Exercices sur la notion de limite pour les suites numériques

Chapitre 5 : Notion de vecteurs : exercices maison b A b B b C b D b E Placer D et E tels que : −−→ AD= 3 2 −→ ABet −−→ DE= 3 2 −−→ BC Conjecturer une expression de −→ AE en fonction de −→ AC Il semble que −→ AE= 3 2 −→ AC Démontrer la conjecture en commençant par −→ AE= −−→ AD+ −−→ DE= 3

Professeur: Rana Kaoury

Notion de fonction Proportionnalité et fonction linéaire Conjecturer 2 Démontrer

Fonctions - Institut de Mathématiques de Toulouse

Après avoir fait une étude de la fonction f, dressez l’allure de sa courbe représentative, Exercice 31 Etudier la fonction f : x7x p 1¡x2 aﬁn d’en réaliser la représentation graphique Exercice 32 Soit f :RR une fonction dérivable et convexe 1 Démontrer que si f est majorée alors f est constante

Un exemple sur la liaison Collège- Lycée - Académie de Limoges

La notion de conjecture affirmée ou infirmée est régulièrement travaillée depuis la classe de 6° Le travail proposé peut servir de reprise de la notion de fonction avant de poursuivre d’une part l’étude des fonctions avec celle des les fonctions affines et, d’autre part, le calcul algébrique

Exercices sur la notion de limite pour les suites numériques

1) Démontrer par récurrence que pour tout , on a uv nn 2) Si les suites et ont des limites finies L et L’, que peut-on dire de L et L’ ? 3) En utilisant un tableur, conjecturer la limite de chacune des suites Exercice 18 : On considère la suite définie par u n n n n 8 pour tout 1) En écrivant u n sous la forme u n n n 8

Fonctions linéaires, Fonctions affines

notion de fonction, dans sa conception actuelle qui fait correspondre à tout élément d’un ensemble un élément d’un autre ensemble Mais il ne s’agit pas de donner une définition générale de la notion de fonction Le travail est limité à l’étude de fonctions particulières : les fonctions linéaires et affines

Limites de fonctions

peut à partir de ce constat aborder la notion de limite en un point A Exercice [Solution n°11 p 32] Dans cette activité, nous allons étudier plusieurs comportements en un point d'abscisse a Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction du comportement de la fonction au point d'abscisse 1 - 2 - 3 -

CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques

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Exercice 01

Pour chacune des suites, en calculant différents termes, conjecturer la valeur limite de nu quand n devient infiniment grand (c'est-à-dire quand n tend vers 1) 1 nun pour 1n 2)

221nun

pour n 3)

21nnun

pour n 4) 2nnu pour n 5) 21
5nnun pour 6n 6) 1n nu pour n

Exercice 02

On considère la suite

nu définie par récurrence par 0 1 4 112nn
u uu pour tout n

1) Calculer

1u 2u 3u 4u 5u

2) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner un tableau des valeurs approchées à

310
près de 1u 10u . Conjecturer la valeur limite l de la suite nu

3) En utilisant un algorithme, déterminer le premier entier pour lequel on a

2,0000001nu

Exercice 03

On considère la suite

nu définie par 0 1 10 325nn
u uu

1) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner des valeurs approchées de

1u 10u puis des valeurs approchées de 20u et de 50u
Emettre une conjecture sur la valeur limite de la suite nu

2) Soit h un réel strictement positif. Montrer que si

55nh u h

alors

155nh u h

3) Démontrer par récurrence que pour tout

8n , on a :

4,9 5,1nu

4) Déterminer un entier N tel que pour tout

nN on ait

4,999 5,001nu

Exercice 04

On considère la suite définie pour tout

*n par : 1 nun

1) Déterminer un entier naturel N tel que pour tout

*n >0,1;0,1nu

2) Justifier en utilisant la définition que

lim 0nnu

Exercice 05

On considère la suite définie par

21
nnun pour 1n

1) Calculer

1u 2u 10u et en donner des valeurs approchées à 210
près.

2) Observer la représentation graphique de la suite

nu donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite nu

3) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c'est-à-dire l'intervalle

>1,99;2,01

Montrer qu'à partir d'un certain rang

à déterminer, tous les termes de la suite

nu appartiennent à cet intervalle.

4) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon r , c'est-à-dire l'intervalle

>2 ;2rr

Montrer qu'à partir d'un certain rang

0n à déterminer en fonction de r, tous les termes de la suite nu appartiennent à cet intervalle.

5) Démontrer que

lim 2nnu

Exercice 06

On considère la suite

nu définie par

23 100

7nnun pour 1n

1) Donner, en utilisant une calculatrice ou un tableur, des valeurs approchées à

210
près de 1u 2u 7u

2) Observer la représentation graphique de la suite

nu donnée par une calculatrice ou un tableur. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite nu

3) On considère A un nombre réel. En utilisant un algorithme, déterminer, dans les différents cas ci-

dessous, le premier entier n pour lequel nu appartient à l'intervalle >;A

A 10 20 100 5489 12 548 100 000

n 1 46

4) Soit A un nombre réel supérieur ou égal à 10.

Montrer qu'à partir d'un certain rang

0n à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle >;A

Les valeurs trouvées pour

0n correspondent-elles au tableau de la question précédente ?

5) Quelle est la limite de la suite

Exercice 07

Justifier que la suite

1n n'a pas de limite.

Exercice 08

On considère la suite

nu définie par 38
5nnun pour 0n

1) Identifier une possible limite L pour cette suite

2) Justifier que L est la limite de cette suite

3) A partir de quel rang

0n tous les termes de cette suite nu appartiennent-ils à >0,0001; 0,0001LL

Exercice 09

On considère la suite

nu définie par

252nun

pour 0n

1) Justifier que cette suite

nu diverge vers

2) A partir de quel rang

0n tous les termes de cette suite nu appartiennent-ils à >; 10000

Exercice 10

On considère la suite

nu définie par 225

3nnnun

pour 0n

1) Justifier que cette suite

nu diverge vers

2) A partir de quel rang

0n tous les termes de cette suite nu appartiennent-ils à >5000;

Exercice 11

Calculer les limites des suites

Pour tout entier n :

247nu n n

2) 2 2 3 8 1

29nnnun

22nu n n

4) sinnnun 5)

25 4sin 4

2n nun

Exercice 12 Limite d'une somme

v est la suite définie pour tout entier n 1 par : 2 2 2

1 1 1...

2 1 2 2 2

nv n n n n Démontrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

Exercice 13

On considère la suite

nu définie sur par 0u

6 et la relation :

1 41
2 nnn uuu

1. Déterminer la fonction f telle que :

1nnu f u

f x x a une solution .

2. Montrez que f est strictement croissante sur

>2;

3. Placer

0u 1u 2u 3u 4u 5u 6u , sur lequel est tracé la courbe représentative de f.

4. Donner une conjecture sur la convergence de la suite

5. On pose : pour tout

n 1 1nn vu

Montrer que : pour tout

n 1 1 3nnvv

6. a. Donner une expression de

nv en fonction de n. b. En déduire une expression de nu en fonction de n.

7. Démontrer que la suite

Exercice 14

On considère la suite

nu définie par 4 120

35 2nnun

pour 0n

1) Identifier une possible limite L pour cette suite

2) Justifier que L est la limite de cette suite

3) A partir de quel rang

0n tous les termes de cette suite nu appartiennent- >0,0001; 0,0001LL

Exercice 15 :

On considère la suite

nu définie par 223

52nnun

pour 3n

1) Justifier que cette suite

nu diverge vers

2) A partir de quel rang

0n tous les termes de cette suite nu appartiennent-ils à >25000; Exercice 16 : Suite arithmético-géométrique seuls les abonnés peuvent assister au na 2010n
et on précise que

07000a

2) Expliquer pourquoi

10,8 4000nnaa

3) On pose

20 000nnua

Montrer que

nu est une suite géométrique dont on précisera la raison et 0u

4) Donner la formule explicite de

nu puis de na

5) -il envisager ?

6) -dessous, déterminer

Variables : N est un nombre entier naturel non nul.

A est un nombre réel

Initialisation : Affecter à A

Affecter à N

Traitement :

Affecter à

Sortie :

Fin de tant que

Exercice 17

On considère les suites

nu et nv définies par : 0 1 1 325nn
u uu pour tout n et 0 1 4 325nn
v vv pour tout n

[PDF] Exercices sur la notion de limite pour les suites numériques

Exercice 01

221nun

21nnun

Exercice 02

On considère la suite

1) Calculer

2) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner un tableau des valeurs approchées à

3) En utilisant un algorithme, déterminer le premier entier pour lequel on a

2,0000001nu

Exercice 03

On considère la suite

1) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner des valeurs approchées de

2) Soit h un réel strictement positif. Montrer que si

55nh u h

155nh u h

3) Démontrer par récurrence que pour tout

4,9 5,1nu

4) Déterminer un entier N tel que pour tout

4,999 5,001nu

Exercice 04

On considère la suite définie pour tout

1) Déterminer un entier naturel N tel que pour tout

2) Justifier en utilisant la définition que

Exercice 05

On considère la suite définie par

1) Calculer

2) Observer la représentation graphique de la suite

3) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c'est-à-dire l'intervalle

Montrer qu'à partir d'un certain rang

à déterminer, tous les termes de la suite

4) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon r , c'est-à-dire l'intervalle

Montrer qu'à partir d'un certain rang

5) Démontrer que

Exercice 06

On considère la suite

23 100

1) Donner, en utilisant une calculatrice ou un tableur, des valeurs approchées à

2) Observer la représentation graphique de la suite

3) On considère A un nombre réel. En utilisant un algorithme, déterminer, dans les différents cas ci-

A 10 20 100 5489 12 548 100 000

4) Soit A un nombre réel supérieur ou égal à 10.

Montrer qu'à partir d'un certain rang

Les valeurs trouvées pour

5) Quelle est la limite de la suite

Exercice 07

Justifier que la suite

Exercice 08

On considère la suite

1) Identifier une possible limite L pour cette suite

2) Justifier que L est la limite de cette suite

3) A partir de quel rang

Exercice 09

On considère la suite

252nun

1) Justifier que cette suite

2) A partir de quel rang

Exercice 10

On considère la suite

3nnnun

1) Justifier que cette suite

2) A partir de quel rang

Exercice 11

Calculer les limites des suites

Pour tout entier n :

247nu n n

29nnnun

22nu n n

25 4sin 4

Exercice 12 Limite d'une somme

1 1 1...

2 1 2 2 2

Exercice 13

On considère la suite

6 et la relation :

1. Déterminer la fonction f telle que :

1nnu f u

2. Montrez que f est strictement croissante sur

3. Placer

4. Donner une conjecture sur la convergence de la suite