Les nombres irrationnels
C’est-a`-dire, tout nombre n pour lequel il n’existe pas d’entiers a et b ou` n = a b On peut se demander si de tels nombres existent Nous allons nous satisfaire ici d’en nommer que un Nous d´emontrerons que la √ 2 n’est pas un nombre rationnel, et donc est irrationnel • Supposons que la √ 2 est un nombre rationnel
Problème 1 : nombres irrationnels
On se propose ici de démontrer que le nombre ˇest un nombre irrationnel Pour cela, on fait l’hypothèse qu’il existe a et b, entiers naturels non nuls, tels que ˇ= a b et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction Étant donnés un entier naturel non nul n et un réel x, on pose : Pn(x)= xn(a bx)n n et P0(x)=1
Des pistes pour enseigner le scandale des nombres irrationnels
nombre irrationnel au secondaire et offrent différentes voies afin de poursuivre l’étude de ce concept d’un point de vue didactique Mots clés: expérimentation didactique, nombre irrationnel, incommensurabilité, rapport, mesure Avenues for teaching the scandal of irrational numbers Abstract
Problème 1 : nombres irrationnels
n est irrationnel 2 Soit p un nombre premier p est en particulier un entier supérieur ou égal à 2 Montrons que √ p n’est pas entier Dans le cas contraire, il existe un entier naturel n >2 tel que √ p =n ou encore tel que n2 =p Cette égalité est impossible par unicité de la décomposition en facteurs premier car le nombre
I Nombres entiers, rationnels et irrationnels Algèbre I - 1
Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples : 2, 3, π Autrement dit : Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie décimale est illimitée non périodique I 2 Intervalles fermés et ouverts Certains sous-ensembles des nombres réels sont très souvent utilisés, ce sont les intervalles
Chapitre 3 : Les nombres rationnels
Un nombre decimal est le quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c’est aussi un nombre dont la partie decimal s’ecrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel
Partie 1
On se propose de d emontrer que le nombre ˇ est un nombre irrationnel Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe deux entiers naturels aet bstrictement positifs tels que ˇ= a b On consid ere une famille de polyn^omes d e nie par P 0(X) = 1 et, pour tout entier naturel non nul n, par P n(X) = Xn(a bX)n n:
Une preuve de l’irrationalité de (3) - CEREMADE
disant que seul un nombre irrationnel peut être approché "très vite" par une suite de rationnels Ce lemme sera utilisé dans la démonstration de l’irratio-nalité de (2) et (3), nous verrons qu’une approche très directe de ce lemme fonctionne pour l’irrationalité de e, mais qu’il est nécessaire de travailler plus
Les nombres transcendants - École Polytechnique
Dé nition : Un elér est appelé nombre de Liouville s'il est irrationnel, et si 8n2N , 9p n q n avec q n>0, tel que j p n q n j< 1 qn D'après le théorème précédent, tout nombre de Liouville est transcendant Considérons par exemple = X1 k=0 a k 10k où a k 2J0;9K est à support in ni Admettons ici que ce nombre est irrationnel et
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I. Nombres entiers, rationnels et irrationnels Algèbre I - 1 I. Nombres entiers, rationnels et irrationnels
Qu'est-ce qu'un nombre ?
Définition selon le petit Larousse illustré de 1997. Nombre : Notion fondamentale des mathématiques, qui permet de dénombrer, de classer les objets ou de mesurer les grandeurs mais qui ne peut faire l'objet d'une définition stricte.I.1 Ensembles particuliers de nombres
1. L'ensemble des nombres naturels : = {0,1,2,3,4,5,...}
L'ensemble des nombres entiers positifs : * = {1,2,3,4,5,...} Opérations de base : L'addition ( + ), La multiplication ( x ) et La relation d'ordre ( ) Opérations secondaires : La soustraction ( ) et La division ( )Défauts :
i) La soustraction de deux nombres dans ne donne pas toujours un résultat dans . ii) La division de deux nombres dans ne donne pas toujours un résultat dans .2. L'ensemble des nombres entiers : = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}. * = \ {0}
Opérations de base : L'addition ( + ), La multiplication ( x ) et La relation d'ordre ( ) Opérations secondaires : La soustraction ( ) et La division ( )Avantage
: La soustraction de deux nombres dans donne toujours un résultat dans .Défaut :
La division de deux nombres dans ne donne pas toujours un résultat dans .3. L'ensemble des nombres rationnels :
= l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction. * = \ {0} Opérations de base : L'addition ( + ), La multiplication ( x ) et La relation d'ordre ( ) Opérations secondaires : La soustraction ( ) et La division ( )Avantages :
i) La soustraction de deux nombres dans donne toujours un résultat dans . ii) La division d'un nombre de par un nombre de * donne toujours un résultat dans .Défauts :
Beaucoup de problèmes ne possèdent pas de solution dans , bien qu'il existe des nombres rationnels qui donnent une bonne approximation de la solution exacte.Exemple :
x 2 = 2 x = 1,414 n'est pas une solution exacte mais 1,414 est une solution approchée car 21,414 1,999396 2.
I. Nombres entiers, rationnels et irrationnels Algèbre I - 24. L'ensemble des nombres réels :
Une définition précise de cet ensemble a nécessité plus de 2000 ans d'histoire des mathématiques. On peut dire que l'ensemble des nombres réels correspond à tous les nombresà virgule, que la partie décimale soit limitée, illimitée périodique ou illimitée non périodique.
* = \ {0}, = x tel que x 0 , = x tel que x 0 Opérations de base : L'addition ( + ), La multiplication ( x ) et La relation d'ordre ( ) Opérations secondaires : La soustraction ( ) et La division ( )Avantages :
i) La soustraction de deux nombres dans donne toujours un résultat dans . ii) La division d'un nombre de par un nombre de * donne toujours un résultat dans .iii) Presque tous les problèmes qui ne possèdent pas de solutions dans , bien qu'il existe des
nombres rationnels qui soient extrêmement proches d'une solution, ont une solution dans .Exemple :
22x admet pour solution exacte deux valeurs :
2x et 2xDéfauts :
Certains problèmes ne possèdent pas de solution dans , bien qu'ils aient une solution dans de plus grands ensembles de nombres.Exemples : x
2 = 1 n'a pas de solution dans mais possède une solution dans l'ensemble des nombres complexes. Nous ne définirons pas cet ensemble.Définition :
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : 2, 3, .Autrement dit :
Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie décimale est illimitée non périodique .I.2 Intervalles fermés et ouverts
Certains sous-ensembles des nombres réels sont très souvent utilisés, ce sont les intervalles.
Soient a et b deux nombres réels tels que a < bIntervalle fermé : [a; b] = { x | a x b }
= l'ensemble des nombres réels "x" tels que le nombre "a" soit plus petit ou égal au nombre "x" et le nombre "x" soit plus petit ou égal au nombre "b".Intervalle ouvert : ]a; b[ = { x | a < x < b }
= l'ensemble des "x" réels tels que "a" soit plus petit que "x" et "x" soit plus petit que "b". Intervalle fermé à gauche, ouvert à droite : [a; b[ = { x | a x < b } Intervalle ouvert à gauche, fermé à droite : ]a; b] = { x | a < x b } Intervalle allant jusqu'à l'infini :]a; [ = { x | a < x } [a; [ = { x | a x } ]; a[ = { x | x < a } ]; a] = { x | x a } ]; [ = { x } =Du côté de l'infini, l'intervalle est toujours ouvert, car l'infini n'est pas un nombre réel.
(L'infini n'est pas un point sur la droite des nombres réels.) I. Nombres entiers, rationnels et irrationnels Algèbre I - 3 I.3 Propriétés des opérations dans , , , etquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2