PRODUIT SCALAIRE
1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u =AB """ La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u par v, noté u v, le nombre réel définit par : - u v =0, si l'un
VECTEURS ET DROITES
Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires II Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D est une droite du plan On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite D 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition :
Vecteurs du plan - Serveur de mathématiques - LMRL
u v=− Exemples : Rappel Etant donné un vecteur u du plan, la translation de vecteur u, notée t u, est l’application du plan dans lui-même qui associe à tout point M le point M' tel que MM u'= Le point M' est appelé image de M par t u Exemple 2 Addition et soustraction des vecteurs L’ensemble des vecteurs du plan est noté V
Exercice 1 : Coordonnées et Norme de Vecteur, dans le Plan
La commande Vecteur avec Géogébra : u = V ecteur[(Point),(Point)] Pour faire des Sommes de Vecteurs avec Géogébra : u + v Pour faire un Produit Réel, Vecteur avec Géogébra : k ∗ u
Produit scalaire - BAC DE FRANCAIS
Les vecteurs u et v sont de même sens : Alors : u v u v = × Les vecteurs u et v sont de sens contraire : Alors : u v u v =− × III Propriétés du produit scalaire 1 Symétrie du produit scalaire : Pour tous vecteurs u et v, on a : u v vu = 2 Règles de calcul sur le produit scalaire : Pour tous vecteurs u et v et tout réel k on a :
Niveau : TRONC COMMUN - Cours Les vecteurs dans le plan page
Le produit d’un vecteur u par un réel ( ou un scalaire ) est le vecteur v qui vérifie : v a la direction parallèle à la direction du vecteur u v a pour sens : Ce lui de u si k0 Contraire de si k0 v de norme (longueur) égale à la norme (longueur) de u multiplier par k ou encore v k u Cas particulier : pour tout vecteur u on a :
Vecteurs du plan (introduction)
du vecteur u— correspondant à la translation qui transforme Men N Si MNest un représentant d'un vecteur u— alors nous dé nissons la norme du vecteur par : ‰u—‰ MN, la dirctione du vecteur qui est la droite MN , le sens du vecteur u— : de Mvers N Égalité de représentants Deux représentants ABet
VECTEURS DE L’ESPACE - AlloSchool
u v v u ' '2) u v w v u w 3) u u u 00 4) Tout vecteur de admet un opposé noté u: u u u u 0 donc : ( , +) est un groupe commutatif Et et on a donc : u v u v 2) Produit d’un vecteur par un réel Définition : ∀ ∈ et ∀ ∈ et k Si est non nul on pose : u AB
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur
u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v×cosu
;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB×AC
×cosBAC
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.
AB .AC =AB×AC
×cosBAC
=a×a×cos60° =a 2×0,5
a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur
u et v , on a : u .v =v .uDémonstration : On suppose que
u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v×cosu
;v =v ×u×cosu
;v =v ×u×cos-v
;u =v ×u×cosv
;u =v .u4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs
u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs
u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2Démonstration pour le 2) :
u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur
u , on a : u .u =u ×u×cosu
;u =u 2×cos0=u
2 et u .u =u 2On a ainsi :
u 2 =u .u =u 2Propriété : Soit
u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 u +v 2 -u 2 -v 2Démonstration de la première formule :
u -v 2 =u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 =u 2 -2u .v +v 2 donc u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 24YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Démonstration :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -AB -AC 2 1 2 AB 2 +AC 2 -CB 2 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Exemple : Vidéo https://youtu.be/GHPvfaHnysg
CG .CF 1 2 CG 2 +CF 2 -GF 2 1 2 6 2 +7 2 -3 2 =38 III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u .v =0. Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire.
u .v =0 ⇔u ×v