[PDF] Exercice 1 nombres de Mersenne

Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions

4 1 Nombres de Mersenne Diviseurs des nombres de Mersenne En 1772, Euler démontre que si q premier divise M p, avec p premier, alors q 1 (mod 8) Cela réduit d'environ un facteur 2 le nombre de diviseurs premiers à tester pour un nombre de Mersenne Résultats ultérieurs Cette méthode permet de trouver la factorisation complète de M 37, M

NOMBRES de MERSENNE ( 1588-1648)

NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)Soit a un entier naturel Soit n un entier strictement supérieur à 1 an - 1 premier ⇒ ( a = 2 et n est premier ) - Démonstration : Nous allons tout d'abord montrer qu'il vient alors forcément a = 2, puis

TS spé Les nombres de Mersenne

nombres de la forme 2 1n avec n nombre premier b) En juin 2012, 47 nombres de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2 143112609 Retrouver sur Internet une chronologie des découvertes des nombres de Mersenne, ainsi que les découvreurs

Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat

Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci - Blogdemaths

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci blogdemaths wordpress com 1Nombres de Fermat On définit la suite (F n) des nombres de Fermat par : 8n2N;F n = 22 n +1 Théorème —

Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes

Primalité des nombres de Mersenne Référence : Cours de calcul formel Corps finis, systèmes polynomiaux, applications Philippe Saux Picart, Éric Rannou 2011-2012 On appelle nombres de Mersenne les M q = 2 q −1 pour q ∈ N On a d’abord le lemme : Lemme 1 Si M q est un nombre premier, alors q est premier Démonstration Si q n’est

12 décembre 2011 A#12 Nombres de Mersenne

12 décembre 2011 A#12 Nombres de Mersenne La recherche des nombres parfaits amène à se poser la question : à quelle condition le nombre 2n −1 est-il premier ? Définition On appelle nombres de Mersenne les nombres de la forme Mn =2n −1, n ≥1 Ex 12 1 Parmi les nombres M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10, quels sont ceux qui sont

Exercice 1 nombres de Mersenne

Les nombres de la forme 2n – 1 pour n entier naturel non nul, s’appellent les nombres de Mersenne (le père Marin Mersenne (1588-1648)était un religieux français) On posera pour la suite : M n = 2 n – 1 (n IN*) 1 Calculer M 1, M 2, M 3 et M 4 puis M 11 M 11 est-il premier ? 2

Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael

Activité 1 Nombres de Mersenne (5 exercices) Exercice 1 : Présentation générale des nombres de Mersenne Pré requis : Nombres premiers Programme de test de la primalité tel que le programme TESTB étudié dans l’activité 2 du thème « Les nombres premiers »

Les nombres premiers

1 5 Nombres de Mersenne On appelle nombres de Mersenne, les nombres Mn de la forme : Mn =2n −1 avec n ∈ N* 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n

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Exercice 1

Les nombres de la forme 2n nombres de

Mersenne (le père Marin Mersenne (1588-1648)était un religieux français).

On posera pour la suite : Mn = 2n 1 (n IN*).

1. Calculer M1 , M2 , M3 et M4 puis M11. M11 est-il premier ?

2. Soit a un entier naturel non nul, vérifier que pour tout entier naturel n non nul :

an 1 = (a 1)(an 1 + an 2 a + 1) En déduire que si n est composé alors Mn est composé. contraposée.

Cette réciproque est-elle vraie ?

Point Info : Les plus grands nombres de Mersenne premiers connus actuellement ont été trouvés dans le cadre du GIMPS (Great Internet Mersenne Primes Search) par la En Février 2013, 48 nombres premiers de Mersenne étaient connus. actuellement sont des nombres de

Mersenne :

237156667 1 dé 185 272 chiffres.

242643801 837 064 chiffres.

243112609 978 189 chiffres.

257885161 17 425 170 chiffres.

mais, avis aux amateurs ; un prix de 150

Exercice 2

On appelle nombre de Fermat, les entiers de la forme : Fn = 22n + 1 (n IN).

1. Etablir que, pour tout entier naturel k, on a : Fn + k 1 = (Fn 1)2k .

2. En déduire que, pour tout entier naturel k non nul, on a : Fn + k 2 (Fn).

communs.

Exercice 3

Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou non en justifiant votre réponse : 2

3. Pour n supérieur ou égal à 1, le nombre de diviseurs positifs de 10n est (n + 1)2.

4. Un nombre entier qui admet 15 diviseurs positifs possède 2 facteurs premiers distincts.

5. Soit n IN, le seul nombre premier pouvant diviser les nombres 4n + 3 et 5n + 6 est 3.

6. Aucune suite (un), où un = an + 5 avec a entier non nul, ne comporte que des entiers

premiers. ENTREE : n entier naturel supérieur à 2 INITIALISATION : Affecter à S la valeur n ! TRAITEMENT ET SORTIE : Pour k allant de 2 à n

Afficher S + k

FinPour

Quelques exercices

sur les nombres premiersquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25