Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions 1 Introduction Démonstration du théorème 1 On admet que tout entier naturel strictement supérieur à 1 a un diviseur premier Soit n un entier non premier, et p son plus petit diviseur premier ( 1 6p 6n) On note q l'entier tel que n = pq Si p > p n alors q < p n 6p
TS spé Les nombres de Mersenne
C’est ainsi que le 46e nombre premier de Mersenne a été trouvé en avril 2009 Il s’agit de 2 142643801 , le deuxième plus grand nombre premier connu En effet, le 47e nombre premier de Mersenne a été identifié un an plus tôt : 2 143112609 Ceci est la preuve que
Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Primalité des nombres de Mersenne Référence : Cours de calcul formel Corps finis, systèmes polynomiaux, applications Philippe Saux Picart, Éric Rannou 2011-2012 On appelle nombres de Mersenne les M q = 2 q −1 pour q ∈ N On a d’abord le lemme : Lemme 1 Si M q est un nombre premier, alors q est premier Démonstration Si q n’est
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci - WordPresscom
Mais comme d divise le nombre M n qui est impair, d ne peut diviser 2 et donc nécessairement, d divise M r Réciproquement, si d divise M n et M r alors d divise 2nqM r + M n(1+2n +22n +:::+2(q1)n) = M m Nous avons donc montré que les diviseurs communs de M m et M n sont les mêmes que les diviseurs communs de M n et M r D’où : PGCD(M m
Facteurs carrés des nombres de Mersenne - Blogdemaths
Facteurs carrés des nombres de Mersenne blogdemaths wordpress com Dans ce document, on montre que si un nombre de Mersenne 2q ¡1 avec q pre-mier possède un facteur carré, alors il est divisible par un nombre premier de Wie-ferich Commençons par donner la forme des diviseurs premiers des nombres de Mer-senne 2q ¡1 : Proposition
Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Partie B: Application à deux nombres de Mersenne M p avec p premier 1) Le nombre de Mersenne ????19= t19− s= w t v t z y a) = s { est premier donc si ????19 est omposé alors, d’après la partie A, ses diviseurs premiers ???? sont à chercher parmi les nombres : ????= t????× s {+ s (????∈ℕ∗) ????= u z????+ s (????∈ℕ∗)
Les nombres premiers
1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite
Le théorème de Fermat
de basea ( on peut alors choisir une autre valeur dea) (on peut avoir un nombre de Carmichaël mais on conclut que p est « probablement premier », c'est à dire que la probabilité qu'il ne soit pas premier est « faible ») 4 4 Nombre de Mersenne a) Définition n∈ℕ* On nomme nombre de Mersenne tout entier naturel : M n=2 n−1 b
Exercices surles nombrespremiers - LAGA - Accueil
nombre premier Exercice 5P — En utilisant l’´ecriture de ζ(s) en produit Eul´erien, montrer que la s´erie p∈P p −1 diverge; en particulier P est infini Exercice 6 — Soit p ≥ 3 premier et soit M p = 2p−1 le nombre de Mersenne associ´e (a) Montrer que si q est un diviseur de M p alors q ≡ 1 mod 2p et q ≡ ±1 mod 8
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TS spé Les nombres de Mersenne
Objectif : découvrir les nombres de Mersenne
Marin Mersenne est un religieux français du XVIIe siècle. Il se passionna pour les sciences de son temps et joua
un rôle important dans la diffusion des connaissances scientifiques à l'époque. Il entretient de nombreuses
correspondances. En particulier, il a tenté de dresser la liste des nombres premiers de la forme 2 1n.
On se propose d'étudier les nombres M 2 1n
n avec n entier naturel non nul.1°) Expérimentation
On donne le tableau suivant obtenu à l'aide d'un tableur. n Mn n premier ? Mn premier ?1 1 Faux Faux
2 3 Vrai Vrai
3 7 Vrai Vrai
4 15 Faux Faux
5 31 Vrai Vrai
6 63 Faux Faux
7 127 Vrai Vrai
8 255 Faux Faux
9 511 Faux Faux
10 1023 Faux Faux
11 2047 Vrai Faux
Voici les conjectures de deux élèves :
Charles conjecture que " Mn premier si et seulement si n premier ». C'est une condition nécessaire et
suffisante.Louis conjecture que " Si Mn est premier, alors n est premier ». La condition est nécessaire mais, selon
Louis, elle n'est pas suffisante.
Au vu du tableau, quelle conjecture peut-on invalider ?2°) Justification
a) Soit d et k deux nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.Démontrer que
2 12 1 2 1 1 2 2 ... 2
kdk d d d d . b) En déduire que " Si d divise n, alors Mn est divisible par 2 1d ». c) Justifier la conjecture de Louis.3°) Notes historiques et évolution de la recherche
a) Dans le prologue de son oeuvre Cogitata physica-mathematica (1644), Mersenne affirme que le nombre
2 1n est premier uniquement si la valeur de n appartient à l'ensemble
{2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 13 ; 17 ; 18 ; 31 ; 67 ; 127 ; 257}.On ne sait pas comment Mersenne a pratiqué pour tester la primalité de ces nombres avec les procédés de
l'époque.Vérifier si cette liste est exacte ou incomplète (utiliser Xcas ou effectuer une recherche sur Internet).
Information : Les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les
nombres de la forme 2 1n avec n nombre premier.b) En juin 2012, 47 nombres de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 431126092 1. Retrouver sur Internet
une chronologie des découvertes des nombres de Mersenne, ainsi que les découvreurs.Solution
1°) La conjecture de Charles peut être invalidée.
2°)
a) d , d 2 ; k , k 2Démontrons que
2 12 1 2 1 1 2 2 ... 2
kdk d d d d .On a : 2 1 2 1
kdk d k .On utilise la formule fondamentale de l'algèbre : 1 2 2 1...n n n n n na b a b a a b ab b .
On l'applique à 2da et 1b.
On obtient :
1 22 1 2 1 2 2 ... 2 1
k kdk d d d d ou2 12 1 2 1 1 2 2 ... 2
kdk d d d d .On pourrait aussi écrire :
122 1 2 1 1 2 2 ... 2k ddk d d d .
On peut aussi utiliser la formule donnant la somme des puissances consécutives d'un réel différent de 1.
b) Déduisons-en que " Si d divise n, alors Mn est divisible par 2 1d ». On suppose que d est un entier naturel tel que d | n.