[PDF] Partie I Introduction Exemples

La fonction exponentielle complexe

La fonction exponentielle complexe La fonction exponentielle x → ex est d’une grande importance en analyse r´eelle Nous allons introduire ici diff´erentes g´en´eralisations de cette fonction au cas complexe et voir les analogies mais aussi les diff´erences, entre les exponentielles r´eelles et complexes Cette introduction est

Forme exponentielle dun nombre complexe

Da forme exponentielle est donc j=ei 2π 3 Formule du cours Dans le cours, il y a la formule ¡ eix ¢n =einx valable pour tout x ∈R et n N On en déduit : a) j3 = ³ ei2 π 3 ´3 ei(2 3 ×3) =ei2π 1 b) j2 = ³ ei2π 3 ´)2 ei4π 3 =ei(4π 3 −2π) e−i2π 3 =j Forme exponentielle d’un nombre complexe

I) LA FORME EXPONENTIELLE D’UN COMPLEXE NON NUL

Soit =[ ,????] un complexe non nul, on a : = ( ????+ ????)= ???????? Cette écriture s’appelle la forme exponentielle du complexe non nul ???? 1 2 Conséquence de la notation : Tous les résultats qu’on a vus au paravent concernant les modules et les arguments des nombres complexes non nuls

Partie I Introduction Exemples

l’exponentielle complexe Donner un argument de x +i 2 Montrer que (x,y) ∈ Cm ⇔ (x +i)m(y +i)e−i π 4 ∈ R 3 Montrer que π 4 = 2arctan 1 2 − arctan 1 7 4 Formule de Dodgson2 Soit p, q, r trois r´eels positifs tels que 1+p2 = qr Montrer que arctan 1 p = arctan 1 p+r +arctan 1 p+q Partie II Etude d’une famille de polynomes´

Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules trigonom

e est la fonction exponentielle Exercice 4 1 5 Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1−i, i et −1 Notations on ´ecrit que 2 r´eels x et y sont ´egaux modulo 2π x ≡ y[2π] s’il existe k ∈ Z tel que x = y +2kπ Th´eor`eme 4 1 2 Deux nombres complexes non nuls sont ´egaux ssi ils ont mˆeme module et

Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle

Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle Terminale S 6 SAES Guillaume Propriété : Une variable aléatoire ???? suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : Pour tous réels et ℎ positifs, ????????≥????(???? R +ℎ)=????(???? Rℎ)

Les nombres complexes - Partie II

nombres 0 et 1, le tout dans une formule simple et élégante Elle fait intervenir les 5 constantes les plus fondamentale des mathématiques : C'est l'identité d'Euler Fondamental Tout complexe non nul z s'écrit donc où Notation exponentielle 15

Nombres complexes - mathematiqueselodiebouchetfr

On appelle nombre complexe tout élément zpouvant s'écrire sous la forme z= a+ib; avec (a;b) un couple de réels et iune solution de l'équation i2 = 1 L'ensemble des nombres complexes est noté C Dé nition (Nombre complexe) L'écriture du nombre complexe zsous la forme z= a+ ibavec aet bdes réels est appelée l'écriture algébrique de z

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Corrig´e (DSN°5)- Probl`eme (Formule de Machin)

´Enonc´e

L"objet de ce probl`eme est de pr´esenter la formule de Machin

1et quelques

r´esultats autour.π

4= 4arctan15?arctan1239

On obtiendra diverses formules faisant intervenir des arctan d"inverses de nombres. En particulier, une formule du type Machin est de la forme marctan1 x+ arctan1yπ4modπ avecm,x,yentiers.

Partie I. Introduction. Exemples

Pour tout entier naturel non nulm, on appelleml"ensemble des couples de r´eels non nuls (x,y) tels que marctan1 x+ arctan1yπ4(π)

1. Pourxr´eel non nul, on poseα= arctan1

x. Exprimerx+i`a l"aide deαet de l"exponentielle complexe. Donner un argument dex+i.

2. Montrer que

(x,y) m(x+i)m(y+i)eiπ 4R

3. Montrer que

4= 2arctan12?arctan17

4. Formule de Dodgson

2 Soitp,q,rtrois r´eels positifs tels que 1 +p2=qr. Montrer que arctan 1 p= arctan1p+r+ arctan1p+q

Partie II.

´Etude d"une famille de polynˆomes

Pourxr´eel etmentierpositif, on note respectivementAm(x) la partie r´eelle et B m(x) la partie imaginaire de de (x+i)m. On d´efinit ´egalementFmpar : F m(x) =Am(x) +Bm(x)

Am(x)?Bm(x)

1. CalculerAk(x) etBk(x) pourk 1,2,3,4. Pr´esenter les r´esultats dans un

tableau.

2. Montrer que

A m+1(x) =xAm(x)?Bm(x) B m+1(x) =Am(x) +xBm(x)

1. John Machin (1680 - 1752). Grˆace `a cette formule, en 1706, Machin est le premier

math´ematicien `a calculer 100 d´ecimales deπ.

2. plus connu pour son oeuvre litt´eraire sous le pseudonyme Lewis Carrol

http://mathscpge.wordpress.com 1 M.SAHROURDI Corrig´e (DSN°5)- Probl`eme (Formule de Machin)

Am(?x) =(?1)mAm(x)

B m(?x) =?(?1)mBm(x) A m(x) =mAm1(x) B m(x) =mBm1(x) (AmetBmsont les d´eriv´ees deAmetBm) simet pair A m(x) =(?1)m

2xmAm(?1x)

B m(x) =(?1)m

2xmBm(?1x)

simet impair A m(x) =(?1)m-1

2xmBm(?1x)

B m(x) =?(?1)m-1

2xmAm(?1x)

3. Pour un entiermfix´e, d´eterminer les solutions deAm(x) =Bm(x). Quelle est

la plus grande de ces solutions?

4. Montrer que la fonctionFmest d´ecroissante dans chaque intervalle de son

domaine de d´efinition. Quelle est la limite deFmen +et en??

Partie III. Les formules du type Machin

On se propose de trouvertoutesles formules du type Machin pourmentier entre

1 et 4.

1. Montrer que (x,y) msi et seulement si

A m(x)=Bm(x) ety=Fm(x)

2. Des calculs num´eriques conduisent aux tableaux suivants :

m cotanπ4m 11

22.414

33.732

45.027x

F1(x)F2(x)F3(x)F4(x)

1-1.0.1.

23.-7.-1.444-.5484

32.7.-5.500-1.824

41.6673.28619.80-5.076

51.5002.4295.111-239.0

`A partir de ces tableaux, former (en justifiant soigneusement) toutes les for- mules du type Machin pourmentier entre 1 et 4.

Corrig´e

Partie I

1. Exprimons d"abordxpuisx+i:

α= arctan1

xx=cosαsinαx+i=1sinαeiα http://mathscpge.wordpress.com 2 M.SAHROURDI Corrig´e (DSN°5)- Probl`eme (Formule de Machin) Deux expressions sont possibles pour les arguments dex+i. x >0α]0,π

2[sinα >0 :αest un argument dex+i

x <0α]?π

2,0[sinα <0 :α+πest un argument dex+i

Dans les deux cas,αest congru modulo 2π`a un argument dex+i.

2. Posonsβ= arctan1

y. Un calcul analogue `a celui de la question pr´ec´edente conduit `a : (x+i)m(y+i)eiπ

4=1sinmαsinβei(mα+βπ

4) Ce nombre complexe est r´eel si et seulement si mα+β?π

40 (π)

3. On calcule (2 +i)2(?7 +i) et on trouve?25(1 +i). On en d´eduit la formule

demand´ee moduloπ. Pour lever cette ambiguit´e "`aπpr`es", on remarque que

0

7 donc

0

2?arctan17<π4

0

2<π4

La somme est donc bien entre 0 et

4.

4. En developpant et en utilisantrq?1 =p2, on obtient

(p+r+i)(p+q+i) = (2p+q+r)(p+i) L"´egalit´e en d´ecoule `a un multiple deπpr`es. De plus, les deux membres de l"´egalit´e sont entre 0 etπ, ils sont donc forc´ement ´egaux.

Partie II

1. En utilisant des formules du binome et en s´eparant les parties r´eelles et ima-

ginaires, on obtient m 1234

Amxx2?1x3?3xx4?6x2+ 1

Bm12x3x2?14x3?4x

2. Il s"agit de s´eparer les parties r´eelles et imaginaires de

A m+1+iBm+1= (Am+iBm)(x+i)

On obtient :

A m+1=xAm?BmBm+1=Am+xBm http://mathscpge.wordpress.com 3 M.SAHROURDI Corrig´e (DSN°5)- Probl`eme (Formule de Machin) Ici encore, on s´epare les parties r´eelles et imaginaires apr`es quelques manipu- lations simples : A m(?x) +iBm(?x) = (?x+i)m= (?1)m(x?i)m= (?1)m (x+i)m = (?1)m(Am?iBm)

On en d´eduit :

A m(?x) = (?1)mAm(x)Bm(?x) =?(?1)mBm(x)

Cette fois on d´erive

(Am+iBm)=m(x+i)m1 A m=mAm1Bm=mBm1

Pourx= 0, on fait apparaitre1

x (x+i)m= (ix)m1 i+1x m = (?ix)m i+1x m

Simest pair :

(?i)m= (?1)m 2A m(x) = (?1)m

2xmAm(?1x)

B m(x) = (?1)m

2xmBm(?1x)

Simest impair :

(?i)m=?(?1)m-1 2i (x+i)m= (?1)m+1 2i A m(?1x) +iBm(?1x) m = (?1)m-1 2 B m(?1x)?iAm(?1x) m A m(x) = (?1)m-1

2xmBm(?1x)

B m(x) =?(?1)m-1

2xmAm(?1x)

3. En utilisantarctanpour exprimer un argument dex+i, on peut ´ecrire une

suite d"´equivalences : A m(x) =Bm(x)π

4un argument de (x+i)mmod (π)

marctan1 xπ4mod (π)arctan1xπ4mmod (π4m)

On en d´eduit que l"ensemble des solutions est

cotanπ

4m+kπm

, k 0,,m?1

Tous les

(4k+1)π

4msont dans ]0,π[. La fonction cotan est d´ecroissante dans cet

intervalle. Donc la plus grande des solutions est cotan 4m http://mathscpge.wordpress.com 4 M.SAHROURDIquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12