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Corrigé du baccalauréat S
Antilles-Guyanejuin 2013
EXERCICE15 points
Commun à tous lescandidats
1.La bonne réponse est b
Par l"absurde : si (IJ) et (EC) étaient coplanaires, alors, le point J appartiendrait au plan (ECI) c"est-à-dire au plan (ECA), ce qui est faux.2.La bonne réponse est c
Dans le repère mentionné dans le sujet, on a-→AF (1,0,1) et--→BG (0,1,1), d"où-→AF·--→BG=
1×0+0×1+1×1=1.
3.La bonne réponse est d
. On le vérifie en injectant les coordonnées des points A, F et H dans l"équationx+y-z=0.4.La bonne réponse est b
Un vecteur normal dePest-→n(1,1,-1), or--→EC (1,1,-1). Par conséquent--→EC est nor-
mal àP, et comme-→EL et--→EC sont colinéaires,-→EL est de ce fait aussi normal àP.
5.La bonne réponse est d
On a--→EC (1,1,-1) et E(0,0,1); une représentation paramétrique de la droite (EC) est donc???x=t y=t(t?R)L?Palors:t+t-(1-t)=0d"oùl"on tiret=1
EXERCICE25 points
Commun à tous lescandidats
Partie A
On a :
f?? p-1 ?n;p+1?n? ??p-1?n?f?p+1?n ?? -f-1 ?n?-p?-f+1?n ??f-1 ?n?p?f+1?n ??p?? f-1 ?n;f+1?n?On a donc bien :
P f?? p-1 ?n;p+1?n?? =P? p?? f-1?n;f+1?n?? ?0,95Partie B
1. a.Arbre pondéré illustrant la situation :
RR C BAA r 1-r 1 1/3 1/3 1/319JUIN2012 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2013
b.On a, d"après l"arbre précédent :P(A)=P(A∩R)+P(A∩
R)=r+13(1-r)=13(3r+1-r)=13(1+2r).
c.On a : PA(R)=P(A∩R)P(A)=r1
3(1+2r)=3r1+2r.
2. a.L"expérience consiste enunerépétition de400 épreuvesdeBernoulli identiques
et indépendantes, où la probabilité de "succès» (c"est-à-dire que l"étudiant ait
la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi bino- miale de paramètresn=400 etp=P(A)=13(1+2r).
b.On an=400 etf=240400=0,6, doncn?30,nf?5 etn(1-f)?5, un intervalle
de confiance au seuil de 95 % de l"estimation depest donc : f-1 ?n;f+1?n? =[0,55 ; 0,65]. Ainsi, avec une probabilité supérieure à 95 % :0,55?p?0,65
orp=13(1+2r), donc :
0,55?1
3(1+2r)?0,65
d"où :1,65?1+2r?1,95
puis :0,325?r?0,475
Un intervalle de confiance au seuil de 95 % derest donc : [0,325 ; 0,475]. c.i. Icir=0,4, doncp=13(1+2r)=0,6. La loi binomiale de paramètresn=400
etp=0,6 a pour espérancenp=240 et pour variance V=np(1-p)=96. On peut alors l"approcher par la loi normale de paramètresμ=240 etσ=? 96.ii. Par lecture de la table fournie (ou utilisation de la calculatrice) :
P(X?250)=0,846.
EXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
Partie A
1.limx→+?(x+1)=+? et limx→+?ex=+?, donc, par opérations limx→+?f(x)=+?.
Pour toutx?R,f(x)=xex+ex. Or limx→-?xex=0 (croissances comparées) et limx→-?ex=0, donc, par opérations lim
x→-?f(x)=0.2.Pour tout réelx,f?(x)=1ex+(x+1)ex=(x+2)ex.
3.Pour tout réelx, ex>0, doncf?(x) a le même signe quex+2. On en déduit le tableau
de variations suivant : x-∞ -2+? f?(x)-0+0+∞
f -1/e219JUIN2012 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2013
Partie B
1. a.On a, pour tout réelx:
g m(x)=0??x+1=mex ??(x+1)ex=m ??f(x)=m. b.D"après l"équivalence et le tableau de variations précédents :sim< -1
e2: l"équationgm(x)=0 ne possède aucune solution, doncCmne coupe pas l"axe des abscisses;sim=-1
e2: l"équationgm(x)=0 possède une solution, doncCmcoupe l"axe des abscisses en un point;si-1
e23.Pour tout réelx,gm(x)-(x+1)=-mexqui est du signe de-m; on en déduit :
sim>0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)<0, doncCmest en dessous deD; sim<0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)<0, doncCmest au dessus deD; sim=0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)=00, doncCmetDsont confondues.4.Le domaine D2hachuré :
a. 12345-1 -21 2 3 4-1 C-e C 0 C e