Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions 1 Introduction Démonstration du théorème 1 On admet que tout entier naturel strictement supérieur à 1 a un diviseur premier Soit n un entier non premier, et p son plus petit diviseur premier ( 1 6p 6n) On note q l'entier tel que n = pq Si p > p n alors q < p n 6p
TS spé Les nombres de Mersenne
C’est ainsi que le 46e nombre premier de Mersenne a été trouvé en avril 2009 Il s’agit de 2 142643801 , le deuxième plus grand nombre premier connu En effet, le 47e nombre premier de Mersenne a été identifié un an plus tôt : 2 143112609 Ceci est la preuve que
Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Primalité des nombres de Mersenne Référence : Cours de calcul formel Corps finis, systèmes polynomiaux, applications Philippe Saux Picart, Éric Rannou 2011-2012 On appelle nombres de Mersenne les M q = 2 q −1 pour q ∈ N On a d’abord le lemme : Lemme 1 Si M q est un nombre premier, alors q est premier Démonstration Si q n’est
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci - WordPresscom
Mais comme d divise le nombre M n qui est impair, d ne peut diviser 2 et donc nécessairement, d divise M r Réciproquement, si d divise M n et M r alors d divise 2nqM r + M n(1+2n +22n +:::+2(q1)n) = M m Nous avons donc montré que les diviseurs communs de M m et M n sont les mêmes que les diviseurs communs de M n et M r D’où : PGCD(M m
Facteurs carrés des nombres de Mersenne - Blogdemaths
Facteurs carrés des nombres de Mersenne blogdemaths wordpress com Dans ce document, on montre que si un nombre de Mersenne 2q ¡1 avec q pre-mier possède un facteur carré, alors il est divisible par un nombre premier de Wie-ferich Commençons par donner la forme des diviseurs premiers des nombres de Mer-senne 2q ¡1 : Proposition
Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Partie B: Application à deux nombres de Mersenne M p avec p premier 1) Le nombre de Mersenne ????19= t19− s= w t v t z y a) = s { est premier donc si ????19 est omposé alors, d’après la partie A, ses diviseurs premiers ???? sont à chercher parmi les nombres : ????= t????× s {+ s (????∈ℕ∗) ????= u z????+ s (????∈ℕ∗)
Les nombres premiers
1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite
Le théorème de Fermat
de basea ( on peut alors choisir une autre valeur dea) (on peut avoir un nombre de Carmichaël mais on conclut que p est « probablement premier », c'est à dire que la probabilité qu'il ne soit pas premier est « faible ») 4 4 Nombre de Mersenne a) Définition n∈ℕ* On nomme nombre de Mersenne tout entier naturel : M n=2 n−1 b
Exercices surles nombrespremiers - LAGA - Accueil
nombre premier Exercice 5P — En utilisant l’´ecriture de ζ(s) en produit Eul´erien, montrer que la s´erie p∈P p −1 diverge; en particulier P est infini Exercice 6 — Soit p ≥ 3 premier et soit M p = 2p−1 le nombre de Mersenne associ´e (a) Montrer que si q est un diviseur de M p alors q ≡ 1 mod 2p et q ≡ ±1 mod 8
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Primalité des nombres de Mersenne
Référence : Cours de calcul formel. Corps finis, systèmes polynomiaux, applications.PhilippeSaux Picart, ÉricRannou
2011-2012
On appellenombres de Mersenneles
M q= 2q-1 pourq?NOn a d"abord le lemme :
Lemme 1
SiMqest un nombre premier, alorsqest premier.
Démonstration.Siqn"est pas premier,q=mn, avecm,n >2.Et alorsMq= 2mn-1 qui est divisible par 2n-1.
On a une caractérisation :
Théorème 2
Pour tout nombre premier impairq:
M qest premier???2 +⎷
3? 2q-1 ≡ -1 modMq.On remarque qu"il faut se placer dans un corps où 3 admet une racine carrée. Dans la suite, on explicitera : on
prendraFMqou une de ses extensions.Démonstration du sens direct.
Lemme 3
Pour tout entierknon nul,M2k+1est congru à 7 modulo 12.Démonstration.Par récurrence :
(k= 1) : On a bien 22×1+1= 7. 1 (k→k+ 1) : On a modulo 12 : 22(k+1)+1-1≡4×22k+1-1
≡?22k+1-1?×4 + 3 ≡7×4 + 3 ≡7Donc, pour toutqimpair,Mq≡7 mod 12.
Montrons maintenant que 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.Pour cela, on montre le
Lemme 4
3 est résidu quadratique modulo un entier premierpsi, et seulement sip≡ ±1 mod 12.
Démonstration.Par la loi de réciprocité quadratique, on a : p 3? ?3p? = (-1)p-1 2.Ainsi, par définition du symbole de Legendre :
3 résidu modulop??p
3? = (-1)p-1 2.On remarque que le seul carré non nul deF3est 1, et donc 3 est résidu quadratique modulopsi, et seulement
sil"une des conditions est vérifiée : (i)p≡1 mod 3 etp-12est pair.
(ii)p≡2 mod 3 etp-12est impair.
Dans le premier cas,pest congru à 1 modulo 3 et 4, et donc modulo 12.Dans le second cas,pest congru à 2 modulo 3, et 3 modulo 4, et donc par théorème chinois, à -1 modulo 12.♦
CommeMqn"est congru ni à 1, ni à -1 modulo 12, 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.X2-3 est donc
irréductible surFMq, et doncA=FMq[X]/(X2-3)est un corps, et on note la classe deXdansA⎷ 3.On remarque de plus que 2
q+1≡2 modMq, et donc 2 admet une racine carrée⎷2 := 2q+12.
On définit les quantités
ρ=1 +⎷
3⎷2etρ=1-⎷3⎷2.
On montre facilement queρ2= 2 +⎷
3 etρρ=-1.
De plus, on remarque que comme⎷
3 n"est pas résidu quadratique moduloMq, par petit théorème de Fermat :
3?Mq= 3M
q-12⎷3 =-⎷3. CommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
2 De même, on aρMq=ρCommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
De même, on a
2M q=⎷2, et doncρMq=ρ. On multiplie à gauche et à droite, et on obtient :2 +⎷
3? 2q-12 +⎷3?
Mq+1 2=-1. Démonstration du sens réciproque.On note dans la suiteZnl"anneauZ/nZ.On note encoreAune extension deZMqcontenant une racine de 3 : plus précisemment, siZMqcontient une
racine de 3, on prendA=ZMq, et sinon on prendA=ZMq[X]/(X2-3). On supposeMqnon premier, et on appellepun de ses diviseurs premiers.pest donc un diviseur de 0 dansA, et a fortiori n"est pas inversible. Il est donc contenu dansun idéal maximal
MdeA. Alors A/Mest un corps, de caractéristiquep(pnon nul dansM).On appelleα(resp.β) la classe de 2 +⎷
3 (resp. 2-⎷3) dansA/M.
Notre hypothèse s"écrit doncα2q-1≡ -1 modMq, et on en déduit queαest d"ordre 2qdansA/M.
On pose maintenantQ= (X-α)(X-β) =X2-4X+1. C"est un polynôme à coefficient dans le corps premier
deA/M,Fp.
Donc, commeαest racine deQ,αpaussi, et doncαp=αouαp=β.Dans le premier cas, comme l"ordre deαest 2q, 2qdivisep-1. OrpdiviseMq= 2q-1, doncp <2q. D"où une
contradiction.Dans le second cas,αp=β=α-1=αMq. On a alorsp≡2q-1 mod 2q, et ceci imposep=Mq. Encore une
contradiction. Remarque- On peut citer un corollaire direct de ce théorème :Théorème 5 : Test de Lehmer-Lucas
On définit la suite(Ln)?ZNMqpar
L0= 4etLn+1=L2n-2 modMq.
Alors on a :
M qpremier??Lq-2≡0 modMq.Cet algorithme permet de calculer directement dansZMqplutôt que dans une extension. Au final, il est de
complexitéO(q3) (on peut accélerer un peu avec la transformée de Fourier discrète). 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2