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Le problème du plus court chemin /exercices/corrigé/p1 Le problème du plus court chemin : exercices- corrigé I 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 Les sommets correspondent à l'état du stock à la fin de chaque période : par hypothèse, il peut être de 0, 1 ou 2 Les arcs sont associés aux décisions Initialement, le stock est

Résolution des problèmes de plus court chemin – exercices

Le plus court chemin de 0 à 4 est le chemin 0 – 2 - 4 Il faut produire 4 unités en période 1 et 4 unités en période 3 III Les longueurs sont positives, on pourrait appliquer l'algorithme de Moore Dijkstra, mais on peut vérifier que ce graphe est sans circuit auquel cas il vaut mieux appliquer l'algorithme de Bellman qui

Exercices“Pluscourtschemins” :Correction

Exercices“Pluscourtschemins” :Correction 19 octobre 2016 1 2 3 Ilsuﬃtd’appliquerlafonctionlog surlespoids 4 L’algorithme reste le même, mais on met à jour l’étiquette d’un sommet v en faisant (v) :=

TD9 : plus court chemin dans un graphe

TD9 : plus court chemin dans un graphe Exercice 1 Un graphe orient e pond er e G est donn e par la matrice d’incidence sui-vante, ou les sommets du graphe sont s;a;b;c;d et t et ou il existe une ar^ete du sommet s 1 vers le sommet s 2 si et seulement si la case situ ee a l’intersec-tion de la ligne s 1 et de la colonne s

Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 GRAPHES PLUS COURT

Année 2017-2018 GRAPHES: PLUS COURT CHEMIN Tle ES 4 EXERCICE 1 Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux Le long de chaque arête ﬁgure la distance en kilomètres séparant les différents lieux En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus courtchemin possible pour aller deAàL A E I B F J C

SUJET + CORRIGE

Exercice 4: Variantes plus court chemin à origine unique (8 points) L’algorithmedeDijkstra Initialisation (G, s){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire

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–soit ce plus court chemin passe par le sommet k+ 1 Dans ce cas il ne peut y passer qu’une seule fois (sinon il y a un circuit, de valuation totale positive par hypothèse sur le graphe, que l’on pourrait éliminer pour construire un chemin entre iet jplus court, ce qui serait absurde)

Algorithmes de Graphes, HLIN501 Ann ee 2016-2017 L3 Info, L3

a Un sous-chemin d’un plus court chemin est un plus court chemin b Si r est un sommet d’un graphe orient e D pond er e par des longueurs positives toutes distinctes, alors D poss ede une unique arborescence des plus courts chemins issue de r c Dans tout graphe G non orient e, connexe et valu e positivement sur ses ar^etes, il existe un

Th´eorie des graphes et algorithmes - LACL

– plus court chemin – d´etection de circuit dans un graphe orient´e , d´etermination des composantes fortement connexes d’un graphe orient´e , tri topologique – ordonnancement remarque : dans les algorithmes qui seront d´ecrits, le terme FIN signiﬁe une sortie du pro-gramme en cours d’ex´ecution 1

Travaux Diriges RO03

existe un chemin de k arcs entre i et j et 0 sinon 2 2 : On définit de même Bk la puissance k-ème matricielle Booléenne de B et l'on pose : B ^ k=I B B 2 B3 Bk Montrer que : B ^ k ij=1 s'il existe un chemin de k arcs au plus entre i et j et 0 sinon Montrer que l'on peut définir B ^ =limB ^ k pour k tend vers ∝ 2 3 : On pose de

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Programmation dynamique, chaînes de Markov, files d"attente

Cours de Tronc Commun Scientifique

FICM 2A

Notes de cours et exercices corrigés

Frédéric SUR

sur@loria.fr http://www.loria.fr/sur/enseignement/RO/

École des Mines de Nancy

2013-2014

(version du 27 février 2014) blablement des coquilles et erreurs. Merci de bien vouloir me les signaler.

Il s"agit d"un résumé très condensé de notions dont l"étude approfondie nécessiterait

bien plus de temps. On essaie ici de donner les éléments simplifiés, mais autant que pos- sible rigoureux, de la théorie qui permettent d"aller au delà de l"application de formules. N"hésitez pas à consulter la littérature dédiée.

Table des matières

1 La programmation dynamique 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Un problème de plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Principe d"optimalité de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 L"équation de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Un système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Équation de Bellman et principe d"optimalité . . . . . . . . . .

1.2.3 Un exemple de recherche de plus courts chemins . . . . . . . .

1.2.4 La résolution d"une équation de Bellman vue comme une re-

cherche de plus courts chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 La distance d"édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Problème de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Équilibrage de charge sur deux machines en parallèle . . . . . .

1.3.4 Un problème d"économie mathématique . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Problème du sac à dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Les chaînes de Markov 19

2.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Représentation graphique des chaînes de Markov . . . . . . . .

2.2.3 Chaînes réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Chaînes périodiques et apériodiques . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comportement asymptotique des chaînes ergodiques . . . . . . . . . .

2.4 Le " théorème » des coupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Comportement asymptotique des chaînes absorbantes . . . . . . . . . .

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 L"anatomie d"un moteur de recherche (examen 2010-2011) . . .

2.6.2 Modèle économique de Leontief (examen 2011-2012) . . . . .

36
3

TABLE DES MATIÈRES 4

2.6.3 Problème de la ruine du joueur (examen 2013-2014) . . . . . .

3 Les files d"attentes 39

3.1 Rappels : loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Caractéristiques d"un système d"attente . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 La formule de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Modélisation dans le cadre Markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 La propriété PASTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Les clients et les serveurs sont sans mémoire . . . . . . . . . .

3.5.3 Les files d"attente M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.4 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1 File M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 File M/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3 File M/M/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.4 File M/M/m/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Les files M/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1 Processus de Markov par lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.2 File M/G/1 générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Réseaux de files d"attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9.1 Paradoxe de l"autobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9.2 Dimensionnement d"un service-client . . . . . . . . . . . . . .

3.9.3 Vélos en libre service (rattrapage 2010-2011) . . . . . . . . . .

3.9.4 Chez le médecin (examen 2010-2011) . . . . . . . . . . . . . .

3.9.5 Un serveur informatique (rattrapage 2011-2012) . . . . . . . .

3.9.6 Problème de maintenance informatique (examen 2010-2011) . .

3.9.7 Étude d"une file M/G/1 (examen 2010-2011) . . . . . . . . . .

3.9.8 Maintenanced"unsystèmeindustrielcritique(examen2011-2012)

3.9.9 Approvisionnement et gestion d"un stock (examen 2013-2014) .

3.9.10 Un guichet avec des clients prioritaires (rattrapage 2013-2014) .

4 Correction des exercices 75

4.1 La programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 La distance d"édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Problème de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Équilibrage de charge sur deux machines en parallèle . . . . . .

4.1.4 Un problème d"économie mathématique . . . . . . . . . . . . .

4.1.5 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F. Sur 2013-2014

5 TABLE DES MATIÈRES

4.1.6 Problème du sac à dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 L"anatomie d"un moteur de recherche . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Modèle économique de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Problème de la ruine du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Les files d"attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1 Paradoxe de l"autobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2 Dimensionnement d"un service-client . . . . . . . . . . . . . .

4.3.3 Vélos en libre service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.4 Chez le médecin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.5 Un serveur informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.6 Problème de maintenance informatique . . . . . . . . . . . . .

4.3.7 Étude d"une file M/G/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.8 Maintenance d"un système industriel critique . . . . . . . . . .

100

4.3.9 Approvisionnement et gestion d"un stock . . . . . . . . . . . .

103

4.3.10 Un guichet avec des clients prioritaires . . . . . . . . . . . . .

104

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TABLE DES MATIÈRES 6

F. Sur 2013-2014

Chapitre 1

La programmation dynamique

1.1 Introduction

1.1.1 Un problème de plus court chemin

On considère le problème du plus court chemin dans un graphe orienté et valué, défini sur un ensemble densommetsf1;2;:::ng. Si les valuations sont positives, l"al- gorithme de Dijkstra permet de trouver le plus court chemin (i.e. le chemin de valuation totale minimale) entre deux sommets. Dans le cas où les valuations peuvent être négatives et où le graphe ne présente pas de circuit de valuation totale négative, nous allons présenter l"algorithme de Floyd-

Warshall qui répond à la question.

Notonsd(i;j)la valuation de l"arc(i;j), et (pourk>1)dki;jla longueur du plus court chemin du sommetiau sommetjparmi ceux parcourant uniquement les som- metsf1;2;:::kg. Par convention on suppose aussi : dki;j= +1s"il n"y a pas de chemin deiàj d

0i;j=d(i;j)

Le but est de construire un algorithme permettant de calculer lesdni;j.

On remarque la propriété suivante.

Proposition 1.1Soitktel que06k6n1. Les(dk+1

i;j)i;jsont liés aux(dki;j)i;jpar la formule de récursion :

8(i;j)2 f1;2;:::ng2; dk+1

i;j= mindki;j; dki;k+1+dkk+1;j Démonstration.En effet, si on considère deux sommetsietj: s oitle plus court chemin entre ietjparmi ceux visitantf1;:::;k+ 1gne passe pas par le sommetk+ 1, et alorsdk+1i;j=dki;j;7

CHAPITRE 1. LA PROGRAMMATION DYNAMIQUE 8

soit ce plus court chemin passe par le sommet k+ 1. Dans ce cas il ne peut y passer qu"une seule fois (sinon il y a un circuit, de valuation totale positive par hypothèse sur le graphe, que l"on pourrait éliminer pour construire un chemin entreietjplus court, ce qui serait absurde). Ce plus court chemin est donc la concaténation du plus court chemin entreietk+ 1et du plus court chemin entrek+ 1etj, parmi ceux visitant les sommets intermédiairesf1;:::;kguniquement. On a alors :dk+1i;j=dki;k+1+dkk+1;j. L"algorithme de Floyd-Warshall (-Roy) (1962) consiste à calculer les(d1i;j)i;j(en O(n2)opérations, car il y an2paires de sommets(i;j)), puis les(d2i;j)i;j(O(n2) opérations), ..., et finalement les(dni;j)i;j(toujoursO(n2)opérations) qui donnent les longueurs de plus courts chemines cherchées. La complexité totale de l"algorithme est deO(n3).

1.1.2 Principe d"optimalité de Bellman

Dans le problème précédent, pour trouver les chemins minimaux sur le graphe, on a résolu des problèmes " plus petits » : trouver les chemins minimaux sur des graphes à k < nsommets. Cette astuce est possible lorsque le problème d"optimisation vérifie le principe d"optimalité de Bellman: une solution optimale pour le problème contient les solutions optimales pour tous les sous-problèmes. Ici, le plus court chemin entre les sommetsietjest la concaténation, pour tout sommet intermédiaireksur ce chemin, du plus court chemin entreietket du plus court chemin entreketj. Laprogrammation dynamiqueconsiste à résoudre les problèmes d"optimisation sat- isfaisant le principe d"optimalité de Bellman en tirant partie d"une formule récursive. L"algorithme de Floyd-Warshall est donc de ce point de vue basé sur la programmation dynamique.

1.2 L"équation de Bellman

Il se trouve qu"une classe générale de problèmes d"optimisation satisfait le principe d"optimalité de Bellman. Il s"agit de problèmes dont la fonctionnelle satisfait l"équation de Bellman.

1.2.1 Un système dynamique

dont l"état à l"instantt(06t6T) est repéré parxt(valeur scalaire ou vecteur deRd).

F. Sur 2013-2014

9 1.2. L"ÉQUATION DE BELLMAN

Soit(xt)l"ensemble des actions possibles lorsque le système est dans l"étatxt. Si l"actionat2(xt)est choisie, le système passe à l"étatxt+1=(xt;at). Notons égalementF(xt;at)le coût de l"actionatlorsque le système est dans l"é- tatxt. Partant de l"état initialx0, le coût global aprèsTpas de temps est alors : T X t=0F(xt;at) Minimiser le profit global revient à résoudre l"équation de Bellman : min a

0;:::;aT(

TX t=0F(xt;at);t.q.806t6T; at2(xt)et806t < T; xt+1=(xt;at)) NotonsPT(x)la valeur du coût minimal obtenu en arrivant à l"étatxaprèsTétapes, par-

tant de l"étatx0. L"équation précédente donne la valeur dePT(xT+1)(après la dernière

décisionaTle système arrive à l"étatxT+1auquel aucun coût n"est associé). Résoudre l"équation de Bellman consiste à choisir les actionsatguidant le système à chaque pas de temps parmi celles possibles de manière à minimiser le coût global.

1.2.2 Équation de Bellman et principe d"optimalité

Ce problème de minimisation peut aussi s"écrire pour tout état finalx: P

T(x) = mina2(y)t.q.x=(y;a)fPT1(y) +F(y;a)g

oùPT1(y)désigne le coût minimal réalisable enT1étapes menant à l"étaty. Autrement dit, l"équation de Bellman satisfait le principe d"optimalité de Bellman. La stratégie optimale enTétapes arrivant enxà l"instantTet passant paryà l"in- stantT1contient la stratégie optimale arrivant enyenT1étapes. On peut donc utiliser la programmation dynamique pour résoudre ce problème 1. Pour ce faire, on suppose connaître lesP0(x)pour toutes les valeurs dexpossibles.

On calcule alors pour tous lesxpossibles :

1(x) = mina2(y)t.q.x=(y;a)fP0(y) +F(y;a)g

(cette optimisation n"est pas forcément évidente en pratique, si par exemple(y)n"est qui sont les valeurs qui nous intéressent. La succession des choixa0;a1;:::;aTdonnequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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FICM 2A

Notes de cours et exercices corrigés

Frédéric SUR

École des Mines de Nancy

2013-2014

Table des matières

1 La programmation dynamique 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Un problème de plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Principe d"optimalité de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 L"équation de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Un système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Équation de Bellman et principe d"optimalité . . . . . . . . . .

1.2.3 Un exemple de recherche de plus courts chemins . . . . . . . .

1.2.4 La résolution d"une équation de Bellman vue comme une re-

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 La distance d"édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Problème de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Équilibrage de charge sur deux machines en parallèle . . . . . .

1.3.4 Un problème d"économie mathématique . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Problème du sac à dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Les chaînes de Markov 19

2.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Représentation graphique des chaînes de Markov . . . . . . . .

2.2.3 Chaînes réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Chaînes périodiques et apériodiques . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comportement asymptotique des chaînes ergodiques . . . . . . . . . .

2.4 Le " théorème » des coupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Comportement asymptotique des chaînes absorbantes . . . . . . . . . .

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 L"anatomie d"un moteur de recherche (examen 2010-2011) . . .

2.6.2 Modèle économique de Leontief (examen 2011-2012) . . . . .

TABLE DES MATIÈRES 4

2.6.3 Problème de la ruine du joueur (examen 2013-2014) . . . . . .

3 Les files d"attentes 39

3.1 Rappels : loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Caractéristiques d"un système d"attente . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 La formule de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Modélisation dans le cadre Markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 La propriété PASTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Les clients et les serveurs sont sans mémoire . . . . . . . . . .

3.5.3 Les files d"attente M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.4 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1 File M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 File M/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3 File M/M/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.4 File M/M/m/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Les files M/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1 Processus de Markov par lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.2 File M/G/1 générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Réseaux de files d"attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9.1 Paradoxe de l"autobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9.2 Dimensionnement d"un service-client . . . . . . . . . . . . . .

3.9.3 Vélos en libre service (rattrapage 2010-2011) . . . . . . . . . .

3.9.4 Chez le médecin (examen 2010-2011) . . . . . . . . . . . . . .

3.9.5 Un serveur informatique (rattrapage 2011-2012) . . . . . . . .

3.9.6 Problème de maintenance informatique (examen 2010-2011) . .

3.9.7 Étude d"une file M/G/1 (examen 2010-2011) . . . . . . . . . .

3.9.8 Maintenanced"unsystèmeindustrielcritique(examen2011-2012)

3.9.9 Approvisionnement et gestion d"un stock (examen 2013-2014) .

3.9.10 Un guichet avec des clients prioritaires (rattrapage 2013-2014) .

4 Correction des exercices 75

4.1 La programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 La distance d"édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Problème de location de skis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Équilibrage de charge sur deux machines en parallèle . . . . . .

4.1.4 Un problème d"économie mathématique . . . . . . . . . . . . .

4.1.5 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F. Sur 2013-2014

5 TABLE DES MATIÈRES