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Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
COMPLÉMENTS SUR LES RÉELS
De fait, vous savez presque tout sur les réels mais pas tout.Alors que vous manipulez des inégalités depuis longtemps,
il y a tout de même une propriété de la relation?sur?que vous ne connaissez pas ditepropriété de la borne supérieure
et qui revêt pour les mathématiques du programme de MPSI une importance fondamentale. Ce chapitre vise principalement
à motiver et vous présenter cette propriété, mais nous y introduirons aussi un minimum de vocabulairetopologique. En un
mot, latopologieest la théorie très générale de la " proximité » des objets mathématiques les uns par rapport aux autres,
mais nous nous contenterons d"y mettre un pied dans?et?. Dans tout ce chapitre,A,B... sont des parties de?.1 MAJORANTS/MINORANTS,PLUS GRAND/PETIT ÉLÉMENT
1.1 MAJORANTS/MINORANTS D"UNE PARTIE DE?
Définition(Majorants/minorants d"une partie de?) Partie majorée :On dit queAestmajoréesi :?M??,?a?A,a?M.Un tel réelMest appeléUNmajorant de A. On dit aussi queAestmajorée par Mou encore queM majore A.
Partie minorée :On dit queAestminoréesi :?m??,?a?A,m?a.Un tel réelmest appeléUNminorant de A. On dit aussi queAestminorée par mou encore quem minore A.
Partie bornée :On dit queAestbornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :
?K?0,?a?A,|a|?K.?Attention !On ne parle jamais " du » majorant d"une partie majorée de?mais bien toujours d"UNmajorant car une
telle partie en possède toujours plein. Tout réel supérieurou égal à un majorant est lui-même un majorant.
ExempleL"intervalle]-∞,1]est majoré par 1, mais aussi par 2 ou e100... Il n"est pas minoré en revanche.
1.2 PLUS GRAND/PETIT ÉLÉMENT D"UNE PARTIE DE?
Définition(Plus grand/petit élément, maximum/minimum d"une partie de?)Plus grand élément :On appelleplus grand élément de Aoumaximum de Atout élément deAqui majoreA.
Plus petit élément :On appelleplus petit élément de Aouminimum de Atout élément deAqui minoreA.
Théorème(Unicité du plus grand/petit élément)SiApossède un plus grand (resp. petit) élément, celui-ci est
unique. On peut donc l"appelerLEplus grand (resp. petit) élément deAet le noter maxA(resp. minA).
?Attention !Le plus grand/petit élément est unique...S"IL EXISTE! DémonstrationSoientM,M???. SiMetM?sont deux plus grands éléments deA:M??McarMmajore AetM??A, et de mêmeM?M?carM?majoreAetM?A. Conclusion :M=M?. ExempleL"intervalle[0,1[admet 0 pour plus petit élément maisN"aPASde plus grand élément. 01x x+1 2Démonstration
0 appartient à[0,1[et le minore, donc en est le plus petit élément.
Pour montrer que[0,1[n"a pas de plus grand élément, il nous suffit de montrer qu"aucun élément de[0,1[ne
majore[0,1[. Or pour toutx?[0,1[:xChristophe Bertault Mathématiques en MPSI
Théorème(Deux propriétés de?)
(i) Toute partie non vide de?possède un plus petit élément. (ii) Toute partie non vide majorée de?possède un plus grand élément.Démonstration
(i) SoitAune partie de?, vide ou non. Supposons par contraposition queAne possède pas de plus petit
élément. Aucun élément deAne peut alors minorerA. Or nous allons montrer par récurrence queAest
minorée parnpour toutn??. Il en découlera comme voulu queAest vide. Initialisation :Aest minorée par 0 car toute partie de?l"est.Hérédité :Soitn??. SupposonsAminorée parn. Comme par hypothèseAne possède pas de plus petit
élément, forcémentn/?A, donca>npour touta?A. Mais ceci revient à dire, parce que nous travaillons
avec desENTIERS, quea?n+1 pour touta?A. En d"autres termes,Aest minorée parn+1.(ii) SoitAune partie non vide majorée de?. Par hypothèse, l"ensemble des majorantsENTIERSdeAest non
vide, donc possède un plus petit élémentmd"après (i). Supposons d"abord quem=0. Dans ce casa?m=0 pour touta?A, donca=0 cara??. PuisqueA est non vide, cela montre queA=0, et doncAadmet 0 pour plus grand élément. Supposons à présent quem?=0. Ainsim-1??, donc par minimalité dem,m-1 ne majore donc pasA, doncm-12 BORNE SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE D"UNE PARTIE DE?
2.1 DÉFINITION
Nous avons vu que[0,1[n"a pas de plus grand élément, pourtant sa borne 1 est quelquechose de cet ordre mais quoi?
Comment décrire conceptuellement ce réel qui n"est pas dans[0,1[mais qui n"est pas n"importe qui pour[0,1[? Ce qui rend
la majorant 1 si particulier pour[0,1[, c"est qu"il est le meilleur majorant qu"on pouvait espérer, le plus petit possible d"où
la définition suivante. Définition(Borne supérieure/inférieure d"une partie de?)Borne supérieure : S"IL EXISTE, le plus petit majorant deAest appeléLAborne supérieure de Aet noté supA.
Borne inférieure : S"IL EXISTE, le plus grand minorant deAest appeléLAborne inférieure de Aet noté infA.
La différence essentielle entre plus grand élément et bornesupérieure, c"est que la borne supérieure, quand elle existe,
n"appartient pas forcément à l"ensemble considéré.La borne supérieure n"existe pas toujours, mais quand elle existe, elle est unique en tant que plus petit élément raison
pour laquelle on peut parler deLAborne supérieure et lui accorder une notation. ExempleMontrons proprement que[0,1[admet 1 pour borne supérieure.DémonstrationPour commencer, 1 majore[0,1[, mais il reste à montrer qu"aucun réel strictement inférieur à
1 ne majore[0,1[. Soitx<1 un tel réel.
Six<0,xne majore pas[0,1[car 0?[0,1[.
Six?[0,1[:x 2et pourtantx+12?[0,1[, doncxne majore pas[0,1[.
Dans les deux cas,xne majore pas[0,1[.
En résumé,[0,1[possède une borne supérieure, maisPASde plus grand élément. Inversement, une partie de?peut-elle
posséder un plus grand élément maisPASde borne supérieure? Eh bien non. 2 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Théorème(Max/min implique sup/inf)SiApossède un plus grand (resp. petit) élément,Apossède une borne
supérieure (resp. inférieure) et : supA=maxA(resp. infA=minA). DémonstrationNous devons montrer que l"ensemble?des majorants deApossède un plus petit élément
alorsApossédera une borne supérieure et qu"en fait ce plus petit élément est maxA cela prouvera que
supA=maxA. Deux choses à vérifier : que maxA? ?, mais par définition, maxAmajoreA, que maxAminore?, mais par définition maxA?A. ExempleNon majoré,?+ne possède pas de borne supérieure. En revanche, parce que 0 en est le plus petit élément, 0 en
est aussi la borne inférieure. Théorème(Opérations sur les bornes supérieures)On suppose queAetBpossèdent chacune une borne supérieure.
(i)Inclusion :SiA?B, alors supA?supB. (ii)Réunion :L"ensembleA?Bpossède une borne supérieure et : sup(A?B) =maxsupA,supB. (iii)Somme :L"ensembleA+B= a+b|a?Aetb?B possède une borne supérieure et : sup(A+B) =supA+supB. (iv)Multiplication par un réel strictement positif :Pour toutλ >0, l"ensembleλA=λa|a?Apossède une
borne supérieure et : sup(λA) =λsupA. On dispose d"un résultat analogue pour les bornes inférieures. Démonstration
(i) Pour toutx?A:x?Bdoncx?supB, donc supBmajoreA, donc supA?supB. (ii) Pour toutx?A:x?supA?maxsupA,supB, et pour toutx?B:x?supB?maxsupA,supB, donc maxsupA,supBmajoreA?B. Soits0, doncλsupAmajoreλA. Soits< λsupA. Aussitôts
λNous établirons au prochain chapitre " Limite d"une suite » une caractérisation de la borne supérieure/inférieure très simple d"utilisation en termes de suites. 2.2 PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE
Le résultat qui suit estUNE PROPRIÉTÉ ESSENTIELLE DE L"ENSEMBLE DES RÉELS. Sa démonstration dépend de la façon
dont on construit?à partir de?, donc ne nous intéresse pas car nous admettons l"existence des nombres réels. En un sens,
en tout cas,TOUTE L"ANALYSE EST DANS CE THÉORÈME. Directement ou non, c"est de lui que nous allons déduire tous les
grands théorèmes d"analyse du programme de MPSI théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes,
théorème de Bolzano-Weiertstrass, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, théorème de Rolle,
théorème des accroissements finis, théorème de Heine et construction de l"intégrale. 3 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Le problème posé est simple, on veut déterminer toutes les parties de?qui possèdent une borne supérieure. Or pour
commencer, l"ensemble vide admet tout réel pour majorant, donc ne possède pas de borne supérieure car?n"est pas minoré.
Ensuite, évidemment, si une partie non vide de?possède une borne supérieure, cette partie est aussi majorée mais la
réciproque est-elle vraie? Toute partie non vide majorée de?possède-t-elle une borne supérieure? La réponse estOUI, ce
qui veut dire que le résultat suivant estLE MEILLEUR QU"ON POUVAIT ESPÉRER. Théorème(Propriété de la borne supérieure/inférieure) Propriété de la borne supérieure :Toute partie non vide majorée de?possède une borne supérieure.
Propriété de la borne inférieure :Toute partie non vide minorée de?possède une borne inférieure.
?Attention !Généralement, en mathématiques, le mot " propriété » renvoie àUNEpropriété parmi d"autres d"un objet.
Quand nous parlerons deLApropriété de la borne supérieure, il s"agira toujours du théorème fondamental qui précède.
La propriété de la borne supérieure est un pur résultat d"EXISTENCEet ne raconte rien d"intéressant sur laVALEURdes
bornes supérieures. Telle borne supérieure existe, c"est magique, mais la propriété n"en dit pas plus. Nous n"avons paseu
besoin de la propriété de la borne supérieure pour montrer que sup[0,1[=1 car nous avions à l"avance une idée très claire
de la valeur de cette borne, mais il arrivera souvent que nousn"ayons aucune idée précise de ce genre. La propriété de
la borne supérieure sera alors notre lueur dans l"obscurité, la petite magie qui fera surgir des êtres de nulle part et nous
permettra d"avancer. Par exemple, faites l"effort d"oublier que vous manipulez des racines carrées depuis des lustres. La racine carrée d"un
réel positifaest par définition l"unique réel positifrpour lequelr2=a, mais cette définition est un théorème d"existence
et d"unicité avant d"être une définition. L"unicité est claire, car pour tousr,r??0, sir2=r?2, alorsr=±?r, doncr=r?
par positivité. Mais l"existence, qui nous la garantit? Si vous y réfléchissez bien, vous avez accepté l"existence des racines
carrées sans même vous en rendre compte alors qu"elle n"a rien d"évident, et elle découle en fait de la propriété de la borne
supérieure. Fixonsa?0. J"affirme que l"ensembleR=
r?0|r2?a est une partie non vide majorée de?. Si on part du principe qu"on connaît les racines carrées, alors évidemmentR=0,? a, mais si on se donne au contraire pour mission de les définir, on sera content de pouvoir poser par définition? a=supR. Tout d"abord,Rest non vide car il contient 0. Ensuite,Rest majoré para+1 car pour toutr?R:r2?a?a+1a+1?1?(a+1)2, donc(a+1-r)(a+1+r)?0, donca+1-r?0, et enfinr?a+1. La propriété de la borne supérieure nous permet ainsi de poser? a=sup r?0|r2?a , et nous tenons là une vraie définition propre de la racine carrée. On pourrait en tirer toutes les propriétés usuelles des racines carrées.
2.3 DROITE ACHEVÉE?
La propriété de la borne supérieure est un outil puissant mais présente tout de même un gros inconvénient. On aurait
préféré l"énoncé suivant : "TOUTEpartie de?possède une borne supérieure. » Que manque-t-il à?pour que ce résultat
soit vrai? Pourquoi?lui-même, par exemple, n"a-t-il pas de borne supérieure? Réponse : parce qu"il n"a pas de majorant.
Eh bien rajoutons-en! Donnons-nous pour cela deux objets mathématiques quelconques extérieurs à?et notons-les+∞
et-∞. Peu importe qui ils sont, ce qui compte, ce sont les règles decalcul que nous allons leur imposer. En principe, ces
règles devraient vous paraître naturelles. Définition(Droite achevée?)On pose?=??-∞,+∞. On étend à?la relation?, l"addition+et la
multiplication×de?de la façon suivante. Prolongement de l"ordre :Pour toutx??:-∞Prolongement de l"addition :x+(+∞) = (+∞)+x= +∞etx+(-∞) = (-∞)+x=-∞, et pour toutx??:(+∞)+(+∞) = +∞et(-∞)+(-∞) =-∞. Prolongement de la multiplication :1
+∞=1-∞=0 et pour toutx??\0: x×(+∞) = (+∞)×x="+∞six>0 -∞six<0etx×(-∞) = (-∞)×x="-∞six>0 +∞six<0. 4 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
?Attention !Nous ne donnerons aucun sens aux expressions : (+∞)-(+∞),(-∞)-(-∞), 0×(±∞),(±∞)×0 et±∞ La remarque qui suit est légèrement hors programme, mais néanmoins éclairante. Dans le nouveau monde
?, rien ne nous empêche de définir comme nous l"avons fait dans?les notions de majorant/minorant, plus grand/petit élément et
borne supérieure/inférieure. Il n"est pas trop dur de montrer que les majorants/plus grands éléments/bornes supérieures
que nous calculonsDANS?sont encore des majorants/plus grands éléments/bornes supérieuresDANS
?, mais certaines parties quiN"avaientPASde majorant/plus grand élément/borne supérieure se trouvent maintenant en avoir.
L"intervalle?+est majoré par+∞DANS
?et y admet même+∞pour borne supérieure alors qu"il n"était pas majoré DANS?.
L"ensemble vide admet tout élément de
?pour majorantDANS?, or?admet-∞pour plus petit élémentDANS?, donc∅admet-∞pour borne supérieure! Plus généralement, dans le nouveau monde
? merci?! la propriété de la borne supérieure s"énonce avec plus de pureté, elle a trouvé son chez-soi : TOUTEpartie de?possède une borne supérieureDANS? éventuellement±∞. En outre, pour une partie non vide majorée de?, borne supérieure dans?et borne supérieure dans ?coïncident. 2.4 QU"EST-CE QU"UN INTERVALLE?
Par définition, pour tousa,b?? éventuellement±∞:[a,b] = x??|a?x?b [a,b[= x? ?|a?xCes ensembles sont tous appelés des intervalles, mais qu"ont-ils de commun? Ne peut-on pas trouver une définition unique des intervalles, i.e. une définition qui ne nous oblige pas à distinguer mille cas? Ce paragraphe est justement consacré
à une telle re-définition " sans cas » des intervalles, dont ilnous faudra bien sûr démontrer qu"elle concerne exactementles
intervalles auxquels nous sommes habitués, ni plus, ni moins. Définition(Intervalle de?)
On appelleintervalle de
?toute partieIde?pour laquelle :?x,y?I,x?y=?[x,y]?I. Par définition, un intervalle de
?est donc une partie de?qui, quand elle contient deux points, contient aussi toutesleurs " valeurs intermédiaires ». Les esprits malins auront deviné que je prépare ici le terrain du TVI en vue des prochains mois.
ExemplePour tousa,b??pour lesquelsa?b, les ensembles[a,b],[a,b[,]a,b]et]a,b[sont des intervalles au sens de
la définition " sans cas » précédente. DémonstrationMontrons seulement que[a,b[est un intervalle. Soientx,y?[a,b[avecx?y. Nous devons montrer que[x,y]?[a,b[. Or pour toutt?[x,y]:a?x?t?yThéorème(Caractérisation des intervalles de?)Les intervalles de?sont exactement les ensembles[a,b],[a,b[, ]a,b]et]a,b[,aetbdécrivant ?aveca?b. DémonstrationSoitIun intervalle non vide de?. La propriété de la borne inférieure/supérieureDANS?
montre queIpossède une borne inférieureaet une borne supérieureb. Distinguons plusieurs cas.
Cas oùa?Ietb?I:Montrons queI= [a,b].
Montrons que[a,b]?I. OrIest un intervalle et contientaetb, donc[a,b]?I. Montrons queI?[a,b]. Or pour toutx?I, commeaminoreIetbmajoreI:a?x?b, i.e. x?[a,b]. Cas oùa?Ietb/?I:Montrons queI= [a,b[.
Montrons que[a,b[?I. Soitx?[a,b[. CommexChristophe Bertault Mathématiques en MPSI
Cas oùa/?Ietb?I:On montre queI=]a,b]en adaptant la preuve du cas précédent. Cas oùa/?Ietb/?I:On montre cette fois queI=]a,b[. 2et pourtantx+12?[0,1[, doncxne majore pas[0,1[.
Dans les deux cas,xne majore pas[0,1[.
En résumé,[0,1[possède une borne supérieure, maisPASde plus grand élément. Inversement, une partie de?peut-elle
posséder un plus grand élément maisPASde borne supérieure? Eh bien non. 2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Théorème(Max/min implique sup/inf)SiApossède un plus grand (resp. petit) élément,Apossède une borne
supérieure (resp. inférieure) et : supA=maxA(resp. infA=minA).DémonstrationNous devons montrer que l"ensemble?des majorants deApossède un plus petit élément
alorsApossédera une borne supérieure et qu"en fait ce plus petit élément est maxA cela prouvera que
supA=maxA. Deux choses à vérifier : que maxA? ?, mais par définition, maxAmajoreA, que maxAminore?, mais par définition maxA?A.ExempleNon majoré,?+ne possède pas de borne supérieure. En revanche, parce que 0 en est le plus petit élément, 0 en
est aussi la borne inférieure.Théorème(Opérations sur les bornes supérieures)On suppose queAetBpossèdent chacune une borne supérieure.
(i)Inclusion :SiA?B, alors supA?supB. (ii)Réunion :L"ensembleA?Bpossède une borne supérieure et : sup(A?B) =maxsupA,supB. (iii)Somme :L"ensembleA+B= a+b|a?Aetb?B possède une borne supérieure et : sup(A+B) =supA+supB.(iv)Multiplication par un réel strictement positif :Pour toutλ >0, l"ensembleλA=λa|a?Apossède une
borne supérieure et : sup(λA) =λsupA. On dispose d"un résultat analogue pour les bornes inférieures.Démonstration
(i) Pour toutx?A:x?Bdoncx?supB, donc supBmajoreA, donc supA?supB. (ii) Pour toutx?A:x?supA?maxsupA,supB, et pour toutx?B:x?supB?maxsupA,supB, donc maxsupA,supBmajoreA?B. SoitsSoits< λsupA. Aussitôts
λ2.2 PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE
Le résultat qui suit estUNE PROPRIÉTÉ ESSENTIELLE DE L"ENSEMBLE DES RÉELS. Sa démonstration dépend de la façon
dont on construit?à partir de?, donc ne nous intéresse pas car nous admettons l"existence des nombres réels. En un sens,
en tout cas,TOUTE L"ANALYSE EST DANS CE THÉORÈME. Directement ou non, c"est de lui que nous allons déduire tous les
grands théorèmes d"analyse du programme de MPSI théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes,
théorème de Bolzano-Weiertstrass, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, théorème de Rolle,
théorème des accroissements finis, théorème de Heine et construction de l"intégrale. 3Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Le problème posé est simple, on veut déterminer toutes les parties de?qui possèdent une borne supérieure. Or pour
commencer, l"ensemble vide admet tout réel pour majorant, donc ne possède pas de borne supérieure car?n"est pas minoré.
Ensuite, évidemment, si une partie non vide de?possède une borne supérieure, cette partie est aussi majorée mais la
réciproque est-elle vraie? Toute partie non vide majorée de?possède-t-elle une borne supérieure? La réponse estOUI, ce
qui veut dire que le résultat suivant estLE MEILLEUR QU"ON POUVAIT ESPÉRER. Théorème(Propriété de la borne supérieure/inférieure)Propriété de la borne supérieure :Toute partie non vide majorée de?possède une borne supérieure.
Propriété de la borne inférieure :Toute partie non vide minorée de?possède une borne inférieure.
?Attention !Généralement, en mathématiques, le mot " propriété » renvoie àUNEpropriété parmi d"autres d"un objet.
Quand nous parlerons deLApropriété de la borne supérieure, il s"agira toujours du théorème fondamental qui précède.
La propriété de la borne supérieure est un pur résultat d"EXISTENCEet ne raconte rien d"intéressant sur laVALEURdes
bornes supérieures. Telle borne supérieure existe, c"est magique, mais la propriété n"en dit pas plus. Nous n"avons paseu
besoin de la propriété de la borne supérieure pour montrer que sup[0,1[=1 car nous avions à l"avance une idée très claire
de la valeur de cette borne, mais il arrivera souvent que nousn"ayons aucune idée précise de ce genre. La propriété de
la borne supérieure sera alors notre lueur dans l"obscurité, la petite magie qui fera surgir des êtres de nulle part et nous
permettra d"avancer.Par exemple, faites l"effort d"oublier que vous manipulez des racines carrées depuis des lustres. La racine carrée d"un
réel positifaest par définition l"unique réel positifrpour lequelr2=a, mais cette définition est un théorème d"existence
et d"unicité avant d"être une définition. L"unicité est claire, car pour tousr,r??0, sir2=r?2, alorsr=±?r, doncr=r?
par positivité. Mais l"existence, qui nous la garantit? Si vous y réfléchissez bien, vous avez accepté l"existence des racines
carrées sans même vous en rendre compte alors qu"elle n"a rien d"évident, et elle découle en fait de la propriété de la borne
supérieure.Fixonsa?0. J"affirme que l"ensembleR=
r?0|r2?a est une partie non vide majorée de?. Si on part du principe qu"on connaît les racines carrées, alors évidemmentR=0,? a, mais si on se donne au contraire pour mission de les définir, on sera content de pouvoir poser par définition? a=supR. Tout d"abord,Rest non vide car il contient 0. Ensuite,Rest majoré para+1 car pour toutr?R:r2?a?a+1a+1?1?(a+1)2, donc(a+1-r)(a+1+r)?0, donca+1-r?0, et enfinr?a+1. La propriété de la borne supérieure nous permet ainsi de poser? a=sup r?0|r2?a , et nous tenons là une vraiedéfinition propre de la racine carrée. On pourrait en tirer toutes les propriétés usuelles des racines carrées.
2.3 DROITE ACHEVÉE?
La propriété de la borne supérieure est un outil puissant mais présente tout de même un gros inconvénient. On aurait
préféré l"énoncé suivant : "TOUTEpartie de?possède une borne supérieure. » Que manque-t-il à?pour que ce résultat
soit vrai? Pourquoi?lui-même, par exemple, n"a-t-il pas de borne supérieure? Réponse : parce qu"il n"a pas de majorant.
Eh bien rajoutons-en! Donnons-nous pour cela deux objets mathématiques quelconques extérieurs à?et notons-les+∞
et-∞. Peu importe qui ils sont, ce qui compte, ce sont les règles decalcul que nous allons leur imposer. En principe, ces
règles devraient vous paraître naturelles.Définition(Droite achevée?)On pose?=??-∞,+∞. On étend à?la relation?, l"addition+et la
multiplication×de?de la façon suivante. Prolongement de l"ordre :Pour toutx??:-∞Prolongement de la multiplication :1
+∞=1-∞=0 et pour toutx??\0: x×(+∞) = (+∞)×x="+∞six>0 -∞six<0etx×(-∞) = (-∞)×x="-∞six>0 +∞six<0. 4Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
?Attention !Nous ne donnerons aucun sens aux expressions : (+∞)-(+∞),(-∞)-(-∞), 0×(±∞),(±∞)×0 et±∞La remarque qui suit est légèrement hors programme, mais néanmoins éclairante. Dans le nouveau monde
?, rien nenous empêche de définir comme nous l"avons fait dans?les notions de majorant/minorant, plus grand/petit élément et
borne supérieure/inférieure. Il n"est pas trop dur de montrer que les majorants/plus grands éléments/bornes supérieures
que nous calculonsDANS?sont encore des majorants/plus grands éléments/bornes supérieuresDANS
?, mais certainesparties quiN"avaientPASde majorant/plus grand élément/borne supérieure se trouvent maintenant en avoir.
L"intervalle?+est majoré par+∞DANS
?et y admet même+∞pour borne supérieure alors qu"il n"était pas majoréDANS?.
L"ensemble vide admet tout élément de
?pour majorantDANS?, or?admet-∞pour plus petit élémentDANS?, donc∅admet-∞pour borne supérieure!Plus généralement, dans le nouveau monde
? merci?! la propriété de la borne supérieure s"énonce avec plus de pureté, elle a trouvé son chez-soi : TOUTEpartie de?possède une borne supérieureDANS? éventuellement±∞. En outre, pour une partie non vide majorée de?, borne supérieure dans?et borne supérieure dans ?coïncident.2.4 QU"EST-CE QU"UN INTERVALLE?
Par définition, pour tousa,b?? éventuellement±∞:[a,b] = x??|a?x?b [a,b[= x? ?|a?xCes ensembles sont tous appelés des intervalles, mais qu"ont-ils de commun? Ne peut-on pas trouver une définitionunique des intervalles, i.e. une définition qui ne nous oblige pas à distinguer mille cas? Ce paragraphe est justement consacré
à une telle re-définition " sans cas » des intervalles, dont ilnous faudra bien sûr démontrer qu"elle concerne exactementles
intervalles auxquels nous sommes habitués, ni plus, ni moins.Définition(Intervalle de?)
On appelleintervalle de
?toute partieIde?pour laquelle :?x,y?I,x?y=?[x,y]?I.Par définition, un intervalle de
?est donc une partie de?qui, quand elle contient deux points, contient aussi toutesleurs" valeurs intermédiaires ». Les esprits malins auront deviné que je prépare ici le terrain du TVI en vue des prochains mois.
ExemplePour tousa,b??pour lesquelsa?b, les ensembles[a,b],[a,b[,]a,b]et]a,b[sont des intervalles au sens de
la définition " sans cas » précédente. DémonstrationMontrons seulement que[a,b[est un intervalle. Soientx,y?[a,b[avecx?y. Nous devons montrer que[x,y]?[a,b[. Or pour toutt?[x,y]:a?x?t?yDémonstrationSoitIun intervalle non vide de?. La propriété de la borne inférieure/supérieureDANS?
montre queIpossède une borne inférieureaet une borne supérieureb. Distinguons plusieurs cas.
Cas oùa?Ietb?I:Montrons queI= [a,b].
Montrons que[a,b]?I. OrIest un intervalle et contientaetb, donc[a,b]?I. Montrons queI?[a,b]. Or pour toutx?I, commeaminoreIetbmajoreI:a?x?b, i.e. x?[a,b].Cas oùa?Ietb/?I:Montrons queI= [a,b[.
Montrons que[a,b[?I. Soitx?[a,b[. Commex2.5 PARTIE ENTIÈRE
Définition-théorème(Partie entière)
??y=?x?Soitx??. Il existe un uniqueENTIERn??pour lequeln?xDémonstrationL"existence de la partie entière vous paraît sans doute évidente, elle découle en réalité de la
propriété de la borne supérieure. Qui nous garantit en effetque l"ensemble n??|n?x possède un plusgrand élément? Nous avons vu que toute partie de?majoréeDANS?possède un plus grand élément, mais ici
on est dans? ce qui n"est pas trop grave et surtout, l"ensemble n??|n?x est majoréeDANS? etça c"est grave si on veut que la partie entière soit un entier.Pour justifier l"existence de la partie entière, on pose
donc?x?=sup n??|n?x grâce à la propriété de la borne supérieure et on démontre ensuite proprement que?x?est un entier. Mais trève de bavardages, on l"admet. Exemple?11?=11,?5,2?=5,?-4?=-4,MAIS ATTENTION:?-7,3?=-8 (et non pas-7).ExempleSoientT>0 etx??. Il paraît clair qu"on peut toujours ramenerxdans l"intervalle[0,T[en lui ajou-
tant/retranchant un certain nombre de foisT, mais montrons-le. On cherche un entiern??pour lequelx-nT?[0,T[,
i.e.n?x TExempleNous aurons bientôt régulièrement recours aux raisonnements qui suivent, il faut donc bien les comprendre.
Soient? >0 etA>0 fixés. Le mot " rang » désigne ci-dessous uniquement des entiers naturels.À partir de quel rang est-il vrai que1
n< ?? Cette inégalité est vraie si et seulement sin>1?, donc à partir du rang!1 ?!+1car!1?! est le plus grand entier inférieur ou égal à1?. À partir de quel rang est-il vrai quen2>A? C"est vrai si et seulement sin>?A, donc à partir du rang?A+1.
À partir de quel rang est-il vrai que1
2n< ?? C"est vrai si et seulement si 2n>1?, i.e.n>-ln?ln2, donc à partir du rang
max" 0,! -ln? ln2!+1 . Pourquoi ce " max »? Parce que nous cherchons un entier naturel.3 LA TOPOLOGIE DE?EN QUELQUES MOTS
3.1 VOISINAGES D"UN POINT DE?DANS?
Le concept devoisinagen"est pas au programme de MPSI, mais il éclaire tellement leschapitres d"analyse de l"année qu"il
serait dommage de s"en priver.Définition(Voisinage d"un point de?dans?)
Soita??. On appellevoisinage de a(dans?) toute partieVde?pour laquelle :?? >0,]a-?,a+?[?V. On appellevoisinage de+∞(dans?) toute partieVde?pour laquelle :?A>0,]A,+∞[?V. On appellevoisinage de-∞(dans?) toute partieVde?pour laquelle :?A<0,]-∞,A[?V.Pour touta?
?, on notera parfois?a(?)l"ensemble des voisinages deadans?, mais la notation n"est pas universelle.Pour touta?
?, un voisinage deaest donc une partie de?qui contient tous les réels " à proximité immédiate » dea. Un
voisinage peut avoir une tête compliquée puisqu"il n"est censé queCONTENIRun intervalle de la forme]a-?,a+?[,]A,+∞[
ou]-∞,A[, mais au fond, je vous recommande de penser àCES VOISINAGES-LÀquand vous vous représentez un voisinage.
6Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Voisinage " de base » de-∞
A ?a? Voisinage " de base » dea??Voisinage " de base » de+∞ AThéorème(Propriétés des voisinages)
(i) Pour touta? ?, l"intersection de deux voisinages deaest un voisinage dea. (ii) Deux points distincts de ?possèdent des voisinages disjoints. En d"autres termes, pour tousa,b??distincts, il existe un voisinageVadeaet un voisinageVbdebpour lesquelsVa∩Vb=∅.DémonstrationAttention, je ne traite pas tous les cas possibles dans la preuve qui suit, complétez!
(i) Soienta? ?etVetV?deux voisinages dea. Cas oùa??:Il existe deux réels?,??>0 pour lesquels]a-?,a+?[?Vet]a-??,a+??[?V?. Aussitôt,V∩V?est un voisinage deacar]a-???,a+???[?V∩V?pour???=min?,??>0.Cas oùa= +∞:Il existe deux réelsA,A?>0 pour lesquels]A,+∞[?Vet]A?,+∞[?V?. Aussitôt,
V∩V?est un voisinage de+∞car]A??,+∞[?V∩V?pourA??=maxA,A?>0. (ii) Soienta,b? ?deux réels pour lesquelsa3>0, puisVa=]a-?,a+?[etVb=]b-?,b+?[. Comme voulu,
V aest un voisinage dea,Vbun voisinage debetVa∩Vb=∅. Cas oùa??etb= +∞:PosonsVa=]a-1,a+1[etV+∞=]a+2,+∞[. Comme voulu,Vaest un voisinage dea,V+∞un voisinage de+∞etVa∩V+∞=∅. ??abVaVb-∞+∞
?a 12VaV+∞
En vue de nos travaux à venir sur les suites et les fonctions à valeurs dans?, la définition qui suit généralise la précédente.
Le théorème " Propriétés des voisinages » reste vrai de ces nouveaux voisinages. Définition(Voisinage d"un point de?dans?)Soita??.On appellevoisinage de a(dans?) toute partieVde?
?aVoisinage
" de base » deapour laquelle :?? >0, D(a,?)?V, où D(a,?) = z??| |z-a|< ?3.2 POINTS INTÉRIEURS,POINTS ADHÉRENTS,PARTIES DENSES
Définition(Point intérieur/adhérent à une partie de?) Point intérieur :Soitx??. On dit quexestintérieur à AsiAcontient un voisinage dex, i.e. si :?? >0,]x-?,x+?[?A.Point adhérent :Soitx?
?. On dit quexestadhérent à AsiArencontre tout voisinage dex, i.e. si pour tout voisinageVxdex:A∩Vx?=∅. APoint adhérent
maisNONintérieurPoint intérieur
et adhérentEn termes simples,xest intérieur àAs"il appartient àAsans être " au bord deA», et adhérent àAs"il appartient àAou
se trouve " au bord deA». Exemple1 est adhérent à[0,1[et+∞est adhérent à??+. Définition-théorème(Partie dense de?)Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Tout réel est adhérent àA.(ii)Arencontre tout intervalle ouvert non vide de?, ce qui revient à dire qu"on peut toujours trouver un élément
deAentre deux réels distincts.On dit dans ces conditions queAestdense dans?.
7Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
En termes simples, une partie dense de?est une partie de?qui est un peu partout sans être forcément tout.
Démonstration
(i)=?(ii) Soientx,y??avecx (ii)=?(i) Soitx??. Nous voulons montrer quexest adhérent àA. Or pour tout voisinageVxdex, d"une contient un élément deApar hypothèse, doncVxcontient un élément deA. Comme voulu,Arencontre tout Il y a ainsi toujours un rationnel entre deux irrationnels distincts et un irrationnel entre deux rationnels distincts.Les ensembles?et?\?sont imbriqués l"un dans l"autre un peu à la manière d"une fermeture-éclair. DémonstrationSoienta,b??deux réels pour lesquelsa 1 b-a. Posons doncq=!1b-a! +1, de telle sorte queq???et 1Enfin,r?
2 est irrationnel sans quoi?2=1r×r?2 serait rationnel par produit ce qui est faux.
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