Chapitre 8 - Fonctions Quadratiques - MATUMATHS
Intersection entre une droite et une parabole Exemple 4 3 Calculer les coordonn ees des points d’intersection entre la parabole d’ equation y f = x2 2x 1 et la droite d’ equation y g = x 1 O 1 1 x y I 1(0; 1) I 2(3;2) On cherche les valeurs de x pour lesquelles y f = y g: x2 2x 1 = x 1 x+ 1,x2 3x = 0 CL,x(x 3) = 0 )S = f0;3g On remplace
TP 8 : CALCUL GRAPHIQUE DES RACINES D UNE ÉQUATION DU SECOND
sont exactement les abscisses des points d’intersection de la parabole d’équation y=x2 et de la droite d’équation y+px+q=0 1 2 Sur la feuille fournie en annexe, où est donnée la parabole d’équation y=x2, construire à la règle et au compas les racines des équations suivantes Les mesurer ensuite avec votre double
Coniques - SUNUMATHS
2 2 Intersection d’une conique avec son axe focal projeté d’un point de (∆) sur (D) est systématiquement le point K Dans cette situation particulière, les points M, F et K étant alignés, les égalités de distance vont se traduire par des égalités de vecteurs
TANGENTE À UNE PARABOLE - Académie dOrléans-Tours
points d’intersection d’une droite avec les axes du repère Place dans la progression, moment d’étude : Après la notion de nombre dérivé, pour faire vivre ce concept avant d’introduire la notion de fonction déri-vée TANGENTE À UNE PARABOLE Fiche professeur
ax2 bx c = 0
les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses Remarque (voir activité sur pochette commerciale) : On peut aussi écrire l’équation sous la forme ax 2 = - b x - c avec y = ax 2 l’équation d’une parabole et y = -b x – c l’équation d’une droite
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3
Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d’équation y = 25x² - 10x + 1 On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J) 1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de avec les axes du repère 2) Déterminer la position de par rapport à l’axe des abscisses
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
La fonction h est la seule à posséder une racine double égale à 1 Cela signifie que la parabole correspondante ne possède qu’un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses La parabole bleue intercepte l’axe des abscisses en 1 uniquement, c’est donc la représentation graphique de la fonction h
CONSTRUCTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES
les abscisses des points d’intersection d’une parabole fixe et du cercle de centre c’est l’utilisation d’une parabole fixe : une fois qu’on a découpé avec soin une telle para-
Polynôme Du second degré
Une racine unique (pouvant être aussi appelée racine double) La courbe représentative de f possède un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses Deux racines La courbe représentative de f possède deux points d’intersection avec l’axe des abscisses -2 -1 0 1 2 x Aucunes racines La courbe représentative de f ne
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats