I Point, droite, demi-droite, segment a) Le point
Tous les points de cette droite sont alignés avec les points B et C Si le point D appartient à la droite (BC), on note « D ∈(BC) » Sinon on note « D ∉ (BC) » Une droite est illimitée, ce qui signifie qu’on peut prolonger son dessin autant que nécessaire, elle n'a pas de longueur c) La demi-droite : On a tracé la demi-droite
Les droites - Accueil
6 Les symboles « appartient » et « n'appartient pas » ∈ signifie « appartient » ∉ signifie « n'appartient pas » Des points alignés sont des points qui appartiennent à la même droite Exercice : 1 Placer un point A et une droite (d) passant par A 2 Placer un point C qui appartient à la droite (d) On noteC∈(d) 3
Équations cartésiennes dune droite
b) et on montre qu’il appartient à e Dans les deux cas, il existe un point A qui appartient à e, c’est-à-dire tel que ax A + b y A + c =0 → Supposons que M( x ; y ) est un point de e (ça peut être A, ou pas : M n’est pas fixé)
1 Points, segments, droites, demi-droites
Positions relatives d’une droite et d’un cercle Soit C un cercle de centre O et d une droite du plan b) à un cercle est une droite qui a un seul a) • Définition Une tangente point commun avec un cercle Ce point commun est appelé point de contact ou point de tangence Propriété
Quelques méthodes de géométrie dans l’espace
⨿ Pour montrer qu’un point appartient à une droite: Première méthode : on a une représentation paramétrique de la droite On cherche à savoir si il y a un paramètre pour lesquels ce point appartient à la droite : on résout le système de trois équations à une inconnues Si ce système existe (il y a une unique solution), le point
EXERCICE 2 4 points
Le point A de coordonnées (3;2;9) appartient à la droite d, on regarde si A appartient à P Or 3×3+2×2+9×9−5=9+4+81−5=89≠0 Donc le point A n’appartient pas à P et l’affirmation A est fausse Remarque Si le point appartenait à P pour pouvoir conclure , il faudrait regarder si la droite d est (on n’est pas) con-
1 Les points 2 Les segments 3 Les droites
4 La demi-droite Une demi-droite est une portion de droite limitée d'un seul côté par un point appelé origine On a tracé la demi-droite [AB) et la demi-droite [CD) On note la demi-droite avec un crochet à gauche et une parenthèse à droite La lettre qui désigne l'origine de la demi-droite se trouvera du côté du crochet
1 Droites et vecteurs directeurs
Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé 1 Droites et vecteurs directeurs 1 1 Vecteur directeur d’une droite Définition 1 On appelle vecteur directeur d’une droite dtout vecteur −−→ ABoù Aet Bsont deux points distincts de d Un vecteur →u est un vecteur directeur d’une droite ds’il existe deux points
VECTEURS ET DROITES
II Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D est une droite du plan On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite D 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme ax+by+c=0 avec (a;b)≠(0;0)
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET DROITES En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre, (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu'il nomme "segments équipollents". Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls
u et vsont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que
u =kv . Critère de colinéarité : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées x y et x' y' dans un repère (O, i j ). Dire que u et vsont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy' - yx' = 0. Démonstration : - Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. - Supposons maintenant que les vecteurs
u et v soient non nuls. Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k tel que u =kv . Les coordonnées des vecteurs u et vsont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité : x x' y y' Donc : xy' = yx' soit encore xy' - yx' = 0.
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Réciproquement, si xy' - yx' = 0. Le vecteur
v étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que x'≠ 0. Posons alors k= x x' . L'égalité xy' - yx' = 0 s'écrit : y= xy' x' =ky' et donc u =kv . Exemple : Vérifier si les vecteurs u 5 -4 et v -7 5 sont colinéaires. 5 x 5 - (-4) x (-7) = -3 ≠ 0. Les vecteurs u et vne sont pas colinéaires. II. Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : Dest une droite du plan. On appelle vecteur directeur de Dtout vecteur non nul
uqui possède la même direction que la droite D. 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme
ax+by+c=0 avec a;b ≠0;0 . Un vecteur directeur de D est u -b;a. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D. Démonstration : Soit A
x 0 ;y 0 un point de la droite D et uun vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs
AM x-x 0 y-y 0 et u sont colinéaires, soit :βx-x
0 -αy-y 0 =03YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSoit encore :
βx-βx
0 -αy+αy 0 =0Et donc :
βx-αy+αy
0 -βx 0 =0Cette équation peut s'écrire :
ax+by+c=0 avec a=β et b=-α et c=αy 0 -βx 0 . Les coordonnées de u sont donc =-b;a . Exemple : Soit une droite d d'équation cartésienne4x-5y-1=0
. Alors le vecteur ude coordonnées (5 ; 4) est un vecteur directeur de d. Théorème réciproque : L'ensemble des points M(x ; y) tels que
ax+by+c=0 avec a;b ≠0;0 est une droite D de vecteur directeur u -b;a. - Admis - Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur Vidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4 Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk On considère un repère
O;i ;jdu plan. 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur
u(-1 ; 5). 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite d' passant par les points B(5 ; 3) et C(1 ; -3). 1) Soit un point M(x ; y) de la droite d. Les vecteurs
AM x-3 y-1 et u -1 5 sont colinéaires, soit : 5x-3 --1 y-1 =0 . Soit encore :5x+y-16=0
. Une équation cartésienne de d est :5x+y-16=0
. Remarque : Une autre méthode consiste à appliquer le premier théorème énoncé plus haut. Ainsi, comme
u (-1 ; 5) est un vecteur directeur de d, une équation de d est de la forme :5x+1y+c=0
. Pour déterminer c, il suffit de substituer les coordonnées de A dans l'équation. 2) BC est un vecteur directeur de d'. BC 1-5 -3-3 -4 -6 . Une équation cartésienne de d' est de la forme : -6x+4y+c=0. B(5 ; 3) appartient à d' donc : -6 x 5 + 4 x 3 + c = 0 donc c = 18. Une équation cartésienne de d' est :
-6x+4y+18=0 ou encore3x-2y-9=0
. Tracer une droite dans un repère : Vidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo 3) Equation cartésienne et équation réduite Si
b≠0 , alors l'équation cartésienne ax+by+c=0 de la droite D peut être ramenée à une équation réduite y=- a b x- c b . Le coefficient directeur de D est a b , son ordonnée à l'origine est c b et un vecteur directeur de D est 1;- a b . Exemple : Soit d dont une droite d'équation cartésienne4x+y-6=0
. Son équation réduite est y=-4x+6 . 4) Parallélisme de droites Propriété : Les droites d'équation ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0 . Démonstration : Les droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur respectif u -b a et v -b' a' sont colinéaires soit : -ba'-a-b' =0 soit encore : ab'-a'b=0 . Exemple : Vidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU Les droites d'équations3x-y+5=0
et -6x+2y+7=0 sont parallèles. En effet, 3 x 2 - (-1) x (-6) = 0.5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr III. Décomposition d'un vecteur Définition : On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : - Lorsqu'on considère un repère
O;i ;j du plan, le couple de vecteurs i et j , notée i ;j , est une base du plan. - Lorsqu'on considère un triangle non aplati ABC, le couple AB ;AC par exemple est une base du plan. Propriété : Soit u ;v une base du plan. Pour tout vecteur w , il existe un unique couple de nombres réels a;b tel que : w =au +bv . - Admis - Remarque : La décomposition w =au +bv signifie que le vecteur w a pour coordonnées a;b dans la base u ;v6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Choisir une décomposition pertinente pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/4-dKOkNu_p4 Soit un triangle ABC. D est le milieu de [BC] et E est le milieu de [BD]. Le point F est défini par :
AF =3AB +AC . Démontrer que les points A, E et F sont alignés. Par définition, le vecteur AF est exprimé en fonction de AB et AC . On va exprimer également le vecteur AE dans la base ( AB AC ) et démontrer que les vecteurs AE et AF sont colinéaires. D est le milieu de [BC] donc AD 1 2 AB +AC . E est le milieu de [BD] donc AE 1 2 AB +AD . Donc : AE 1 2 AB 1 2 AB +AC 1 2 AB 1 4 AB 1 4 AC 3 4 AB 1 4 ACOn a ainsi :
AE 3 4 AB 1 4 AC et AF =3AB +ACDonc :
AE 1 4 AF . Les vecteurs AE et AFsont colinéaires et donc les points A, E et F sont alignés. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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