=veiβet r+iz=weiγdonc :

(r+ix)(r+iy)(r+iz) =ueiαveiβweiγ=uvwei(α+β+γ)En prenant les parties imaginaires, démontrer que :

xyz=r2(x+y+z)En prenant les parties imaginaires, on a 0=r2z+r2y+r2xxyz d"où le résultat.En déduire que : r=r(sa)(sb)(sc)s

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar+ix=ueiα, on montre aussi quer+iy=veiβet r+iz=weiγdonc :

(r+ix)(r+iy)(r+iz) =ueiαveiβweiγ=uvwei(α+β+γ)En prenant les parties imaginaires, démontrer que :

xyz=r2(x+y+z)En prenant les parties imaginaires, on a 0=r2z+r2y+r2xxyz d"où le résultat.En déduire que : r=r(sa)(sb)(sc)s

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar+ix=ueiα, on montre aussi quer+iy=veiβet r+iz=weiγdonc :

(r+ix)(r+iy)(r+iz) =ueiαveiβweiγ=uvwei(α+β+γ)En prenant les parties imaginaires, démontrer que :

xyz=r2(x+y+z)En prenant les parties imaginaires, on a 0=r2z+r2y+r2xxyz d"où le résultat.En déduire que : r=r(sa)(sb)(sc)s

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar+ix=ueiα, on montre aussi quer+iy=veiβet r+iz=weiγdonc :

(r+ix)(r+iy)(r+iz) =ueiαveiβweiγ=uvwei(α+β+γ)En prenant les parties imaginaires, démontrer que :

xyz=r2(x+y+z)En prenant les parties imaginaires, on a 0=r2z+r2y+r2xxyz d"où le résultat.En déduire que : r=r(sa)(sb)(sc)s

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar2s=xyz.Ors=x+ (y+z) =x+ad"oùx=saainsi

xyz= (sa)sb)(sc)et donc : r

2=(sa)(sb)(sc)s

Démontrer que l"aire du triangleABCvaut :

A=ra2 +rb2 +rc2 =qs(sa)(sb)(sc)L"aire du triangleABCest égale à la somme des aires des triangles

BIC,CIAetAIBdonc :

A=ra2 +rb2 +rc2 =r2 (a+b+c) =rs =sr(sa)(sb)(sc)s =qs(sa)(sb)(sc)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 18 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

On ar2s=xyz.Ors=x+ (y+z) =x+ad"oùx=saainsi

xyz= (sa)sb)(sc)et donc : r

2=(sa)(sb)(sc)s

Démontrer que l"aire du triangleABCvaut :

A=ra2 +rb2 +rc2 =qs(sa)(sb)(sc)L"aire du triangleABCest égale à la somme des aires des triangles

BIC,CIAetAIBdonc :

A=ra2 +rb2 +rc2 =r2 (a+b+c) =rs =sr(sa)(sb)(sc)s =qs(sa)(sb)(sc)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 18 / 24

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On ar2s=xyz.Ors=x+ (y+z) =x+ad"oùx=saainsi

xyz= (sa)sb)(sc)et donc : r

2=(sa)(sb)(sc)s

Démontrer que l"aire du triangleABCvaut :

A=ra2 +rb2 +rc2 =qs(sa)(sb)(sc)L"aire du triangleABCest égale à la somme des aires des triangles

BIC,CIAetAIBdonc :

A=ra2 +rb2 +rc2 =r2 (a+b+c) =rs =sr(sa)(sb)(sc)s =qs(sa)(sb)(sc)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 18 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Théorème de Napoléon :

Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral

On notej=e2iπ3

.SoientU,VetWtrois points du plan d"a¢ xes respectivesu,vetwDémontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()uv=j2(wv)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 19 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Théorème de Napoléon :

Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral

On notej=e2iπ3

.SoientU,VetWtrois points du plan d"a¢ xes respectivesu,vetwDémontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()uv=j2(wv)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 19 / 24

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Théorème de Napoléon :

Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral

On notej=e2iπ3

.SoientU,VetWtrois points du plan d"a¢ xes respectivesu,vetwDémontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()uv=j2(wv)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 19 / 24

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Théorème de Napoléon :

Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral

On notej=e2iπ3

.SoientU,VetWtrois points du plan d"a¢ xes respectivesu,vetwDémontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()uv=j2(wv)CRMEF Casablanca (institute)05/2015 19 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

=)SiUVWest équilatéral de sens direct, alorsUest l"image de

Wpar la rotation de centreVet d"angleπ3

uv=eiπ3 (wv) uv=j2(wv)(=Supposons: uv=j2(wv) =eiπ3 (wv) AlorsUest l"image deWpar la rotation de centreVet d"angleπ3 doncUVWest équilatéral de sens direct.Démontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()u+jv+j2w=0CRMEF Casablanca (institute)05/2015 20 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

=)SiUVWest équilatéral de sens direct, alorsUest l"image de

Wpar la rotation de centreVet d"angleπ3

uv=eiπ3 (wv) uv=j2(wv)(=Supposons: uv=j2(wv) =eiπ3 (wv) AlorsUest l"image deWpar la rotation de centreVet d"angleπ3 doncUVWest équilatéral de sens direct.Démontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()u+jv+j2w=0CRMEF Casablanca (institute)05/2015 20 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

=)SiUVWest équilatéral de sens direct, alorsUest l"image de

Wpar la rotation de centreVet d"angleπ3

uv=eiπ3 (wv) uv=j2(wv)(=Supposons: uv=j2(wv) =eiπ3 (wv) AlorsUest l"image deWpar la rotation de centreVet d"angleπ3 doncUVWest équilatéral de sens direct.Démontrer l"équivalence suivante : UVWest équilatéral de sens direct()u+jv+j2w=0CRMEF Casablanca (institute)05/2015 20 / 24

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

SupposonsUVWéquilatéral de sens direct .D"après ce qui précède, on a : uv=j2(wv) u+ (1j2)v+j2v=0 Or 1+j+j2=0 doncu+jv+j2w=0PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon ABCest un triangle quelconque de sens direct .On construit les pointsP,QetRtels queBPC,CQAetARBsoient des triangles équilatéraux de sens direct.On noteU,VetWles centres de gravité deBPC,CQAetARB respectivement.

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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

SupposonsUVWéquilatéral de sens direct .D"après ce qui précède, on a : uv=j2(wv)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13