Exercices type Bac Nombres complexes
Exercice 4 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ;u ; v) Unité graphique : 0,5 cm On note j le nombre complexe 3 2π i e On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8 , b = 6j et c = 8j 2 Soit A’ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle 3 π
Nombres complexes – Exercices
Exercice 12 Exercice 13 Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit Z= z−2i z−1 On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X et Y réels 1 Exprimer X et Y en fonction de x et y 2 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel 3 Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit
exercice Nombres complexes
EXERCICE N°2 Soit a , b et c trois nombres complexes de modules sont égaux à 1 et tel que: a + b + c = 1 Calculer c 1 b 1 a 1 + + EXERCICE N°3 z désigne un nombre complexe différent de 2 i Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O,u,v) (unité graphique: 3 cm) On désigne par A le point d'affixe 2 i
Les nombres complexes
Soit z = x +iy avec x et y réels; on note Z le nombre complexe : Z = z −2z +2 1) Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z 2) Résoudre dans Cl’équation : Z = 0 d’inconnue z Exercice10 Soit z = x +iy avec x et y réels À tout complexe z, on associe Z = 2z −2 +6i
Feuille 5 : Nombres complexes
Exercice 5-6 Montrer que tout nombre complexe z6= 1 de module 1 s’écrit sous la forme x+ i x i avec x2R Solution Soit z= a+ ib2C nf1gde module 1
Exo7 - Exercices de mathématiques - Mathovore
Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module r, d’argument q, et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2):::(zn +zn) en fonction de r et q Indication H Correction H Vidéo [000020] Exercice 16 En utilisant les nombres complexes, calculer cos5q et sin5q en fonction de cosq et sinq Indication H Correction H Vidéo [000080] 6 Divers
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< Soit aun nombre complexe différent de −i et i
Les nombres complexes - Partie I
Le complexe est appelé conjugué de et est noté Exemple Le conjugué de est L'inverse de est L'inverse de est Le conjugué d'un complexe permet de caractériser les nombres réels et les nombres imaginaires purs (ceux dont la partie réelle est nulle) parmi les complexes : Soit z un nombre complexe imaginaire pur si
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Exo7
Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :3+6i34i;1+i2i
2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.
2.Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.
Calculer le module et l"argument deu=p6ip22
etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.Calculer les racines carrées de
1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).
Résoudre dansCles équations suivantes :
z2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;
1 z2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;
z4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:
Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.
1.Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines de 1+z+z2=0.
2.Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2++zn1=0.
Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.
Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z6+(7i)z388i=0:
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2) Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que :1.z3z5
=1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique. 2Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui
nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O1i1.Donner les af fixesw0;:::;w4des pointsA0;:::;A4. Montrer quewk=w1kpourk2 f0;1;2;3;4g. Montrer que 1+w1+w21+
w31+w41=0.
2.En déduire que cos (2p5
)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 cos 2p5 4.On considère le point Id"affixei2
, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection deCavec la demi-droite [BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.5.Application :Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n)en fonction der etq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.
1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avecab=1.
3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]il existeqetrdansZ[i]
vérifiant : a=bq+ravecjrjiaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi quejwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de
1+ip2 =eip4de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour
l"exer cice13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour
l"exer cice15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour
l"exer cice16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.4
Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur par son conjugué nous
obtenons un nombre réel. =35 +65i:
Calculons
1+i2i=(1+i)(2+i)5
=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:
Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32
+72iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip32 ) =1+ip3.
2.z2=3eip8
=3cosp83isinp8
=3p2+p2 23ip2p2
2 Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p8 et sinp8 : posonsq=p8 , alors 2q=p4 et donc cos(2q) =p22 sin(2q). Mais cos(2q) =2cos2q1. Donc cos2q=cos(2q)+12 =14 (2+p2). Et ensuite sin2q=1cos2q=14 (2p2).Comme 0q=p8
p2 , cosqet sinqsont des nombres positifs. Donc cos p8 =12 q2+p2;sinp8 =12 q2p2:Correction del"exer cice3 NNous avons u=p6p2i2 =p2 p3 2 i2 =p2 cosp6 isinp6 =p2eip6 puis v=1i=p2eip4Il ne reste plus qu"à calculer le quotient :
uv =p2eip6p2eip4 =eip6 +ip4 =eip12 :Correction del"exer cice4 ND"après la formule de Moivre poureianous avons : e eia=ecosa+isina=ecosaeisina: Orecosa>0 donc l"écriture précédente est bien de la forme "module-argument".De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
. En effet e iu+eiv=eiu+v2 eiuv2 +eiuv2 =eiu+v22cosuv2
=2cosuv2 eiu+v2 Ce qui est proche de l"écriture en coordonées polaires.Pour le cas qui nous concerne :
z=eiq+e2iq=e3iq2 h eiq2 +eiq2 i =2cosq2 e3iq2 5 Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif! Donc si cos q20 alors 2cosq2
est le module dezet3q=2 est son argument; par contre si cosq2
<0 le module est 2jcosq2 jet l"argument 3q=2+p(le+pcompense le changement designe careip=1).Correction del"exer cice5 NRacines carrées.Soitz=a+ibun nombre complexe aveca;b2R; nous cherchons les complexesw2Ctels quew2=z. Écrivons
w=a+ib. Nous raisonnons par équivalence : w2=z,(a+ib)2=a+ib
,a2b2+2iab=a+ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires : a2b2=a 2ab=b Sans changer l"équivalence nous rajoutons la conditionjwj2=jzj. 8 :a2+b2=pa
2+b2 a 2b2=a 2ab=b Par somme et différence des deux premières lignes : 8 :a2=a+pa
2+b22 b2=a+pa
2+b22 2ab=b 8 >:a=qa+pa 2+b22 b=qa+pa 2+b22 abest du même signe queb Cela donne deux couples(a;b)de solutions et donc deux racines carrées (opposées)w=a+ibdez. En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pourz=86i, w2=z,(a+ib)2=86i
,a2b2+2iab=86i a2b2=8 2ab=6 8 :a2+b2=p8
2+(6)2=10 le module dez
a 2b2=8 2ab=6 ,8 :2a2=18 b 2=1 2ab=6 ,8 :a=p9=3 b=1 aetbde signes opposés ,8 :a=3 etb=1 ou a=3 etb= +1Les racines dez=86isont doncw1=3ietw2=w1=3+i.
Pour les autres :
6 -Les racines carrées de 1 sont : +1 et1.Les racines carrées de isont :p22
(1+i)etp22 (1+i).Les racines carrées de 3 +4isont : 2+iet2i.
Les racines carrées de 7 +24isont : 4+3iet43i.Correction del"exer cice6 NPar la méthode usuelle nous calculons les racines carréesw;wdez=1+ip2
, nous obtenons w=sp2+12 p2 +isp212 p2 qui peut aussi s"écrire : w=12 q2+p2+i12 q2p2:Mais nous remarquons quezs"écrit également
z=eip4 eteip8 vérifie eip82=e2ip8
=eip4Cela signifie queeip8
est une racine carrée dez, donceip8 =cosp8 +isinp8 est égal àwouw. Comme cosp8 >0 alorseip8 =wet donc par identification des parties réelles et imaginaires : cos p8 =12 q2+p2 et sin p8 =12q2p2:Correction del"exer cice7 NÉquations du second degré.La méthode génerale pour résoudre les équations du second degréaz2+bz+c=0 (aveca;b;c2Cet
a6=0) est la suivante : soitD=b24acle discriminant complexe etdune racine carrée deD(d2=D) alors les solutions sont :
z1=b+d2aetz2=bd2a:
Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une
racineddeD. Exemple : pourz2p3zi=0,D=3+4i, dont une racine carrée estd=2+i, les solutions sont donc : z1=p3+2+i2
etz2=p32i2Les solutions des autres équations sont :
L "équationz2+z+1=0 a pour solutions :12
(1+ip3),12 (1ip3). L "équationz2(1+2i)z+i1=0 a pour solutions : 1+i,i.L "équationz2p3zi=0 a pour solutions :12
(2p3+i),12 (2p3i) L "équationz2(514i)z2(5i+12) =0 a pour solutions : 512i,2i. L "équationz2(3+4i)z1+5i=0 a pour solutions : 2+3i, 1+i.L "équation4 z22z+1=0 a pour solutions :14
(1+ip3),14 (1ip3). L "équationz4+10z2+169=0 a pour solutions : 2+3i,23i, 23i,2+3i.L "équationz4+2z2+4=0 a pour solutions :p22
(1+ip3),p22 (1ip3),p22 (1+ip3),p22 (1ip3).Correction del"exer cice8 NS n=1+z+z2++zn=nå k=0zk:Nous devons retrouver le résultat sur la sommeSn=1zn+11zd"une suite géométrique dans le cas oùz6=1 est un réel. Soit maintenant
z6=1 un nombre complexe. CalculonsSn(1z). S n(1z) = (1+z+z2++zn)(1z)développons =1+z+z2++znzz2zn+1les termes intermédiaires s"annulent =1zn+1: Donc S n=1zn+11z;pourz6=1: 7Correction del"exer cice9 NCalcul de racinen-ième.Soitz2Ctel quezn=1, déjàjzjn=1 et doncjzj=1. Écrivonsz=eiq. L"équation devient
e inq=e0=1,nq=0+2kp;k2Z,q=2kpn ;k2Z:Les solution sont donc
S=n e2ikpn ;k2ZoComme le polynômezn1 est de degrénil a au plusnracines. Nous choisissons pour représentants :
S=n e2ikpn ;k=0;:::;n1oDe plus sie=e2ipn
alorsS=ek;k=0;:::;n1:Ces racines sont les sommets d"un polygone régulier àncôtés inscrit dans le
cercle unité.SoitP(z) =ån1k=0zk=1zn1zpourz6=1. Donc quelque soitz2Snf1gP(z) =0, nous avons ainsi trouvern1 racines pourPde degré
n1, donc l"ensemble des racines dePest exactementSnf1g.Pour conclure soitQp(z) =ån1k=0ekp.
Sip=0+`n,`2ZalorsQp(z) =p.
SinonQp(z)est la somme d"une suite géométrique de raisonep: Qp(z) =1(ep)n1ep=1(en)p1ep=111ep=0:Correction del"exer cice10 N1.Les trois racines cubiques ont même module
p2, et leurs arguments sontp=12, 7p=12 et 5p=4. Des valeurs approchées sont1;366030;36603i,0;36603+1;36603iet1i.
2.12i,(12i)jet(12i)j2oùj=1+ip32
(racine cubique de 1).Correction del"exer cice11 NSoientz1;z2;z3trois nombres complexesdistinctsayant le même cube.
1.z16=0 car sinon on auraitz1=z2=z3=0. Ainsi(z2z
1)3= (z3z
1)3=1. Comme les trois nombres 1;(z2z
1)et(z3z
1)sont distincts
on en déduit que ce sont les trois racines cubiques de 1. Ces racines sont 1;j=e2ip3 etj2=e2ip3 . A une permutation près des indices 2 et 3 on a donc : z2=jz1etz3=j2z1:
2.Soit z2C. On a les équivalences suivantes :
z6+(7i)z388i=0,z3est solution deZ2+(7i)Z88i=0
Etudions l"équationZ2+(7i)Z88i=0.D= (7i)2+4(8+8i) =80+18i= (9+i)2. Les solutions sont donc8 et1+i. Nous pouvons reprendre notre suite d"équivalences :
z6+(7i)z388i=0,z32 f8;1+ig
,z3= (2)3ouz3= (6p2eip12 )3 ,z2 f2;2e2ip3 ;2e2ip3 gouz2 f6p2eip12 ;6p2ei9p12 ;6p2ei17p12 g ,z2 f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g:L"ensemble des solutions est donc :
f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g:Correction del"exer cice12 NNous identifionsCau plan affine etz=x+iyà(x;y)2RR. Remarquons que pour les deux ensemblesz=5 n"est pas solution, donc z3z5 =1, jz3j=jz5j: 8Ce qui signifie préci
´sement que les points d"affixezsont situés à égale distance des pointsA;Bd"affixes respectives 3= (3;0)et
5= (5;0). L"ensemble solution est la médiatrice du segment[A;B].
Ensuite pour
z3z5 =p2 2 , jz3j2=12 jz5j2 ,(z3)(z3) =12 (z5)(z5) ,zz(z+z) =7 , jz1j2=8 , jz1j=2p2 L"ensemble solution est donc le cercle de centre le point d"affixe 1= (1;0)et de rayon 2p2.Correction de
l"exer cice13 Nju+vj2+juvj2= (u+v)(¯u+¯v)+(uv)(¯u¯v) =2u¯u+2v¯v=2juj2+2jvj2:
Géométriquement il s"agit de l"identité du parallélogramme. Les points d"affixes 0;u;v;u+vforment un parallélogramme.jujetjvj
sont les longueurs des cotés, etju+vj;juvjsont les longueurs des diagonales. Il n"est pas évident de montrer ceci sans les nombres
complexes!!Correction del"exer cice14 N1.Comme (A0;:::;A4)estunpentagonerégulier,onaOA0=OA1=OA2=OA3=OA4=1et(!OA0;!OA1)=2p5
[2p];(!OA0;!OA2)= 4p5 [2p];(!OA0;!OA3) =4p5 [2p];(!OA0;!OA4) =2p5 [2p];. On en déduit :w0=1;w1=e2ip5 ;w2=e4ip5 ;w3=e4ip5 =e6ip5 ;w4= e 2ip5 =e8ip5 ;. On a bienwi=wi1. Enfin, commew16=0, 1+w1+:::+w41=1w511w1=111w1=0. 2.