[PDF] Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019

MATHEMATIQUES : PROBLEMES ET SOLUTIONS

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MATHEMATIQUES : PROBLEMES ET SOLUTIONS

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?Corrigé du baccalauréatS Centres étrangers1?

13 juin 2019

Exercice I4 points

Commun à tousles candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.

Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n"est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n"enlève aucun point.

1. Une étude statistiquea établi qu"un client sur quatre pratique le surf.

Sion noteXle nombrede personnespratiquantle surf,Xsuitla loibinomiale B? 80 ;1
4? , car ona répétitiond"épreuvesidentiquesindépendantesàdeux is- sues.

Àlacalculatrice,ontrouve

P(X=20)=?8020?

d.)

2. L"épaisseurmaximaled"uneavalanche,expriméeencentimètre,peutêtremo-

délisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normalede moyenneμ=

150 cm et d"écart-type inconnu.

On sait queP(X?200)=0,025.

Par symétrie par rapport à la droite d"équationx=150, on aP(X?100)=

P(X?200) doncP(X?100)=1-P(X?100)=1-0,025=0,975

Alors :P(X?100)≈

0,975(réponse d.)

3. Dansuncouloirneigeux,onmodélisel"intervalledetempsséparantdeuxava-

lanches successives, appelé temps d"occurrence d"une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle. On a établi qu"une avalanche se déclenche en moyenne tous les5 ans.

AinsiE(T)=5.OrE(T)=1

Alors :P(T?5)=e-λ×5=

e-1(réponse c.)

1. y compris Pondichéry

Exercice I4 points

4. L"office de tourismesouhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion

de clients satisfaits des prestations offertes dans la stationde ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de 0,95.

L"intervalle de confiance a pour longueur2

?nsinest la taille de l"échantillon.

On déduit de

2 ?n=0,04, que?n=20,04=2004=50 doncn=502=2500

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Exercice II6 points

Exercice II6 points

Commun à tousles candidats

Le but de cet exercice est d"étudier la suite(un)définie par la donnée de son premier termeu1et, pour tout entier naturelnsupérieurou égal à 1, par la relation: u n+1=(n+1)un-1.

Partie A

1. Siu1=0,onau2=2u1-1=-1puisu3=3u2-1=-4etu4=4u3-1=-16-1=

-17 donc u4=-17.

2. Complétonsl"algorithmepour qu"en saisissant préalablementdansUune va-

leur deu1il calcule les termes de la suite(un)deu2àu13:

PourNallant de 1 à 12

U←(N+1)?U-1

Fin Pour

3. On a exécuté cet algorithmepouru1=0,7 puis pouru1=0,8.

Voici les valeurs obtenues.

Pouru1=0,7Pouru1=0,8

0,40,6

0,20,8

-0,22,2 -210 -1359 -92412 -7373295 -663429654 -66341296539 -7297523261928 -875702539143135 -113841326508860754 Sou1=0,7, il semble que limn→+∞un=-∞et siu1=0,8, limn→+∞un=+∞.

Partie B

On considère la suite(In)définie pour tout entier natureln, supérieur ou égal à

1, par :

I n=? 1 0 xne1-xdx. Onrappelleque le nombree est lavaleur de la fonctionexponentielleen 1, c"est-

à-dire que e=e1.

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Exercice II6 points

1. SoitF, définie sur l"intervalle [0; 1], par :F(x)=(-1-x)e1-x.

(-1-x)×?-e1-x?=xe1-x=f(x) doncF?=f:

Fest bien une primitivedef.

2.I1=?

1 0 xe1-xdx=F(1)-F(0)=-2+e= e-2.

3. On admet que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on a :

I n+1=(n+1)In-1.

On en déduitI2=2I1-1=2(e-2)-1=

2e-5.

4. (a) Sur[0 ; 1], 1-x?1 donc,commelafonctionexponentielleest croissante,

e

1-x?e1=edonc0 sitive) En multipliant parxnsupérieur ou égal à 0 sur [0 ; 1], on en déduit :

0?xne1-x?xne.

(b) 1 0 xne dx=e? 1 0 xn(linéarité)=e?xn+1 n+1? 1 0= e n+1. (c) Par conservation de l"ordre :

Pour toutx?[0 ; 1], 0?xne1-x?xne, donc?

1 0

0 dx??

1 0 xne1-xdx? 1 0 xne dx=e n+1donc0?In?en+1. (d) lim n→+∞? e n+1?

Partie C

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à

1, on a :

u n=n!(u1-e+2)+In.

Initialisation:

Pourn=1, 1!(u1-e+2)+I1=(u1-e+2)+I1=u1-e+2+e-2=u1donc la propriété est vraie au rangn=1. I n.

Alors :un+1=(n+1)un-1=(n+1)[n!(u1-e+2)+In]-1

La propriété est donc

héréditaire.

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Exercice II6 points

La propriété est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rangn, elle est vraie au rangn+1 : d"après l"axiome de récurrence, la propriétéest vraie pour toutn. On rappelle que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on a : u n+1=(n+1)un-1 etIn+1=(n+1)In-1.

2. On admet que : lim

n→+∞n!=+∞. (a) Siu1=0,7, alorsu1-e+2<0 car e≈2,718.

limn→+∞[(n+1)!(u1-e+2)]= -∞car limn→+∞(n+1)!= -∞et limn→+∞In+1=0

donc, par somme, limn→+∞un=-∞. (b) Cettefois,u1=0,8doncu1-e+2>0;onendéduitcettefoisque limn→+∞[(n+1)!(u1-e+2)]= +∞d"où limn→+∞un=+∞.

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Exercice III5 points

Exercice III5 points

Commun à tousles candidats

Le plan est muni d"un repère orthonormédirect?O;-→u;-→v?. Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexesznon nuls tels que les points d"affixes 1,z2et1 zsoient alignés. Sur le graphique ci-dessous, le point A a pour affixe 1.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7