[PDF] Les nombres complexes

Exercices type Bac Nombres complexes

Exercice 4 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ;u ; v) Unité graphique : 0,5 cm On note j le nombre complexe 3 2π i e On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8 , b = 6j et c = 8j 2 Soit A’ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle 3 π

Nombres complexes – Exercices

Exercice 12 Exercice 13 Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit Z= z−2i z−1 On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X et Y réels 1 Exprimer X et Y en fonction de x et y 2 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel 3 Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit

exercice Nombres complexes

EXERCICE N°2 Soit a , b et c trois nombres complexes de modules sont égaux à 1 et tel que: a + b + c = 1 Calculer c 1 b 1 a 1 + + EXERCICE N°3 z désigne un nombre complexe différent de 2 i Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O,u,v) (unité graphique: 3 cm) On désigne par A le point d'affixe 2 i

Les nombres complexes

Soit z = x +iy avec x et y réels; on note Z le nombre complexe : Z = z −2z +2 1) Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z 2) Résoudre dans Cl’équation : Z = 0 d’inconnue z Exercice10 Soit z = x +iy avec x et y réels À tout complexe z, on associe Z = 2z −2 +6i

Feuille 5 : Nombres complexes

Exercice 5-6 Montrer que tout nombre complexe z6= 1 de module 1 s’écrit sous la forme x+ i x i avec x2R Solution Soit z= a+ ib2C nf1gde module 1

Exo7 - Exercices de mathématiques - Mathovore

Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module r, d’argument q, et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2):::(zn +zn) en fonction de r et q Indication H Correction H Vidéo [000020] Exercice 16 En utilisant les nombres complexes, calculer cos5q et sin5q en fonction de cosq et sinq Indication H Correction H Vidéo [000080] 6 Divers

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< Soit aun nombre complexe différent de −i et i

Les nombres complexes - Partie I

Le complexe est appelé conjugué de et est noté Exemple Le conjugué de est L'inverse de est L'inverse de est Le conjugué d'un complexe permet de caractériser les nombres réels et les nombres imaginaires purs (ceux dont la partie réelle est nulle) parmi les complexes : Soit z un nombre complexe imaginaire pur si

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Exercices9 novembre 2014

Les nombres complexes

Aspect géométrique

Exercice1

1) D est le point de coordonnées (⎷3;3). Quel est son affixe?

2) On donne les points A, B, C d'affixes respectives :

z

A=⎷

3+i,zB=-⎷3-i,zC=2i

Calculer le module et un argument pour ces trois affixes. Que peut-on déduire pour les points A, B et C.

3) Placer les points A, B, C et D à la règle et au compas.

4) Quelle est la nature du quadrilatère AOCD. Pourquoi?

5) Quel est l'affixe du point E tel que ODEB soit un parallélogramme?

Exercice2

Dans chacun des cas suivants, représenter l'ensemble des pointMdont l'affixezvérifie l'égalité proposée.

1)|z|=3 2) Re(z)=-2 3) Im(z)=1

Opération dansC

Exercice3

Donner la forme algébrique des complexes suivant :

1)z=3+2i-1+3i

2)z=6+i-(2+4i)

3)z=12-3i-4-5+8i

4)z=(1+2i)(4+3i)

5)z=(3-i)(2+7i)6)z=(1+i)2

7)z=(3+i⎷

5)(3-i⎷5)

8)z=(2-5i)2

9)z=(1+i)(2-3i)(1+i)

10)z=(2+i)2(1-2i)

Exercice4

Donner la forme algébrique des complexes suivants en rendant réel le dénominateur : 1)z=1 1-i 2)z=1

2-i⎷3

3)z=1

4-3i4)z=4-6i

3+2i

5)z=5+15i

1+2i

6)z=1+2i

1-2i7)z=3-6i

3+i+43-i

8)z=?4-6i

2-3i??

1+3i3+2i?

paul milan1 TerminaleS exercices

Résolution d'équation du 1erdegré dansC

Exercice5

Résoudre dansCles équations suivantes. Donner la solution sous forme algébrique.

1) (1+i)z=3-i

2) 2z+1-i=iz+2

3) (2z+1-i)(iz+3)=04)

z+1 z-1=2i

5) (iz+1)(z+3i)(z-1+4i)=0

Exercice6

Résoudre les systèmes suivants dansC2:

1) ?3z+z?=2-5i z-z?=-2+i 2) ?3z+z?=5+2i -z+z?=1-2i3) ?2iz+z?=2i

3z-iz?=1

4) ?z-z?=i iz+z?=1

Complexe conjugué

Exercice7

Donner la forme algébrique du conjuguézdes complexes suivants : z

1)z=3-4i2)z=1

i-1

3)z=3-i

1+i4)z=2i+1i+2+1-2i2-i

Exercice8

Résoudre dansCles équations d'inconnuezsuivantes : 1) 2 z=i-1 2) (2z+1-i)(iz+i-2)=0 3)z-1 z+1=i

Exercice9

Soitz=x+iyavecxetyréels; on noteZle nombre complexe :Z=z-2z+2.

1) Calculer en fonction dexetyla partie réelle et la partie imaginaire deZ.

2) Résoudre dansCl'équation :Z=0 d'inconnuez.

Exercice10

Soitz=x+iyavecxetyréels.

À tout complexez, on associeZ=2

z-2+6i.

1) Calculer en fonction dexet dey, les parties réelle et imaginaire deZ.

2) Existe-t-il des complexesztels queZ=z?

paul milan2 TerminaleS exercices

Exercice11

Dans le plan complexe,Mest point d'affixez=x+iy,xetyréels. À tout complexez, z?1, on associe :z?=5z-2 z-1

1) Exprimerz?+

z?en fonction dezetz.

2) Démontrer que "z?est un imaginaire pur» est équivaut à "Mest un point d'un cercle

privé d'un point ».

Exercice12

Pour tout complexezdifférent dei, on pose :z?=iz-1z-i. Prouver que : z ??R? |z|=1Vrai-Faux

Exercice13

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démons- tration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple.

1) Siz+

z=0, alorsz=0.

2) Siz+1

z=0, alorsz=iouz=-i.

3) Si|z|=1 et si|z+z?|=1, alorsz?=0.

Équations du second degré

Exercice14

Résoudre dansC, chacune des équations suivantes.

1) 2z2-6z+5=0

2)z2-5z+9=0

3)z2-2z+3=04)z2=z+1

5)z2+3=0

6)z2-2(1+⎷

2)z+2(⎷2+2)=0

Exercice15

θest un réel donné

1) Résoudre l'équation (E) :z2-2cosθz+1=0

2) Dans le plan complexe (O,-→u,-→v), A et B sont les point ayant pour affixe les solutions

de l'équation (E). Quelles sont les valeurs deθpour lesquelles le triangle OAB est

équilatéral?

Exercice16

Résoudre dansCle système suivant :?z1z2=5

z

1+z2=2

Exercice17

Trouver le complexepetqtels que l'équation :z2+pz+q=0 admette pour solutions les nombres : 1+2iet 3-5i paul milan3 TerminaleS exercices

Exercice18

Résoudre dansCles équations suivantes :

1)z4+3z2+2=0 2)z4-32z2-144=0

Polynômes de degré supérieur

Exercice19

On pose pour tout complexez:f(z)=z3-2(⎷3+i)z2+4(1+i⎷3)z-8i

1) Vérifier que :f(z)=(z-2i)(z2-2⎷

3z+4)

2) Résoudre dansCl'équation :f(z)=0

Exercice20

1) Montrer quez3-1=(z-1)(z2+z+1) puis en déduire les solutions dansCdez3-1=0.

2) On désigne parjle complexe :-1

2+i⎷

3

2•Calculerj2,j3,j2 006

•CalculerS=1+j+j2+···+j2 006

Exercice21

On considère le polynôme :P(z)=z4-19z2+52z-40

1) Déterminer les réelsaetbtels que :P(z)=(z2+az+b)(z2+4z+2a)

2) Résoudre alors dansC, l'équation :P(z)=0

Exercice22

Pour tout complexez, on considère :f(z)=z4-10z3+38z2-90z+261

1)best réel. Exprimer en fonction debles parties réelle et imaginaires def(ib).

2) En déduire que l'équationf(z)=0 admet deux nombres imaginaires purs comme

solution.

3) Démontrer qu'il existe deux nombres réelsαetβque l'on déterminera, tels que, pour

tout nombre complexez, f(z)=(z2+9)(z2+αz+β)

4) Résoudre alors dansC, l'équationf(z)=0

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Exercice23

Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1)z1=2+2i⎷

3

2)z2=-⎷

2+i⎷23)z3=4-4i

4)z4=-1

4+i⎷

3

45)z5=-2i

6)z6=41-i

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