Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions 1 Introduction Démonstration du théorème 1 On admet que tout entier naturel strictement supérieur à 1 a un diviseur premier Soit n un entier non premier, et p son plus petit diviseur premier ( 1 6p 6n) On note q l'entier tel que n = pq Si p > p n alors q < p n 6p
TS spé Les nombres de Mersenne
C’est ainsi que le 46e nombre premier de Mersenne a été trouvé en avril 2009 Il s’agit de 2 142643801 , le deuxième plus grand nombre premier connu En effet, le 47e nombre premier de Mersenne a été identifié un an plus tôt : 2 143112609 Ceci est la preuve que
Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Primalité des nombres de Mersenne Référence : Cours de calcul formel Corps finis, systèmes polynomiaux, applications Philippe Saux Picart, Éric Rannou 2011-2012 On appelle nombres de Mersenne les M q = 2 q −1 pour q ∈ N On a d’abord le lemme : Lemme 1 Si M q est un nombre premier, alors q est premier Démonstration Si q n’est
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci - WordPresscom
Mais comme d divise le nombre M n qui est impair, d ne peut diviser 2 et donc nécessairement, d divise M r Réciproquement, si d divise M n et M r alors d divise 2nqM r + M n(1+2n +22n +:::+2(q1)n) = M m Nous avons donc montré que les diviseurs communs de M m et M n sont les mêmes que les diviseurs communs de M n et M r D’où : PGCD(M m
Facteurs carrés des nombres de Mersenne - Blogdemaths
Facteurs carrés des nombres de Mersenne blogdemaths wordpress com Dans ce document, on montre que si un nombre de Mersenne 2q ¡1 avec q pre-mier possède un facteur carré, alors il est divisible par un nombre premier de Wie-ferich Commençons par donner la forme des diviseurs premiers des nombres de Mer-senne 2q ¡1 : Proposition
Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Partie B: Application à deux nombres de Mersenne M p avec p premier 1) Le nombre de Mersenne ????19= t19− s= w t v t z y a) = s { est premier donc si ????19 est omposé alors, d’après la partie A, ses diviseurs premiers ???? sont à chercher parmi les nombres : ????= t????× s {+ s (????∈ℕ∗) ????= u z????+ s (????∈ℕ∗)
Les nombres premiers
1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite
Le théorème de Fermat
de basea ( on peut alors choisir une autre valeur dea) (on peut avoir un nombre de Carmichaël mais on conclut que p est « probablement premier », c'est à dire que la probabilité qu'il ne soit pas premier est « faible ») 4 4 Nombre de Mersenne a) Définition n∈ℕ* On nomme nombre de Mersenne tout entier naturel : M n=2 n−1 b
Exercices surles nombrespremiers - LAGA - Accueil
nombre premier Exercice 5P — En utilisant l’´ecriture de ζ(s) en produit Eul´erien, montrer que la s´erie p∈P p −1 diverge; en particulier P est infini Exercice 6 — Soit p ≥ 3 premier et soit M p = 2p−1 le nombre de Mersenne associ´e (a) Montrer que si q est un diviseur de M p alors q ≡ 1 mod 2p et q ≡ ±1 mod 8
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