[PDF] INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPECIALES´ Vadim Schechtman Notes

La fonction Γ - maths-francefr

en déduit que la fonction f est intégrable sur un voisinage de +∞ Etude en 0 tx−1e−t ∼ t→+∞ tx−1 et donc la fonction f est intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement si x−1 > −1 ce qui équivaut à x > 0 Finalement, γ(x) existe si et seulement si x > 0 ∀x > 0, Γ(x) = Z+∞ 0 tx−1e−t dt 2) Relation

INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPECIALES´ Vadim Schechtman Notes

CHAPITRE I FONCTIONS GAMMA ET BETA §1 Fonctions Γ et B 1 0 A la place d’une introduction La m´ethode d’une fonction g´` en´eratrice Consid´erons, avec Euler, le probl`eme suivant: d´efinir une fonction Π(s),s∈ C, telle que Π(n) = n pour nnaturel Pour le r´esoudre, on ´ecrit une fonction g´en´eratrice f(t) = X∞ n=0

Fonction Gamma d’Euler et fonction zêta de Riemann

Fonction Gamma d’Euler et fonction zêta de Riemann François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France 1 Introduction 2 La fonction ( z) Existe-t-il une manière naturelle d’interpoler la fonction factorielle N 3n7 n entre deux entiers net n+ 1 quelconques? La réponse est oui

1 LA FONCTION GAMMA : DEFINITION ET Γ(1)

La fonction Gamma dans tout ses etats 1 La fonction Gamma : d e nition et 0(1) Exercice 1 On note Γ la fonction d´efinie sur ]0;+1[ par la relation Γ(x) = ∫ +1 0 e ttx 1 dt: Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑n k=1 1 k = 1 1 + 1 2 + + 1 n: 1 V´erifier que Γ est bien d´efinie 2 D´emontrer que la fonction Γ est d

Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice

1) Montrer que ceci d´efinit une fonction holomorphe sur l’ouvert donn´e 2) On pose θ(t) = X Z e−πn2t pour t > 0 On rappelle qu’`a l’aide de la formule sommatoire de Poisson, on a montr´e que θ(t) = 1 √ t θ 1 t pour t > 0 On pose θ˜(t) = +X∞ n=1 e−πn2t pour t > 0 Quelle relation fonctionnelle est obtenue pour θ˜ ?

Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student

L’allure de la fonction Gamma est présentée sur la figure suivante La première courbe a été tracée entre 0 01 et 6 La seconde, tracée entre 0 1 et 4 5, montre un peu mieux la vallée Fig 4-1 : Fonction Gamma sur [0 01, 6] (à gauche) et sur [0 1, 4 5] (à droite)

Mémoire de master2 Mathématiques fondamentales La fonction

Il permettra également d’établir des analogies entre les formules données dans les chapitres 1 à 4 Le chapitre 1 est consacré à l’étude de la fonction Gamma D’Euler Après avoir cité trois noms illustres concernant cette fonction (Euler, Gauss, Weierstrass), on introduit la fonction Γ par sa définition sous forme intégrale :

Abstract Nous donnons une brève présentation de la théorie

ment étudiée durant le 19ème siècle Cette fonction véri e aussi l'expression inté-grale suivante : Théorème 2 Si 0

Chapitre 3 LES GAZ PARFAITS : EXEMPLES DE CALCULS DE

28 Les gaz parfaits : exemples de calculs de grandeurs thermodynamiques Supposons que Vreste constant : dV=0 Dèslors,Sest une fonction de Tseulement dont on connaît la dérivée : dS/dT= nCv/T Rappelons que ln(T) est une primitive de 1/T

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INTRODUCTION AUX FONCTIONS SP´ECIALES

Vadim Schechtman

Notes du cours. Automne 2006

Toulouse

1 2

Table de Mati`eres

Leitfaden . . . 3

Prologue. Jardin de fonctions sp´eciales . . . 4

Chapitre I. Fonctions Gamma et Beta

1. Fonctions Γ et. . . 5

2. S´erie de Stirling . . . 16

Chapitre II. Fonction hyperg´eom´etrique de Gauss

1. S´erie hyperg´eom´etrique . . . 20

2. Int´egrale de Barnes . . . 26

3.´Equation de Riemann . . . 28

4. Polynˆomes d"Euler et fonction hyperg´eom´etrique . . . 29

Chapitre III. Fonctions de Whittaker

1. Fonctions de Kummer() . . . 31

2. Fonctions de Whittaker() . . . 33

3. Fonctions d"Hermite . . . 35

Chapitre IV. Fonctions de Bessel

1. Fonctions() . . . 39

2. L"ordre semi-entier . . . 45

3. Fonctions de Macdonald . . . 46

Chapitre V. Fonctions de Legendre

1. Polynˆomes de Legendre . . . 48

2. Fonctions de Legendre . . . 50

3. Fonctions adjointes . . . 52

Chapitre VI.

´Equations de Maxwell et l"´equation d"ondes

1. Des ´equations de Maxwell `a l"´equation d"ondes . . . 53

2. Une solution de l"´equation d"ondes . . . 57

Bibliographie . . . 59

3

LEITFADEN

Jacob BERNOULLI, 1654 - 1705

Leonhard EULER, 1707 - 1783

Jean Baptiste Joseph FOURIER, 1768 - 1830

Johann Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855

Friedrich Wilhelm BESSEL, 1784 - 1846

Charles HERMITE, 1822 - 1901

Leopold KRONECKER, 1823 - 1891

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN, 1826 - 1866

James Clerk MAXWELL, 1831 - 1879

Hermann HANKEL, 1839 - 1873

Heinrich Martin WEBER, 1842 - 1913

Robert Hjalmar MELLIN, 1854 - 1933

Edmund Taylor WHITTAKER, 1873 - 1956

Peter Joseph William DEBYE

(Petrus Josephus Wilhelmus DEBIJE), 1884 - 1966

George Nevill WATSON, 1886 - 1965

4

PROLOGUE

JARDIN DES FONCTIONS SPECIALES

0.1.Toutes les fonctions sp´eciales qu"on va discuter, peuventˆetre ´ecrites sous

une forme de certainsint´egrales d´efinies(oup´eriodes) ou les int´egrales curvilignes (le long d"un contour).

On peut les diviser en deux classes:

la premi`ere classe, deux facteurs sous int´egrale: 2

1(1)(2)la fonction() (beta) d"Euler

Cas d´eg´en´er´e, ou cas limite:

()la fonction Γ() (gamma)

0.2.La deuxi`eme classe, trois facteurs sous int´egrale:

j i(1)(2)(3)fonction hyperg´eom´etrique de Gauss(;)

Cas particuliers:

polynˆomes de Jacobi; fonctions (polynˆomes) de Legendre

Cas limite:

(1)(2)fonctions de Whittaker() oufonctions hyperg´eom´etriques confluentes.

Cas particuliers:

polynˆomes deLaguerreet polynˆomes d"Hermite. Ces fonctions satisfont`a une ´equation diff´erentielle d"ordre2 par rapport `a. Ils sont li´ees ´etroitement aux representations des groupes2(R) et2(C). 5

CHAPITRE I. FONCTIONS GAMMA ET BETA

1. FonctionsΓet

1.0. `A la place d"une introduction. La m´ethode d"une fonction g´en´eratrice. Consid´erons, avec Euler, le probl`eme suivant: d´efinir une fonction Π() C, telle que Π() =! pournaturel. Pour le r´esoudre, on ´ecrit une fonction g´en´eratrice =0 =0

Par la formule de Cauchy,

1

Π()=12

(0+)()+1=1Π()=12 (0+) 1

Ici (0+) d´esigne un circle

(0+) =02

Donc on peut essayer de d´efinir

1

Π()=12

(0+) 1 C Il faut faire attention quand mˆeme, puisque la fonction1est multiforme. Ce sujet sera r´epris plus tard, cf. 1.15 ci-dessous.

1.1.On d´efinit:

0

1(111)

()0. Plus pr´ecisement, (1.1.1) d´efinit Γ() comme une fonctioon holomorphe dans le demi-plan()0. Exercice.Montrer que Γ(+ 1) =Γ() et Γ() = (1)! siN. Ceci permet de prolonger Γ() en une fonction meromorphe surC, avec des poles simples en= 012, cf. 1.7 ci-dessous.

En effet, on a:

Γ(++ 1) = (+)(+1)Γ()

ou

Γ() =Γ(++ 1)

(+)(+1) 6et

Γ(++ 1) = 1 +(+)

d"o`u

Γ() =(1)

!(+)+(1) i.e. Γ() a en=un pˆole simple avec le r´esidu Res =Γ() =(1) !(112)

1.2.La fonctionBetad"Euler est d´efinie par

1 0

1(1)1()()0

1.3.Th´eor`eme.

D´emonstration, cf. [Jacobi]. On a

0 0 11 On fait le changement de variables+= =, donc 0 , 01 et =+ =+ = (1) donc=(ori´entations: () et ()). Il s"en suit: 1 0 1(1)1 0 +1=()Γ(+)

1.3.1.Exercice.Montrer que

i0;Pi1 =1 r11=Γ(1)Γ()

Γ(1+++ 1)

(Dirichlet). Ici tous0. Cf. [WW], 12.5.

1.4.Exercice.Calculer Γ(12).

Solution.On a

Γ(12)2=Γ(12)Γ(12)

Γ(1)=(1212)

Par d´efinition,

(1212) = 1 0

12(1)12=

7 (=2) = 2 1 0

12= 2arcsin 1 =

d"o`u

Γ(12) =

0 12=

On remarque que

0 12= 2 0 2= 2 donc 2=quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2