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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005
EXERCICE1
3 points
Commun à tous les candidats
Partie: ARestitution organisée de connaissances En fait la démonstration n"en n"est pas une puisque tous les éléments de la démons- tration sont donnés dans les prérequis.
PartieB
1.VRAI :z2=-1
2i, etz4=?z2?2=-14?R.
2.FAUX : siz=a+ib,
z=a-ibet??z+z??=0??2a=0??a=0. Donc tous les imaginaires de la formebi avecb?=0 vérifient la relation sans être nuls.
3.VRAI :z+1
z=-i ouz=i.
4.FAUX :Siz=1etz?=e2iπ3=-12+i?
3
2,alorsz+z?=12+i?
3
2,|z|=1 et|z+z?|=?1
4+34=?1=1 etz??=0.
EXERCICE25 points
Réservéaux candidatsn"ayant paschoisi l"enseignementdespécialité
1.Sip1,p2,p3etp4dans cet ordre, forment une progression arithmétique de
raisonr, alorsp2=p1+r,p3=p1+2retp4=p1+3r. On a donc : ?p4=p1+3r=0,4 p
1+p1+r+p1+2r+p1+3r=1 (loi des probabilités totales)??
p1+3r=0,4
4p1+6r=1???2p1+6r=0,8
4p1+6r=1=?2p1=0,2??p1=0,1.
On en déduit aussitôt quer=0,1 et finalement : p
1=0,1,p2=0,2,p3=0,3,p4=0,4.
2. a.La probabilité d"obtenir dans l"ordre 1, 2, 4 estp124=0,1×0,2×0,4=
0,008.
et (2, 3, 4). La probabilité d"avoir l"un de ces tirages est donc : p
3. a.On a un schéma de Bernouilli avecn=10 etp4=0,4. On sait que la
probabilité d"obtenirifois le chiffre 4 est (pour 0?i?10) : p(X=i)=? 10 i? 0,4 i(1-0,4)10-i=? 10 i? 0,4 i0,610-i. b.On a E(X)=10? i=0i×p(X=i)=10? i=0i×? 10 i? 0,4 i0,610-i=4. Cela signifie que sur un grand nombre de tirages le 4 sortira enmoyenne
4 fois sur 10.
Baccalauréat S
c.On ap(X?1)=1-p(X=0). Orp(X=0)=0,610. Doncp(X?1)=1-0,610≈0,993 9≈0,994, soit à peu près 994 chances sur 1 000 d"obtenir au moins une fois le 4 en 10 tirages.
4. a.La probabilité d"obtenirn-1 fois un autre chiffre que le 4 et ensuite le 4
aunetirage est : U n=0,6n-1×0,4. Cette suite est une suite géométrique de premier termeU1=0,4 et de raison 0,6. Comme-1<0,6<1, cette suite converge vers 0.
1-0,6=1-0,6n.
On a de même lim
n→+∞0,6n=0, donc limn→+∞Sn=1. c.On aSn>0,999??1-0,6n>0,999??0,6n<0,001?? nln0,6
ln0,001 ln0,6 car ln0,6<0. Commeln0,001 ln0,6≈13,5, il faut donc faire 14 tirages. EXERCICE25 points
Réservéaux candidatsayantchoisi l"enseignementde spécialité PartieA.Quelques exemples
1.4≡1 mod 3, donc 4n≡1nmod 3 et finalement 4n≡1 mod 3.
2.4 est premier avec 29 (29 est premier). Donc d"après le petit théorème de Fer-
mat 4 29-1-1≡0 mod 29 ou encore 428-1 est divisible par 28.
3.4=0×17+4;
4 2=0×17+16;
4 3=3×17+13;
4 4=15×17+1.
La dernière égalité montre que 4
4≡1 mod 17, d"où?44?k≡1kmod 17 soit
4 4k≡1 mod 17 ou encore 44k-1≡0 mod 17.
Conclusion : 4
4k-1 est divisible par 17.
4.On a 42=16=3×5+1 ou 42≡1 mod 5 d"où il résulte que 42k≡1 mod 5 ou
encore 4 2k-1≡0 mod 5.
Conclusion : 4
n-1 est divisible par 5 sinest pair. Par contre : de 4≡4 mod 5 et 42k≡1 mod 5 il résulte par produit que 4 2k+1≡4 mod 5.
Conclusion : 4
n-1 est divisible par 5 si et seulement sinest pair. 5.Diviseurs premiers de 428-1 : la question 2 a déjà donné le nombre 29; la
question 3 a donné le diviseur premier 17; la question 4 a donné le diviseur 5. D"autrepart,4≡1 mod 3 entraîne 4n≡1 mod 3 ouencore4n-1 est divisible par 3 qui est premier. Il y a également 5, 43 ... PartieB.Divisibilité par un nombre premier
1.4=22; sipest premier différent de 2, il est premier avec 4, donc d"après le
petit théorème de Fermat 4 p-1-1≡0 modpou 4p-1≡1 modp. Le premier premier différent de 2 est 3, doncn=p-1?1. 2. a.Onadonc: 4n≡1 modp, 4b≡1 modpetn=bq+ravecr duit de la seconde congruence que 4 bq≡1 modpet par quotient avec 4 bq+r≡1 modpque 4r≡1 modp. Orbétant le plus petit naturel véri- fiant 4 b≡1 modp, il en résulte que 4r=1 ou encorer=0. Centres étrangers juin 2005
Baccalauréat S
b.On vient démontrer dans la question précédente que si 4n≡1 modp, alorsnest multiple deb,bétant le plus naturel positif tel que 4b≡1 modp. Inversementsin=kb,de4b≡1 modp,ondéduitque?4b?k≡1kmodp soit 4 n≡1 modp. L"équivalence est donc démontrée. c.D"après la question B. 1 4p-1≡1 modpet soitble plus petit entier tel que 4 b≡1 modp. D"après la question 2. b. il en résulte quep-1 est multiple debou encoreb(non nul) divisep-1. EXERCICE36 points
Commun à tous les candidats
PartieAÉtude de la fonctionf
1.On sait que ex?=0, quel que soit le réelx;f(x)=ex
ex×11+e-x=exex+1. 2.Ona limx→-∞ex=0,donc limx→-∞f(x)=0.Interprétationgraphique:l"axedesabs-
cisses est asymptote horizontale au voisinage de moins l"infini àC. De même limx→+∞e-x=0, donc limx→+∞f(x)=1. Interprétation graphique : la droite d"équationy=1 est asymptote horizontale au voisinage de plus l"in- fini àC. 3.fest dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne
s"annulant pas surR. ?x?R,f?(x)=-(-e-x) 0 surR. Donc la fonctionfest croissante surR(de 0 à 1).
4.Il en résulte le tableau de variations suivant :
x-∞0+∞ f ?(x)+1/4+ f(x) 01/21 5. 1 2-1-2
1 1-1-2 1 C A O An PartieB
1.Quel que soit le réelx, en utilisant A. 1.
f(x)+f(-x)=ex ex+1+1ex+1=ex+1ex+1=1. Centres étrangers juin 2005
Baccalauréat S
Le milieu du segment[MM?] est donc le point A de coordonnées? 0 ;12?
, et ce point est un centre de symétrie pour la courbeC. 2. a.Soitn?N; on sait d"après la partie A quef(x)>0. Donc, l"aire de la sur-
facecompriseentrel"axe desabscisses, lacourbeCetles droitesd"équa- tionsx=0 etx=nest l"intégrale? n 0 f(x)dx. Donc par différence avec l"aire du rectangle de côtés 1 etn, A n=? n 0 (1-f(x))dx=? n 0? 1-1 1+ex? n 0e xex+1dx=?ln?1+ex??0-n= ln2-ln?1+e-n?, en utilisant les questions A. 1 et B. 1 (symétrie autour de A). b.On sait que limn→+∞e-n=0 donc par continuité de la fonction ln, lim n→+∞ln?1+e-n?=0. Ainsi lim
n→+∞An=ln2. PartieC
1.Sipourtoutxréele2x
e 2x-bex
(ex+1)2=aexex+1??ex(ex-b)(ex+1)2=aexex+1=?a=1 etb=-1. 2.Onapourtoutλpositif,V(λ)=?
0 -λπe2x (ex+1)2dx=π? 0 -λe xex+1dx-π? 0 -λe x(ex+1)2dx= ln?1+ex?+1 ex+1? 0 ln2+12-ln? 1+e-λ?
-11+e-λ? 3.On a toujours limn→+∞e-n=0 et par continuité de la fonction ln,
lim n→+∞ln?1+e-n?=0. Donc lim
n→+∞V(λ)=π? ln2-1 2? EXERCICE46 points
PartieA
1.Les faces du cube d"arête 1 sont des carrés de côté 1, dont les diagonales ont
pour longueur? 2.Enparticulier BD= DE=ED =?2.Le triangleBDEestéqui-
latéral. 2. a.I est le centre de gravité du triangle BDE ou l"isobarycentredes points B,
D et E. Les coordonnées de I sont de la forme
1 3(aB+aD+aD). Avec le
repère choisi on a B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) et E(0; 0; 1). On obtient donc I?1
3;13;13?
b.On a dans le repère choisi G(1; 1; 1), donc le vecteur1 3--→AG et le vecteur
AI ont les mêmes coordonnées.
Autre démonstration : on sait que-→IB+-→ID+-→IE=-→0?? 3 3--→AG .
La relation vectorielle
IA=1 3--→AG signifie que les points A, I et G sont
alignés, et encore plus précisement que le point I appartient à la droite (AG), ce point ayant l"abscisse 1 3si le repère choisi sur cette droite est le
repère (A, G). Centres étrangers juin 2005
Baccalauréat S
3.On sait déja que I centre de gravité du triangle BDE est dans leplan (BDE).
D"autrepart
IA((1/31/31/3))
et--→BD((-1 1 0)) . Le produit scalaire-→IA·--→BD=-1 3+13= 0, donc les vecteurs sont orthogonaux.
De même
BE((-1
0 1)) . Le produit scalaire-→IA·-→BE= -1 3+13=0, donc les vec-
teurs sont orthogonaux. Conclusion le vecteur
IA orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) est normal à ce plan. Conclusion : I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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