Segment-Segment Intersection
Segment-Segment Intersection 1 For many application, the floating-point coordinates of the point of intersection are needed 2 We will need this to compute the intersections between two polygons 3 Let the two segments have endpoints a and b and c and d, and let L ab and L cd be the lines containing the two segments 4
Chapitre 11 : Approche graphique d’une
L’ordonnée à l’origine d’une fonction est l’ordonnée du point d’intersection entre le graphique de la fonction et l’axe des ordonnées (vertical) Exemples : = t est l’ordonnée à l’origine de la fonction =− u est l’ordonnée à l’origine de la fonction
Equations de droites
_Déterminer le point d’intersection de 2 droites sécantes 1) Equations réduites de droites Le plan est rapporté à un repère (O ; I, J) Nous avons vu que la représentation graphique d’une fonction affine f(x) = ax + b est une droite du plan Réciproquement, nous cherchons les équations de
Chapitre 12 : Fonction affine et linéaire
2 / & est l’ordonnée du point d’intersection entre la droite (d) et l’axe des ordonnées Exemple 4 : , donner l’expression de la fonction d
EXERCICES : FONCTION LOGARITHME
point d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses g Tracer les éventuelles asymptotes à Cf, T puis Cf Exercice 31 : A Soit f la fonction définie sur par : f x= 2e2x – ex e2x– ex 1 On donne ci-dessous la courbe Cf représentative de f dans un repère orthonormé O; i, j du plan Le point I de coordonnées (0 ; 1) est un centre de
Chapitre 8 - Fonctions Quadratiques - MATUMATHS
Le point H(0;c) fait donc partie du graphe de la fonction (i e, de la parabole) On appelle ce point l’ordonn ee a l’origine car il correspond a la valeur de l’ordonn ee (y) lorsque x = 0 Ordonn ee a l’origine H= (0;c) Exemple 3 1 (suite) Calculer l’ordonn ee a l’origine de la parabole d’ equation y = 1 2 x 2 x+ 4 Placer ce
Maths fonction exponentielle 2juin
est la courbe représentative de la fonction exponentielle est un réel 7est le point de coordonnées ;0 8est le point de la courbe d’abscisse 9est le point d’intersection de la tangente :;à la courbe en 8et de l’axe des abscisses Affirmation 4: «La distance 97ne dépend pas de » Affirmation 4
Applications of Linear and Quadratic Functions in Business
d The intersection of a supply function and the demand function is the point when the quantity of a commodity demanded is equal to the quantity supplied; this is called Market Equilibrium 1 The price at that intersection point is the Equilibrium Price 2 The quantity at that intersection point is the Equilibrium Quantity Business Applications
Everything you ever wanted to know about collision detection
– Plug test point into plane equation for all 6 faces – If all test results have the same sign, the point is inside (which sign depends on normal orientation, but really doesn’t matter) • Smart Plane Equations Test – Each pair of opposing faces has same normal, only d changes – Test point against d intervals – down to 3 plane tests
Contrôle Commun de Mathématiques n° 2 du samedi 23 janvier
ordonnées On notera A ce point d) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative ???? et de l’axe des abscisses On notera B et C ces points 4) ]La fonction ]est décroissante sur −∞;1, croissante sur [1;+∞[et admet un extremum en 1 Sans justification, dresser son tableau de variations
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Chapitre 12 : Fonction affine et linéaire.
I. Fonction affine.
A. Définition.
Définition 1 :
On appelle fonction affine une fonction pour laquelle il existe deux nombres et qui associe, à tout
nombre notée , le nombre +(c'est-à-dire×+).On note cela : : →+se lit " la fonction f qui à associe + ».
Exemples 1 :
• La fonction : →2+1est une fonction affine car =+ avec =2=1. • La fonction : →- est une fonction affine car =+ avec =1=- • La fonction ℎ: → +1n'est pas une fonction affine car le de l'expression est au carré.Remarques 1 :
Lorsque =0, la fonction est dite constante. Elle associe, à tout nombre , le nombre .
Lorsque =0, la fonction est dite linéaire. Elle associe, à tout nombre , le nombre .
B. Calcul d'antécédent d'un nombre par une fonction affine.Propriété 1 (admise) :
Soit une fonction affine non constante ; tout nombre admet un unique antécédent par la fonction .
Exemple 2 :
Soit une fonction affine telle que : : →5+4Calculons l'antécédent de 19 par :
Ainsi, 19 est l'image d'un certain nombre par la fonction :5+4=19←Onachangé
5
5 15 5 15 5 =3. Donc, l'antécédent de 19 par la fonction est 3.Rappel 1 :
Par contre, si l'on avait demandé l'image de 19 par , on aurait remplacé par19 dans l'expression de :
Ainsi, 19 est l'antécédent d'un certain nombre par la fonction . 19 19 =5×19+4=95+4=99. Donc, =99 et l'image de 19 par la fonction est 99. C. Représentation graphique d'une fonction affine.Propriété 2 :
Soit une fonction ; on a l'implication suivante et sa réciproque sont vraies : Si est une fonction affine alors sa représentation graphique est une droite.Exemple 3 :
Soit la fonction définie par : : →-0,5+1. est une fonction affine car =+ avec =-0,5=1. Sa représentation graphique est donc une droite (voir propriété 2). Pour la tracer, il suffit de trouver deux points et on rappelle que les coordonnées d'une point d'une représentation graphique d'une fonction peuvent s'écrire X; Z :Ainsi, On note A(0 ; 1) et B(4 ; -1).
Définition 2 :
Soient la fonction définie par :
:→+ et (d) est sa représentation graphique ; • s'appelle le coefficient directeur de la droite (d). • s'appelle l'ordonnée à l'origine : 0Remarques 2 :
1 / En restant sur la droite (d), lorsque
l'on augmente de 1 l'abscisse, l'ordonnée augmente de .2 / est l'ordonnée du point
d'intersection entre la droite (d) et l'axe des ordonnées.Exemple 4 :
La fonction définie par : : →2-1. est une fonction affine car =+ avec =2=-1.Sa représentation graphique d est une droite.
1/ Ainsi,
0 ==-1. Et, si on note A(0 ; -1) alors la droite d passe par ce point.2/ Maintenant, prenons les coordonnées de A, (0 ; -1) :
si on augmente de 1 son abscisse et que l'on augmente son ordonnée de =2 , alors les coordonnées obtenues sont (1 ; 1) et notons B le points de coordonnées (1 ; 1). De plus, B se trouve sur la droite d.3/ Si l'on fait la même chose pour les coordonnées du point B,
On trouve un point C(2 ; 3) et il appartient aussi à la droite d.Remarques 3 :
La coefficient directeur détermine la direction de la droite d.En regardant de gauche à droite :
si >0, alors la droite " monte » et si <0, alors la droite " descend ».II. Fonction linéaire.
A. Définition.
Définition 3 :
On appelle fonction linéaire une fonction pour laquelle il existe un nombre et qui associe, à tout
nombre notée , le nombre (c'est-à-dire×).On note cela : : →se lit " la fonction f qui à associe ».
Remarque 4 :
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (cas où =0).Exemples 5 :
• La fonction : → est une fonction linéaire car = avec =• La fonction : →-1n'est pas une fonction linéaire mais affine car =-1≠0.
• La fonction ℎ: →3 n'est pas une fonction linéaire car le de l'expression est au carré. B. Représentation graphique d'une fonction linéaire.Propriété 3 :
Soit une fonction ; on a l'implication suivante et sa réciproque sont vraies :Si est une fonction linéaire alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O.
Exemple 6 :
Soit la fonction définie par :
: →-0,5 est une fonction linéaire car = avec =-0,5Sa représentation graphique est donc
une droite passant par l'origine (voir propriété 3).Pour la tracer, il suffit de trouver deux
points qui lui appartient : + 1 - 0,5 C. Lien entre proportionnalité et fonction linéaire.Propriété 4 :
Tout situation de proportionnalité de coefficient peut-être modéliser par une fonction linéaire de
coefficient directeur .Exemples 7 :
1/ Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de son côté. Le coefficient de proportionnalité
passant de la longueur de son côté à son périmètre est 4. Par quelle fonction peut-on modéliser cette situation ?D'après la propriété 4, cette situation peut être modélisée par la fonction linéaire définie par : :→4.
La fonction linéaire associe, à toute longueur de côté, le périmètre du carré correspondant.
2/ Dans un bureau de change, le tableau de proportionnalité est suivant affiché.
Soit la fonction qui, à un
montant en $, associe le montant en € correspondant. Donner l'expression de la fonction qui modélise la situation.On peut modéliser cette situation de proportionnalité par la fonction linéaire qui est définie par :
()=0,91.Application 1 :
Voici ci-contre la représentation graphique de la distance parcourue par une voiture roulant à une vitesse de constante de 90km/h en fonction du temps de parcours. a/ La distance parcourue par la voiture est-elle proportionnelle au temps de parcours ? Comme la représentation graphique de cette situation est une droite passant par l'origine, la distance () parcourue par la voiture est proportionnelle au temps de parcours . b/ En notant la fonction qui associe, à tout temps , la distance parcourue (),donner l'expression de la fonction d.On peut modéliser cette situation de proportionnalité par la fonction linéaire qui est définie par :
=90.c/ Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer du temps de parcours à la distance
parcourue par la voiture?Le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur de la fonction , c'est-à-dire, 90.
d/ En 6h, quelle sera la distance parcourue par la voiture ? Comme la fonction linéaire est définie par : =90, on a alors : 6 =90×6=540. Donc, en 6h, la distance parcourue par la voiture sera de 540 km.