Exercices – M´ecanique PTSI Forces centrales conservatives M7
2011-2012 Exercices – M´ecanique PTSI Forces centrales conservatives M7 ☎ Ex-M7 1 Point mat´eriel tir´e par une corde (*) Un palet P de masse M glisse sans frottement sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d’un trou a l’origine O Sa positionest rep´er´eepar lescoordonn´eespolaires r et θ, d’axe (Oz)
exos20 force centrale - Romain Planques Physique MPSI
Romain Planques – Sciences Physiques – MPSI – Lycée Thiers 1 Feuille d’exercices n°20 : Mouvement à force centrale Données pour l’ensemble des exercices : Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10-11 m3 s-2 kg1 Masse de la Terre 24: M T = 6,0 10 kg Rayon de la Terre : R T = 6,4 103 km
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives page 4/5 r > r min , ´etat de diffusion, M ne peut pas s’approcher du centre de force a une distance inf´erieure a` r min , cette position extrˆeme s’appelle le p´ericentre
Mécanique7–Travauxdirigés Langevin-Wallon,PTSI2017-2018
Mécanique7–Travauxdirigés Langevin-Wallon,PTSI2017-2018 Mouvements dans un champ de force central et conservatif Donnée pour tous les exercices : constantedegravitationG= 6,67 ·10−11 m3 ·kg−1 ·s−2
Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives
MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 07 Forces centrales ds - 20 février 2012 page 3 / 8 Remarque la loi des aires est vraie pour tout mouvement à force centrale quelle que soit la loi de force et donc la trajectoire II 2 Energie II 2 1 Conservation Par hypothèse, l'unique force subie par M est une force centrale conservative Donc l'énergie
Mécanique 2 TD-M22-Forces centrales - Physagreg
TD M22 : Forces centrales Exercice 1 : établissement de l’équation de la trajectoire par la conservation de l’énergie mécanique E M = 1 2 mr 2 + mC2 2r2 + K r (1)
EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI
EXERCICES ET PROBLÈMES PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI HPRÉPA PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI Jean-MarieBRÉBEC TaniaCHABOUD Chapitre 6 Forces centrales conservatives
Physique MPSI PTSI méthodes et exercices
méthodes et exercices MPSI PTSI Corrigés des exercices 407 CHAPITRE16 FORCES CENTRALES le système et le référentiel et établi un bilan des forces Cf
FORCESCENTRALESETGRAVITATION:CORRECTIONS
Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014 exprimer l’énergie en fonction des paramètres du mouvement : Em ˘ 1 2 mv2 P ¡m r2 pv 2 P qrP ˘ 1 2 mv2 P µ 1¡ 2rp q ¶ ˘ 1 2 mv2 P µ 1¡e 1¯e ¶) m ˘ 2Em v2 P 1¯e 1¡e iOn peut remarquer au passage que le signe de l’énergie mécanique totale est dé-terminé
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2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI
?Forces centrales conservativesM7 ???Ex-M7.1Point mat´eriel tir´e par une corde (*)Un paletPde masseMglisse sans frottement
sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d"un trou `a l"origineO. Sa position est rep´er´ee par les coordonn´ees polaires retθ, d"axe (Oz). L"exp´erimentateur lance le palet, `a la distancer0du pointO, avec une vitesse initiale orthoradiale-→v(0) =v0-→eθ(t=0)(on prendraθ(t= 0) = 0), et
tire sur le fil de fa¸con `a rapprocher r´eguli`erement le palet du pointO:r(t) =r0-V t. Or F z x y P r 0θ P0 v0 On admet que la force exerc´ee par le fil (qui reste toujours tendu) surPest-→T=-F-→er.1)Montrer que la vitesse angulaire du palet s"´ecritω=θ=r0v0
(r0-V t)2. En d´eduire l"´evolution de la force -→Fqu"il faut exercer pour r´ealiser cet objectif. Commenter.2)Calculer directement le travail de traction fourni par cet op´erateur s"il fait passer la distance
du mobile `a l"axe de la valeurr0`a la valeurr1. Retrouver ce r´esultat par une m´ethode ´energ´etique.
R´ep : 1)F=Mr20v20
(r0-V t)3; dont-→T=-MC2r3-→er=-dEpdravecEp=-MC22r2+??Cte(avec E p(∞) = 0 etC=r0v0la constante des aires);2)W0→1(-→F) =Mr20v20 2?1r21-1r20?
???Ex-M7.2Force centrale en1/r3(**, `a chercher apr`es avoir travaill´e le reste) Un point mat´erielMde massemest soumis, dans un r´ef´erentiel galil´eenR, `a une force d"expression-→F=-a r3-→eren coordonn´ees sph´eriques de centreO,a´etant une constante po- sitive.`A l"instant initial,Mest `a la positionM0telle que---→OM0=r0-→ex, avec une vitesse-→v0=v0(cosα-→ex+ sinα-→ey).
1)Montrer que le mouvement est plan et d´eterminer le plan de latrajectoire.
2)Montrer que la force-→Fest une force conservative. En d´eduire l"´energie potentielleEp(r) dont
elle d´erive (on prendreEp(∞) = 0)). D´eterminer l"expression de l"´energie potentielle effective
E p,effcompte tenu des conditions initiales.3)r0´etant donn´e, indiquer la condition surv0pour que le syst`eme soit dans un ´etat de diffusion.
4)La particule est dans un ´etat de diffusion etα=π
2. a)´Etablir que r=r0v0
r2drdθ. En d´eduire quer=-r0v0u?θavecu(θ) =1r(θ)etu?θ=dudθ. b)Exprimer la conservation de l"´energie m´ecanique en fonction de la variableuet deu?θ.En d´eduire queuv´erifie l"´equation :
u??θ+η2u= 0 avecη=?1-amr20v20. c)D´eterminer l"´equation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales. d)Donner l"allure de la trajectoire pourη= 0,1,θ0= 0 etr0= 1m.Solution Ex-M7.2
1)La force est centrale de centre de forceO. LeT.M.C.pourM´evalu´e enOdans le r´ef´erentiel
Rs"´ecrit :?d---→LO/R(M)
dt? R =MO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 , soit---→LO/R(M) =-→Cte, d"expression : LO/R(M) =?
LO/R(M0) =r0-→ex×mv0(cosα-→ex+ sinα-→ey) =mr0v0sinα-→ez--→OM×---→vM/R=r-→er×(r-→er+rθ-→eθ) =mr2θvez=mC-→ez
avecC=r2θ=r0v0sinα, laconstante des aires.
PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012
Le vecteur position--→OMest orthogonal `a tout instant `a-→LO, donc `a-→ez, direction fixe de l"espace :
la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)?-→ez.2)Lors d"un d´eplacement ´el´ementaire deM, le travail de la force-→Fest :δW=-a
r3ver?(d-→er+ rd-→er) =-a r3dr=-dEp, avecEp=-a2r2(en choisissant l"´energie potentielle nulle `a l"infini).ThmEm: dEm=δWNC= 0, soit
Em=Cte:le syst`eme est conservatif.
Le syst`eme{M,m}a pour ´energie m´ecanique : E m=Ek+Ep=12mv2M/R+Ep(r) =12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =12mr2
E k,r+ 12mC2r2+Ep(r)
E p,eff(r) D"o`uEp,eff(r) =12mC
2r2+Ep(r) =mr20v20sin2α-a2r2
3)L"´energie potentielle s"annule `a l"infini. Le syst`eme est donc dans un´etat de diffusionsi son
´energie m´ecanique est positive, ce qui se traduit par : E m=Cte=Em(0) =12mv20-a2r20>0?v0>?a
mr204.a)Comme la constante des aires s"´ecrit :C=LO
m=r2θ=r0v0sinα=r0v0pourα=π2, on a : r=dr dθθ=r0v0r2? drdθ?Commeu?θ=d?1
r? dθ=-1r2drdθ,on a :drdθ=-r2u?θ?Soit :
r=-r0v0u?θAlorsEm=Ek,r+Ep,eff=1
4.b)PuisqueEm=Cteen d´erivant---------→par rapport `aθ0 =mr20v20u??θ.u?θ+ (mr20v20-a)u.u?θ
Comme le casu?θ= 0 ne nous int´eresse pas (on ´etudie le mouvement deM), on obtient : u 1-a mr20v20? u= 0?u??θ+η2u= 0avecη=?1-amr20v20Rq :ηest bien d´efini puisque 1-a
mr20v20>0 d"apr`es la condition sur la vitesse ´etablie en3).4.c)La solution g´en´erale de l"´equation est :u(θ) =Acos(ηθ) +Bsin(ηθ)
`At= 0,θ0= 0 (puisque---→OM0=-→0 ), donc-→er(0) =-→ex,-→eθ(0) =-→ey
Soit -→v0=?v0-→ey r(0)-→er+r0θ(0)-→eθ= r(0)-→ex+r0θ(0)-→eyDonc : r(0) = 0 =-r0v0u?(θ0) (d"apr`es4.a)).
D"o`u???u(0) =1
r0=A uθ(0) = 0 =-Bη
Cl :u(θ) =1
r0cos(ηθ)?r=r0 cos?θ?1-amr20v20?4.d)±202468
±6 ±4 ±2 2
?Applications directe du coursM7 ???Ex-M7.3´Etat de diffusion et ´etat li´e1)Un ´electron de vitessev0= 4.103m.s-1se trouve `a une distancea= 10nmd"un proton.
Peut-il y avoir formation d"un atome d"hydrog`ene? (´etat li´e) (on v´erifiera que l"´energie potentielle