REPERE DU PLAN COORDONNEES
2nde – B2C – Patricia Pouzin – Repères – Coordonnées – Distance - Page 3 II Repèrage dans le plan et coordonnées d’un point 3 points O, I et J non alignés définissent un repère du plan que l’on note ( ; ; )O I J 2 Cas particuliers : • Un repère orthogonal du plan est donné par trois points O, I et J formant un triangle
Formules de changement de repère
R du plan 1°) Déterminer les coordonnées de S dans le repère R 2°) On note R ' le repère S, ,i j a) Soit M un point quelconque du plan, x y; ses coordonnées cartésiennes dans le repère R et X Y; ses coordonnées cartésiennes dans le repère R ' Exprimer x et y en fonction de X et Y (appliquer directement les formules du I)
Chapitre 3 Géométrie et Repérage dans le plan
Chapitre 3 - Géométrie et Repérage dans le plan 3 2 Repères et vecteurs Dans toute cette partie, on considère que le plan est muni d'un repère (O;I;J) 2 1 Coordonnées d'un vecteur De nition 3 Les coordonnées d'un vecteur ~usont les coordonnées du point M, image du point O par la translation de vecteur ~u
les repères orthonormés (ou orthonormaux) les deux axes sont
Coordonnées des points qui définissent le repère : 2) Pour situer un point dans le repère (O, I, J), on utilise deux nombres relatifs son abscisse (horizontale) , son ordonnée (verticale) L 'abscisse et l'ordonnée d'un point forment ses coordonnées E 2 et3: On écrit ceci A ( -2; 3) Sur "illustration ci-dessus, les coordonnées de A
Coordonnées dans unrepère 3eme - melusineeuorg
Propriété1 Dans un repère quelconque, soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) AlorslescoordonnéesdupointK,milieudu segment[AB]sont xK = xA +xB 2 yK = yA +yB 2 Exemple Surla figureci-dessus,lemilieuK dusegment[AB]a pourcoordonnées xK = xA +xB 2 yK = yA +yB 2 xK = 3+1 2 yK = 5+(−3) 2 xK = 4 2 yK = 2 2 xK =2
1) Equations d’un plan a) Vecteur normal à un plan
équation que vérifient alors ses coordonnées Cette équation "devient" alors l'équation du plan grâce à l'équivalence qu'on vient de voir, puisque seuls les points de ce plan vérifient cette équation b) Equation cartésienne d’un plan en repère orthonormé On se place dans un repère orthonormé (O ; Åi, Åj, Åk) de l’espace
Cinématique dans le plan Coordonnées polaires
1 CINÉMATIQUE DANS LE PLAN 1 3 1 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes Comme le repère (O ,~ex,~ey) est fixe On a : −→ v = d −−→ OM dt = dx dt ~ex + dy dt ~ey donc −→ v =(x′; y′) 1 3 2 Vecteur vitesse en coordonnées polaires Le repère (O ,~er,~eθ) est en mouvement avec θ Les coordonnées de~er et~eθ dans le
Seconde Chapitre II : Année scolaire Repères/Coordonnées
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si ses axes sont perpendiculaires et si OI = OJ Remarque : Cette année, on ne travaillera que dans des repères orthogonaux ou orthonormaux II) Coordonnées : 1) Coordonnées d'un point : Un repère étant donné, tout point M du plan possède un et un seul couple de coordonnées Réciproquement
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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 juin 2017 à 19:56
Cinématique dans le plan
Coordonnées polaires
Table des matières
1 Cinématique dans le plan2
1.1 Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Formules de passages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et coordonnéespolaires2
1.3.1 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . 3
1.3.2 Vecteur vitesse en coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes. . . . . . 3
1.3.4 Vecteur accélération en coordonnées polaires. . . . . . . . . 3
1.3.5 Application au mouvement circulaire. . . . . . . . . . . . . 4
2 Exemples4
2.1 Spirale d"Archimède. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Mouvement d"un anneau sur une tige en rotation. . . . . . . . . . 6
2.3 Le même avec une force de rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. CINÉMATIQUE DANS LE PLAN
1 Cinématique dans le plan
1.1 Coordonnées polaires
Définition 1 :Pour tout point M distinct de O, le couple(r,θ)tel que : r=OM etθ= (-→ı,--→OM)est appelé coordonnées polaires du point M.Le couple(x,y)est appelé coordonnées
cartésiennes du point M. M xy rO?ı?
1.2 Formules de passages
Si l"on connaît les coordonnées cartésiennes : r=? x2+y2et?????cosθ=xr sinθ=y r?on déduitθExemple :Soit M(⎷
3 ;-1). Déterminer les coordonnées polaires de M.
r=⎷3+1=2 et???????cosθ=⎷
3 2 sinθ=-12?θ=-π
6donc M?
2 ;-π6?
Si l"on connaît les coordonnées polaires :?x=rcosθ y=rsinθExemple :Soit M?
3 ;2π
3? . Déterminer les coordonnées cartésiennes de M x=3cos2π3=-32ety=3sin2π3=3⎷
3 2?M?32;3⎷
3 2?1.3 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et coordonnées
polaires M xy r O?ex? ey ?er?eθ ?vr? vθPAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. CINÉMATIQUE DANS LE PLAN
1.3.1 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
Comme le repère (O ,?ex,?ey) est fixe. On a :
v=d--→OM dt=dxdt?ex+dydt?eydonc -→v= (x?;y?)1.3.2 Vecteur vitesse en coordonnées polaires
Le repère (O ,?er,?eθ) est en mouvement avecθ.Les coordonnées de
?eret?eθdans le repère (O ,?ex,?ey) sont : er= (cosθ; sinθ)et?eθ= (-sinθ; cosθ) Si l"on dérive ses vecteurs en fonction deθ, on a : d ?er d ?eθ Comme --→OM=r?er, on a pour le vecteur vitesse : v=d--→OMLes coordonnées du vecteur vitesse sont donc :
-→v= (r?,rθ?)1.3.3 Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes
Comme le repère (O ,?ex,?ey) est fixe. On a :
a=d2--→OM dt2=d2xdt2?ex+d2ydt2?eydonc -→a= (x??;y??)1.3.4 Vecteur accélération en coordonnées polaires
On dérive le vecteur vitesse pour obtenir le vecteur accélération : a=d-→v =r???er+r?d?er dθ×dθdt+ (r?θ?+rθ??)?eθ+rθ?d?eθdθ×dθdt =r???er+r?θ??eθ+ (r?θ?+rθ??)?eθ-r(θ?)2?er = (r??-rθ?2)?er+ (rθ??+2r?θ?)?eθ -→a= (r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?)PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
1.3.5 Application au mouvement circulaire
Théorème 1 :Les vecteurs vitesse et accélération on pour expression dans un mouvement circulaire : Non uniforme. On poser=R(constant) etω=θ?(vitesse angulaire) -→v= (0 ,Rω)et-→a= (-Rω2,Rω?)La vitesse normale est nulle.
Uniforme. On poser=R(constant) etω0=θ?(vitesse angulaire constante) v= (0 ,Rω0) = (0 ;v0)et-→a= (-Rω20, 0) =? -v20 R, 0? L"accélération tangentielle est nulle et l"accélération normale est dirigée vers le centre O2 Exemples
2.1 Spirale d"Archimède
Un disqueDde centre O tourne dans
le plan Oxyà une vitesse angulaire constanteω0autour de l"axe Oz.Un mobile ponctuel M part de O à l"ins-
tantt=0 et est astreint à se dépla- cer une vitesse constante le long d"un rayon du disque ?v=v0?er.Le but est d"étudier la trajectoire du
point M dans le repère fixe Oxy. O?Mθ(t)r(t)
?ex? ey ?er?eθ On détermine les expressions deretθen fonction det. Comme le point M est contraint de se déplacer à vitesse constante sur un rayon, on a :r(t) =v0t Comme le disque tourne avec une vitesse angulaire constante,on a :θ(t) =ω0t Dans le référentiel terrestreR(O ;?er,?eθ): Les coordonnées du point M sont M(r,θ) = (v0t,ω0t). Les coordonnées du vecteur vitesse sont :-→v(r?,rθ?) = (v0,v0ω0t)Les coordonnées du vecteur accélération sont :-→a(r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?) = (-v0ω20t, 2v0ω0)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
Pour trouver la trajectoire de M dans le repère Oxy, on peut revenir aux coordonnées cartésiennes :?x(t) =rcosθ=v0tcos(ω0t) y(t) =rsinθ=v0tsin(ω0t)On obtient alors une courbe paramétrique.
mais on peut revenir à une courbe polaire définie par la fonctionr(θ) =v0ω0×θ en effetθ=ω0t?t=θω0?r=v0t=v0ω0×θ.
Le rayon est alors proportionnel à l"angle. À chaque fois que le disque effectue un tourθ=2πle rayon augmente ded=v0ω0×2π.
C"est ce qui caractérise cette courbe appelé spirale d"Archimède(comparable au sillon de notre bon vieux vinyle). On peut remplir un tableau de valeur pour les angles caractéristiques:θ0π
4 2 3π4π5π
4 3π 2 7π 4 r(θ)0v0π4ω0
v0π2ω0
3v0π
4ω0
v0π ω05v0π
4ω0
3v0π
2ω0
7v0π
4ω0
v0ω0×2ππ
4π 2 3π 4 5π 4 3π27π
2PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
2.2 Mouvement d"un anneau sur une tige en rotation
Une tige rectiligne horizontale (OA)
tourne, à vitesse angulaire constanteω0 autour de l"axe Ozperpendiculaire au plan horizontal Oxy. Un anneau M de massemest enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottement.À l"instantt, la rotation de la tige est re-
pérée par l"angleθet la position de l"an- neau sur la tige parr=OM.À l"instantt=0, l"anneau à une vi-
tesse nulle par rapport à la tige et se trouve à une distancer0du point O. O Mθ(t)r(t)
-→T ?ex? ey ?er?eθ ?A Comme la tige a une vitesse de rotation constante, on a :θ(t) =ω0t. Dans le référentiel terrestreR(O ;?er,?eθ): Les coordonnées du point M sont M(r,θ) = (r,ω0t). Les coordonnées du vecteur vitesse sont :-→v(r?,rθ?) = (r?,rω0)Les coordonnées du vecteur accélération sont :-→a(r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?) = (r??-rω20, 2r?ω0)