Dynamique dans un ref erentiel non galileen

Moment of Inertia & Rotational Energy Physics Lab IX Objective In this lab, the physical nature of the moment of inertia and the conservation law of mechanical

Chapitre 8 Dynamique du point en réfé- rentiel non Galiléen

Remarque 8 3 La force d’inertie d’entraînement dérive-t-elle d’une énergie potentielle? La réponse dépend en fait du type de mouvement de R0 par rapport à R Dans les deux cas les plus classiquement étudiés correspondant à une rotation uniforme (le ”plateau tournant”)

Physique - Dunod

On peut déterminer cette force en deux étapes : La force fait intervenir k( − 0) Déterminer avec le schéma Rajouter un vecteur unitaire (ici u y) et déterminer le signe devant k Ici, il faut bien mettre un signe + car si le ressort est étiré, la force est dirigée vers le haut avec une projection positive sur uy

Dynamique dans un ref erentiel non galileen

supposera que la vitesse de rotation est constante, donc que d =R =~ dt =~0 ( 1) À ce mouvement de rotation s’ajoute le mouvement de révolution de la Terre autour du centre d’inertie du système solaire, c -à-d le mouvement de O0dans le référentiel de Copernic Soit M un point proche de la surface terrestre

Référentiels non galiléens

e est la «force d’inertie» d’entraînement – F c= ma est la «force d’inertie» de Coriolis • Ces pseudo-forces sont dites «d’inertie» car elles sont proportion-nelles à la masse 1On rappelle qu’il s’agit du référentiel lié au centre de masse du système solaire, dont les axes pointent vers 3 étoiles «ﬁxes» A

Référentiels non galiléens Notes de cours

On dé nit la force de marée comme la somme de l'attraction gravitationnelle de Aet de la force d'inertie d'entraînement exercée sur une particule de masse mà la surface de la erreT (de l'eau par exemple) Montrer que l'e et de la force de marée est de générer deux "bourrelets" d'eau à la surface du globe terrestre

Vent-Force de Coriolis - Hautetfort

de la dépression Si de l'air suit une isobare, il s'ajoute alors une force centrifuge (ou « force d'inertie d'entraînement ») due à la rotation de l'air autour du centre Le bilan des forces montre alors que les masses d'air prennent une trajectoire circulaire dans le sens contraire des

Simulation and Analysis of Roller Chain Drive Systems

continuous contact force method is developed in this work The model of the contact surface between the rollers and sprocket has shown to be an important issue regarding the numerical stability of the simulation program and a model with a real tooth proﬁle proves superior to other applied models With this model it is possible to perform a

ROTATION PARFAITE - TÜNKERS Maschinenbau GmbH

force axiale dynamique F A dyn dynamic axial force 2 200 N force radiale dynamique F R dyn dynamic radial force 10 000 N couple de sortie statique M ab stat static output torque 1 500 Nm * la combinaison de charges devra faire l’objet d’une validation par SOPAP Automation * combined loads only after consultation with SOPAP Automation TSH

[PDF] force d'inertie psychologie

[PDF] force d'inertie unité

[PDF] exercice electrostatique corrigé pdf

[PDF] balance de torsion de coulomb

[PDF] loi de coulomb exercices corrigés 1ere s

[PDF] force de laplace cours pdf

[PDF] loi de laplace magnétisme

[PDF] loi de laplace formule

[PDF] force de laplace exercices corrigés pdf

[PDF] force de lorentz exercice corrigé

[PDF] loi de laplace pdf

[PDF] force de laplace

[PDF] induction(correction exercice)

[PDF] propulsion fusée quantité de mouvement

[PDF] propulsion par réaction

Chapitre VIII

Dynamique dans un r´ef´erentiel non

galil´een

VIII.a. Forces d"inertie

SoientRun référentiel galiléen etR0un référentiel non galiléen. On rappelle que aM=R=~aM=R0+~ae+~aC; où ae=~aO0=R+d=R~

R0=Rdt!O0M+~

R0=R(~

R0=R!O0M)

est l"accélération d"entraînement et aC=2~

R0=R~vM=R0

est l"accélération de Coriolis.

Pour un point matérielMde massemsoumis à des forces de résultante~F!M, on a, d"après la 2eloi

de Newton,~F!M=m~aM=R: On obtient ainsila relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen, m ~aM=R0=~F!M+~fe+~fC; où ~fe=m~ae est laforce d"inertie d"entraînementet ~fC=m~aC est laforce d"inertie de Coriolis.Z

Tous les théorèmes énoncés pour des référentiels galiléens sont valables pour des référentiels non

galiléens à condition d"ajouter les forces d"inertie ( ~feet~fC) aux forces dues à des interactions (~F).

Par exemple, siAest un point fixe dansR0, le théorème du moment cinétique pour un système de

points matériels s"énonce d =R0~LA=R0dt=X j!

AMj(~Fext!j+~fe;j+~fC;j);

où ~LA=R0=P jmj!AMj~vj=R0,~fe;j=mj~ae;j, etc..

Il est inutile de tenir compte des forces d"inertie de Coriolis dans le théorème de l"énergie cinétique

car (W[~fC])=R0=~fC~vM=R0dt=2m(~ R0=R~vM=R0)~vM=R0| {z }

0dt=0:

87
Michel FiocDynamique des systèmesVIII.b. Application au référentiel terrestre

SoitR=(O;~ux;~uy;~uz) un référentiel galiléen, par exemple le référentiel de Copernic, dont l"origine

Oest le centre d"inertie du système solaire.

NotonsR0=(O0;~ux0;~uy0;~uz0) leréférentiel terrestre, c.-à-d.un référentiel (non galiléen) lié à la Terre.

Prenons le centre de la Terre comme origineO0et (O0z0) selon l"axe de rotation de la Terre.

Leréférentiel géocentriqueest le référentiel barycentrique de la Terre, (O0;~ux;~uy;~uz). La Terre tourne

sur elle-même à la vitesse angulaire

R0=R(notée~

par la suite) dans le référentiel géocentrique. On supposera que la vitesse de rotation est constante, donc que d =R~ =dt=~0(1). À ce mouvement de rotation s"ajoute le mouvement de révolution de la Terre autour du centre d"inertie du système solaire, c .-à-d.le mouvement deO0dans le référentiel de Copernic. SoitMun point proche de la surface terrestre. Notonsrsa distance au centre de la Terre,sa

longitude etsa colatitude. Nous utiliserons également les coordonnées cylindriques deM: sa distance

à l"axe de rotation,; son angle polaire,; et sa cote,z0. Le mouvement d"un pointMde massemdans le référentiel terrestre est déterminé par m ~aM=R0=~F!Mm(~aO0=R+~ !O0M])m(2~ ~vM=R0):

On peut décomposer

~F!Men plusieurs termes : la force gravitationnelle exercée par la Terre surM,~FT!M;

les forces gravitationnelles exercées par les autres corps, principalement le Soleil (S) et la Lune

(L) :~FS!Met~FL!M;

toutes les autres forces,~Fautres!M.

On obtient

m ~aM=R0=~FT!Mm~ !O0M) (pesanteur) 2m~ ~vM=R0(force de Coriolis) ~FS!M+~FL!Mm~aO0=R(force de marée) ~Fautres!M:

VIII.b.1. Force de pesanteur

Supposons dans une première approximation le référentiel géocentrique galiléen (c .-à-d.~aO0=R=~0)

et négligeons les forces exercées par le Soleil et la Lune. Faisons en outre l"hypothèse que la vitesse

deMdansR0est susamment faible pour que l"on puisse négliger la force de Coriolis.

On a alors

m ~aM=R0=~FT!M+~Fautres!Mm~ !O0M): Supposons la Terre sphérique. NotonsMTsa masse etRson rayon. On arRet

FT!M=GMTmR

2~ur=m g0~ur;

où g

0=GMTR

Par ailleurs,

~uz0et!O0M=~u+z0~uz0, d"où !O0M)= ~uz0( ~uz0[~u+z0~uz0])

2~uz0~u=

2~u=R

2cos~u;

où==2est la latitude.

On obtient finalement

~aM=R0=m~g+~Fautres!M;1. La direction de l"axe de rotation de la Terre tourne en fait autour de l"axe perpendiculaire à l"écliptique avec une période

d"environ 26000 ans (phénomène deprécession des équinoxes); l"étoile Polaire (à1du pôle Nord actuellement) ne

méritera donc plus son nom dans quelques milliers d"années. À plus longue échelle, la rotation de la Terre ralentit à cause des marées. 88
Chapitre VIII. Dynamique dans un référentiel non galiléen où g=g0~ur+R

2cos~u:

L"accélération de la pesanteur comprend donc un terme dominant dû à l"attraction de la Terre, dirigé

vers le centre de la Terre, et un terme correctif dû à la force centrifuge, perpendiculaire à l"axe des pôles

et dirigé vers l"extérieur. Le terme centrifuge est nul aux pôles (==2) et est maximal à l"équateur (=0). La verticale, c

.-à-d.la direction de~g, n"est rigoureusement dirigée vers le centre de la Terre qu"à l"équateur (on a

alors ~u=~ur). Aux pôles, la normeg() de~gvautg(=2)=g0. À l"équateur,g(0)=g0R

2 En fait, la Terre ressemble à un ellipsoïde aplati aux pôles (2): la distance des pôles au centre de la
Terre est inférieure d"environ 1=300 à celle de l"équateur au centre de la Terre, d"oùg0(=2)>g0(0).

La diérence entreg(=2) etg(0) est donc supérieure à celle donnée par le calcul précédent.

VIII.b.2. Déviation vers l"est
SiMn"est pas immobile dansR0, on doit tenir compte de la force de Coriolis. Étudions le cas où Ma un mouvement vertical vers le bas (:r<0,:0,:0). On a alors vM=R0:r~ur et ~fC=2m~ ~vM=R0=2m ~uz0:r~ur: Or, uz0=cos~ursin~u; d"où~fC=2m :r(cos~ursin~u)~ur=2m :rcos~u: Comme :r<0, la force de Coriolis est dirigée selon~u:Mest donc dévié vers l"est.
VIII.b.3. Marées
Nous tenons ici compte de l"attraction exercée par le Soleil et la Lune. On ajj
FS!M=GMSm!
SM2! SMk !SMket~FL!M=GMLm! LM2! LMk !LMk: Par ailleurs, en appliquant le théorème du centre d"inertie à la Terre, on obtient M
T~aO0=R=~FS!T+~FL!T=GMSMT!
SO02! SO0k !SO0kGMLMT! LO02! LO0k !LO0k=GMSMTD 2S~ uS+GMLMTD
2L~uL;
où
~uS(resp.~uL) est un vecteur unitaire dirigé du centre de la Terre vers le Soleil (resp.la Lune), et
D S(resp.DL) est la distance entre le centre de la Terre et le Soleil (resp.la Lune). CommeDSR, !SM=k!SMk ~uS. De même,DLR, donc!LM=k!LMk ~uL.
On en déduit que

FS!M+~FL!Mm~aO0=R=Gm
M S" 1! MS21D 2S# uS+ML" 1! ML21D 2L# uL!
NotonsS=(~uSb;~u) etL=(~uLb;~u). On a

ML2=!MO0+!O0L

2=!MO02+!O0L2+2!MO0!O0L=R2+D2L2R DLcosL:2. Cet aplatissement résulte d"ailleurs de l"eet sur la Terre, lorsqu"elle se formait et n"était pas encore rigide, de la force
centrifuge due à sa rotation. 89

Michel FiocDynamique des systèmesUn développement limité au premier ordre enR=DLde 1=!ML2nous donne
1!
ML2=1D

2L112RcosL=DL+R2=D2L1D
2L
1+2RcosLD
L
On obtient donc que
Gm ML 1! ML21D 2L! uL=2Gm MLRcosLD 3L~ uL:
De même,
Gm MS 1! MS21D 2S! uS=2Gm MSRcosSD 3S~ uS:
Les termes de marée sont donc en 1=D3. C"est pourquoi, alors que l"attraction due au Soleil est bien

supérieure à celle de la Lune, le terme de marée d"origine solaire est deux fois plus faible que le terme
lunaire.
Les marées tendent à éloignerMdu centre de la Terre et sont maximales, en première approximation,

pour les points sur l"axe passant par le centre de la Terre et la Lune. N"étant pas rigides, les océans

sont bien plus sensibles aux marées que les continents. Ils tendent à prendre la forme d"un ellipsoïde

dont le grand axe est aligné avec la Lune : les points àL=0 ousont à marée haute (pleine mer);

ceux àL==2 ou 3=2 sont à marée basse (basse mer). À cause de la rotation de la Terre, chaque
point d"un océan subit deux pleines mers et deux basses mers par jour (3).
Si la Terre, la Lune et le Soleil sont alignés, l"eet du Soleil s"ajoute à celui de la Lune : on parle

alors de marées de vives eaux (coecient de marée maximal); les marées hautes sont particulièrement

hautes, les marées basses particulièrement basses. À l"inverse, quand la Terre, la Lune et le Soleil sont
en quadrature (( ~uLb;~uS)==2), l"eet du Soleil s"oppose à celui de la Lune : on parle alors de marées
de mortes eaux (coecient de marée minimal); l"amplitude des marées est alors faible. En raison de

la révolution de la Lune autour de la Terre, il y a typiquement deux périodes de vives eaux (à la pleine

Lune et à la nouvelle Lune) et deux périodes de mortes eaux (aux premier et dernier quartiers) par

mois.3. En fait, à cause de la révolution de la Lune autour de la Terre, la période du phénomène est en moyenne de 24 h 52 min.

En outre, les océans mettant un certain temps à réagir, la marée haute se produit généralement après le passage de la

Lune au méridien. Enfin, ce modèle ne décrit pas correctement la réalité près des côtes ou dans les mers fermées et les
baies. 90
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] Dynamique dans un ref erentiel non galileen

Chapitre VIII

Dynamique dans un r´ef´erentiel non

VIII.a. Forces d"inertie

R0=Rdt!O0M+~

R0=R(~

R0=R!O0M)

R0=R~vM=R0

AMj(~Fext!j+~fe;j+~fC;j);

0dt=0:

Oest le centre d"inertie du système solaire.

R0=R(notée~

On peut décomposer

toutes les autres forces,~Fautres!M.

On obtient

VIII.b.1. Force de pesanteur

On a alors

FT!M=GMTmR

2~ur=m g0~ur;

0=GMTR

Par ailleurs,

2~uz0~u=

2cos~u;

On obtient finalement

2cos~u:

VIII.b.2. Déviation vers l"est

VIII.b.3. Marées

FS!M=GMSm!

T~aO0=R=~FS!T+~FL!T=GMSMT!

2L~uL;

On en déduit que

FS!M+~FL!Mm~aO0=R=Gm

NotonsS=(~uSb;~u) etL=(~uLb;~u). On a

ML2=!MO0+!O0L

2=!MO02+!O0L2+2!MO0!O0L=R2+D2L2R DLcosL:2. Cet aplatissement résulte d"ailleurs de l"eet sur la Terre, lorsqu"elle se formait et n"était pas encore rigide, de la force

ML2=1D

2L112RcosL=DL+R2=D2L1D

1+2RcosLD

On obtient donc que

De même,

toutes les autres forces,~Fautres!M.