[PDF] I- L’ensemble des nombres complexes

Seconde Nombres et calculs : les racines carrées Module

Seconde Nombres et calculs : les racines carrées Module Rappels de cours sur les racines carrées Définition a étant un nombre positif ou nul, √a est le nombre positif ou nul, qui élevé au carré donne a Ainsi (√a)2=a pour tout a>0 Règles de calculs :

RACINES CARREES EXERCICE 1C

Mathsenligne net RACINES CARREES EXERCICE 1C E XERCICE 1 : Retrouver toutes les solutions de ces équations : a x2 5 donc x = 5 ou x = – 5 b 2 3 c x2 16 d 2 0 e x2 1 f 2 2 EXERCICE 2 c : Résoudre les équations suivantes :

UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH´ FACULTE DES SCIENCES

Les racines carr´ees d’un nombre complexe Les racines carrees d’un nombre complexe´ Exemple Soit z = 5 + 12i 1 jzj= p 52 + 122 = p 169 = 13 2 Puisque 12 0 alors les racines carree de´ z sont : u = 3 + 2i et u = 3 2i Fili`eres SMP-SMC (Sem `estre 1) Module Math: Algebre 1` 13 / 34

I- L’ensemble des nombres complexes

donner les racines cubique de 1 + i V- Equation de seconde degr e V-1 Racine carr ee d’un nombre complexe Proposition 10: tout un nombre complexe non nul Z= a+ ib ou a;b 2R admet deux racines complexes Remarque 3 :la recherche des racines carr ees est donn ee par la r esolution du syst eme (s) Soit z= x+ iytel que z2 = Zon a : z2 =Z, 8

Interrogation n 7

Solution 1 Voir cours Solution 1)On cherche des racines carr ees de la forme x+ iy Ainsi, on a x2 + 2ixy y2 = 3 + 4iet : En egalisant les parties r eelles, x2 y2 = 3 En egalisant les modules, x 2+ y = 5 La r esolution de ce syst eme donne x2 = 4 et y2 = 1

REMISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES

Racines carr´ees d’un nombre complexe ´ecrit en notation cart´esienne : on cherche w = a+ib tel que a2 b2 =

Cours de math ematiques - SUJETEXA

Cours de math ematiques classe de 3 eme Jos e Gregorio 2013-2014 Cours mis a disposition sous licence creative commons 3 0 FR, libre de di usion : 8 Racines carr

La factorisation de polynˆomes

• La technique de compl´etion du carr´e exige initialement un peu de pratique; mais apr`es l’avoirappliqu´ee correctement cinq ou six fois elle devient naturelle pour tout ´etudiant muni d’un peu de d´etermination Le truc, c’est de ne pas avoir peur et, face a` un ´echec, tenter de l’appliquer encore une fois

Les maths au coll ege : Cours, Techniques et Exercices

1 1 Le cours 1 1 1 Le th eor eme de Pythagore Enonc e du th eor eme Dans un triangle rectangle, le carr e de l’hypot enuse est egal a la somme des carr es des c^ot es de l’angle droit But du th eor eme Le th eor eme de Pythagore sert a calculer un c^ot e d’un triangle rectangle connaissant les deux autres

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Mohammadia ANNEE 2017-2018Nombres complexes

I- L'ensemble des nombres complexes

I-1 Forme algebrique d'un nombre complexe

Denitions et proprietes1: :

l' ensembleCdes nombres complexes contientRet verie les proprietes suivantes : 1.

Il c ontientun nombr enot ep ari tel que i2=1

2. T outnombr ec omplexes' ecritd'une mani ereunique sous l aforme z=a+ib oua;b2R la formez=a+ib oua;b2Rs'appelle la forme algebrique de z a s' appelle la partie reelle dez, on la note parRe(z) =a b s'appelle la partie imaginaire dez, on la note parIm(z) =b iR=fibjb2Rgs'appelle l'ensemble des nombres complexes imaginaires pures. le nombre complexeaibs'appelle le conjugue de z , on le note parz=aib 3. L esop erations+etsurRse prolongent surCet les regles de calcul restent les m^emes

Soitz=a+ib;z0=a0+ib0ou a;b;a0;b02R

z= 0,a= 0etb= 0 z=z0,a=a0etb=b0 zz0 z+z0= (a+a0) +i(b+b0) zz0=aa0bb0+i(ab0+a0b) z+z0=z+z 0 zz0=zz 0

Siz6= 0alors1z

=aa

2+b2iba

2+b2etz0z

=z01z 1z ) =1z z0z ) =z 0z et8n2Z:z n=z n

4.+etsont commutatives et associatives

5.est distributive par rapport a+dansC

6.

T outnombr ec omplexenon nul p ossedeun inverse

On dit que(C;+;)est un corps .Proposition 1:: Soitz2C

1.Re(z) =z+z

2 etIm(z) =zz 2i

2.z2R, Im(z) = 0,z=z

3.z2iR, Re(z) = 0,z=z

Exercice 1::Montrer que les applications suivantes sont des bijections et donner leur inverse 1. f:R27!C (a;b)7!a+ib 2. f:C7!C z7!z 3. f:C7!C z7!z+ 2z I-2 Represenation geometrique d'un nombre complexe SoitPle plan muni d'un repere(O;~i;~j)orthonormal. Pour tout pointM(a;b)2Pon a!OM=a!i+b!jon posez=a+ib z s'appellel'axe de M( oul'axe du vecteur!OM)et on noteM(z)pour dire le point M d'axe z .et on ecrit :aff(M) =aff(!OM) =z reciproquement pour tout nombre complexez=x+iy oux;y2R,on lui associe un point M(x,y) du planP, le point M s'appellel'image de z l'application f:P 7!C

M(a;b)7!z=a+ibest bijective.

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Mohammadia ANNEE 2017-2018l'application

g:P 7!C!u7!aff(!u)est bijective. Proposition 2:: Soit A , B et C des points du planPd'axes respectivementzA,zBetzcon a :

1.aff(!AB=zBzA

2. le milieu du se gment[A;B]a pour axe :zI=zA+zB2 3. Si A,B et S sont distincts, alors : A;BetCsont alignesssizCzBz CzA2R

I-3 Module d'un nombre complexe

Denition 1:Soitz=a+ib ou a;b2Run nombre complexe . le nombre reelpa

2+b2s'appelle le module de z , on le note par :

jzj=pa

2+b2=pzz

Remarque1:le modulejzjest la distance OM avec M est l'image de z Proposition 3:Soit z et z' deux nombres complexes on a :

1.jzj= 0,z= 0

2.jzj2=jzj2= (Re(z))2+ (Im(z))2

3.kRe(z)j jzjetkIm(z)j jzj

4.82R;jzj=jjjzj

5. In egalitetriangulair ejz+z0j jzj+jz0j6.jjzj jz0jj jzz0j

7.jzz0j=jzjjz0j

8.jzz

0j=jzjjz0jsiz06= 0

9.8n2N;jznj=jzjn

II- GroupeUdes nombres complexes de module 1

II-1 Denition deU

Denition 2::

On noteUl'ensemble des nombres complexes de module 1

U=fz2Cjjzj= 1g

l'ensemble image deUest le cercle de centre 0 et de rayon 1 c'est le cercle unite du plan

II-2 Denition deei

Notation1:Pour tout2R, on poseei= cos+isin

Proposition 4::

U=feij2Rg

II-3 Relations d'Euler

Formules d'Euler: Pour tout2Rsin=ei+ei2icos=ei+ei2

Proposition 5::

1. l'applic ations:R7!U x7!eixest surjective

2.8;02R,

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Mohammadia ANNEE 2017-2018ei(+0)=eiei0

ei(0)=eie i08 n2Z;(ei)n=ein e i=ei ei= 1, 9k2Z;= 2k,= 0[2]

II-4 Formule de Moivre

82R;8n2N: (cos+isin)n= cosn+isinnII-5 Linearisation et factorisation d'expression trigonometriques

Exercice 2:lineariser les expressions suivantescos3,sin3etcos2xsin2x

Exercice 3:factoriser les expressioncos+cos

III- Forme trigonometrique d'un nombre complexe

Denition 3:Soitz2Cet M son image .

On appelle argument de z tout reeltel que :

!i ;!OM) [2] on note=arg(z) on posejzj=;=arg(z)le couple(;)s'appelle un couple de coordonnees polaires de M(z) z s'ecrit sous la forme z=cos+isin ou >0 cette ecriture s'appelle la forme trigonometrique de z et l'ecriture z=eiou >0 s'appelle la forme exponentielle de z Proposition 6:: Soitz=a+ib2Cou a;b2Ret=arg(z)alors : cos=apa

2+b2etsin=bpa

2+b2

Proposition 7:: Soitz;z02C

arg(zz0) =arg(z) +arg(z0) [2] arg(z) =argz) [2] arg(1z ) =arg(z) [2]arg(z) =+arg(z) [2] arg(zz

0) =argzargz0[2]

8 nZ;argzn=nargz[2]

Exemple1:

Donner la forme trigonometrique des nombres complexes suivants :i;1 +i;1i;1 +ip3;j=12 +ip3 2

Exercice 4::

IV- Racine n-ieme de l'unite - equationzn=a

Soitn2N

Denition 4:on appelle racine n-ieme de l'unite toute nombre complexetel quen= 1

Proposition 8:Les racines n-ieme de l'unite sont

k=ei2kn ;k= 0;1;::n1 http://mathscpge.wordpress 1TSI1

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Mohammadia ANNEE 2017-2018Remarque2: Les racines n-ieme de l'unite forment geometriquement un polygone regulier de n cotes inscrit

dans le cercle unite . les racines troisiemes de l'unite sont1;jetjforment un triangle equilateral , les racines

quatrieme de l'unite sont1;1;ietiforment un carre ... les racines sixiemes forment un hexagone Exercice 5:: Soitune racine n-ieme de l'unite . calculer

1 ++2+::::+n1

Proposition 9:Soita=reiou r >0et2R.

L'equationzn=aadmet n racines complexes distincts deux a deux z k=npre i2kn ;k= 0;1;::n1 vocabulaire:

Toute racine de l'equationzn=as'appelle une racine n-ieme de a . si n = 2 alors on parle de racine caree

si n= 3 alors on parle de racine cubique

Exercice 6:donner les racines cubique de1 +i

V- Equation de seconde degre

V-1 Racine carree d'un nombre complexe

Proposition 10:tout un nombre complexe non nulZ=a+ib ou a;b2Radmet deux racines complexes Remarque3:la recherche des racines carrees est donnee par la resolution du systeme(s)

Soitz=x+iytel quez2=Zon a :

z 2=Z,8 :x 2y2=a 2xy=b x

2+y2=pa

2+b2(s)

V-2 Resolution de l'equationaz2+bz+c= 0

Proposition 11:Soit a,b et c trois nombres complexes tel quea6= 0.On considere l'equation d'inconnue z dansC:

(E) :az2+bz+c= 0ou z2C on pose : =b24acdit le discriminat de l'equation

1.si = 0alors(E)admet une seule solution

z=b2a dite solution double de l'equation(E)

2.si6= 0, soitune racine carree de.alors l'equation(E)admet deux solutions distincts

z

1=b+2aetz2=b2aExemple2: Resoudre l'equationz2(1 +i)z+i= 0

Remarque4:

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Mohammadia ANNEE 2017-2018Calcul de la somme et du produit des racines en fonction des coecients z

1+z2=ba

et z1z2=ca une equation a coecients reels a discriminant non nul possede deux solutions conjugues Si le coecient b de l'equation est de la formeb= 2b0alors on calcul0=b02acle discriminant reduit et sa racine carree0. les solutions sont z

1=b0+0a

etz2=b00a Exemple3: Resoudre1 +z+z2= 0puis donner la forme exponentielle des solutions

VI- exponentielle complexe

Denition 5:Soitz2C, on appelle exponentielle de z le nombre complexe e z=eRezeiImz

Proposition 12:Soitz;z02C

ez+z0=ezez0 1e z=eze z=ez ezz0=eze z0 (ez)n=enz

Exercice 7:on posecosz=ez+ez2

VII- Nombres complexe et geometrie plane

Le plan euclidien est rapporte a un repere orthonormal(O;~i;~j). Proposition 13:SoitA(a);B(b)etC(c)trois points du planPon a !AB;!AC) =argcaba[2] j cabaj=ACAB

VII-1 Transformation :z7!az+b

A la transformation ( bijection du plan)

f:P 7! P

M(z)7!M0(z0=az+b)aveca2C;b2C

on associe la transformation ( bijection deC) C7!C z7!z0=az+baveca2C;b2C Si a= 1 alors f est une translation de vecteur!ud'axe b Sia6= 1eta2Ralors f est une homothetie de rapportaet de centre (b1a) Sia6= 1etjaj= 1alors f est une rotation d'anglearg(a)et de centre (b1a) Sia6= 1alors f est la composee commutative d' une homothetie de rapportjajet de centre (b1a)avec la rotation d'anglearg(a)et de centre (b1a) http://mathscpge.wordpress 1TSI1

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Mohammadia ANNEE 2017-2018VII-2 Transformation :z7!z

La transformation du plan associee a

C7!C z7!z0=z est la symetrie axiale d'axe des abscisses (Ox)

VII-3 Transformation :z7!e2iz+itei;t2R

re exion par rapport a D de directioneiet passe parei2 http://mathscpge.wordpress 1TSI1quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21