Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

2011-2012 Exercices – M´ecanique PTSI Forces centrales conservatives M7 ☎ Ex-M7 1 Point mat´eriel tir´e par une corde (*) Un palet P de masse M glisse sans frottement sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d’un trou a l’origine O Sa positionest rep´er´eepar lescoordonn´eespolaires r et θ, d’axe (Oz)

exos20 force centrale - Romain Planques Physique MPSI

Romain Planques – Sciences Physiques – MPSI – Lycée Thiers 1 Feuille d’exercices n°20 : Mouvement à force centrale Données pour l’ensemble des exercices : Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10-11 m3 s-2 kg1 Masse de la Terre 24: M T = 6,0 10 kg Rayon de la Terre : R T = 6,4 103 km

Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives page 4/5 r > r min , ´etat de diﬀusion, M ne peut pas s’approcher du centre de force a une distance inf´erieure a` r min , cette position extrˆeme s’appelle le p´ericentre

Mécanique7–Travauxdirigés Langevin-Wallon,PTSI2017-2018

Mécanique7–Travauxdirigés Langevin-Wallon,PTSI2017-2018 Mouvements dans un champ de force central et conservatif Donnée pour tous les exercices : constantedegravitationG= 6,67 ·10−11 m3 ·kg−1 ·s−2

Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives

MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 07 Forces centrales ds - 20 février 2012 page 3 / 8 Remarque la loi des aires est vraie pour tout mouvement à force centrale quelle que soit la loi de force et donc la trajectoire II 2 Energie II 2 1 Conservation Par hypothèse, l'unique force subie par M est une force centrale conservative Donc l'énergie

Mécanique 2 TD-M22-Forces centrales - Physagreg

TD M22 : Forces centrales Exercice 1 : établissement de l’équation de la trajectoire par la conservation de l’énergie mécanique E M = 1 2 mr 2 + mC2 2r2 + K r (1)

EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI

EXERCICES ET PROBLÈMES PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI HPRÉPA PHYSIQUE MPSI/PCSI/PTSI Jean-MarieBRÉBEC TaniaCHABOUD Chapitre 6 Forces centrales conservatives

Physique MPSI PTSI méthodes et exercices

méthodes et exercices MPSI PTSI Corrigés des exercices 407 CHAPITRE16 FORCES CENTRALES le système et le référentiel et établi un bilan des forces Cf

FORCESCENTRALESETGRAVITATION:CORRECTIONS

Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014 exprimer l’énergie en fonction des paramètres du mouvement : Em ˘ 1 2 mv2 P ¡m r2 pv 2 P qrP ˘ 1 2 mv2 P µ 1¡ 2rp q ¶ ˘ 1 2 mv2 P µ 1¡e 1¯e ¶) m ˘ 2Em v2 P 1¯e 1¡e iOn peut remarquer au passage que le signe de l’énergie mécanique totale est dé-terminé

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MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1

1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Lois g´en´erales de conservation2

2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2

2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Mouvement dans un champ de force centrales newtonien 3

3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 5

3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Forces centrales conservatives

1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

1→2=-F2→1=-Gm1m2

(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??m

F=-Gm?m

r2er

δW=F.dOM=-A

r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 0

1.2 Exemple de la force ´electrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

1→2=-F2→1=1

4π?0q

1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 1

4π?0= 9.109S.I.

On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=1

4π?0q

?q r2er

δW=F.dOM=B

r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatique qui

s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?1

4π?0G?

= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatique.

1.3 G´en´eralisation

Force centrale si

F=F(r)er

conservative si

δW=-dEp

Pour les forces de gravitation et ´electrostatique que l"onappelle interactions new- toniennes

F(r) =k

r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=1

4π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe

diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.

2 Lois g´en´erales de conservation

Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de force centrale conser- vativeF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.

2.1 Conservation du moment cin´etique

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement

dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement

Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ)

OM=rerv= rer+rθeθ

O=OM?mv=mr2θez

commeLO=cte r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires

2.1.3 Loi des aires

L"aire balay´ee pendantdt

dA=1

2×r×rdθ=1

2r2dθ

La vitesse a´erolaire

dA dt=1

2r2θ=1

2C=cte

Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissement

lorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se

conserve E m=1

2m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte

appel´e int´egrale premi`ere du mouvement Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective

E m=1

2mr2+1

2mr2θ2+Ep(r)

2mr2θ2=m

2r2(r2θ)2=m

2r2C2 E m=1

2mr2+mC2

2r2+Ep(r)

L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme1

2mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale

le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=1

2mr2+Epeff(r) =cte

2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es

Le terme cin´etique

2mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que

puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.

Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion

3 Mouvement dans un champ de force centrales new-

tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r

3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire

On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p

1 +ecosθ

On reconnaˆıt l"´equation d"une conique

sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle

3.2 Interaction r´epulsive

k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une

distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.

3.3 Interaction attractive

k <0 3.3.1

´Etat de diffusion

E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2

´Etat li´e

E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.

La trajectoire est elliptique.

Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,

elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=C

2Δto`uC

est la constante des aires li´ee `a la plan`ete consid´er´ee. 3 eloi :T2 a3=4π2 Gm? o`uTest la p´eriode de r´evolution elliptique de la plan`ete autour du Soleil,ale demi grand-axe de la trajectoire elliptique etm?=mSla masse du Soleil; la masse de la plan`ete n"intervient pas.

3.4.2 Vitesses cosmiques

Lavitesse circulaireest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il d´ecrive une orbite circulaire de rayonaautour d"un gros astre de massem?: E m=-|k|2a 1

2mv2c-|k|

a=-|k|

2a?vc=?

Gm?a Lavitesse de lib´erationest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il ´echappe `a l"attraction d"un gros astre de massem?: 1

2mv2l-|k|

r0= 0?vl=?

2Gm?r0

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Lois g´en´erales de conservation2

2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2

2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Mouvement dans un champ de force centrales newtonien 3

3.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 5

3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Forces centrales conservatives

1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

1→2=-F2→1=-Gm1m2

F=-Gm?m

δW=F.dOM=-A

1.2 Exemple de la force ´electrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

1→2=-F2→1=1

4π?0q

4π?0= 9.109S.I.

4π?0q

δW=F.dOM=B

4π?0G?

1.3 G´en´eralisation

Force centrale si

F=F(r)er

δW=-dEp

F(r) =k

4π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe

2 Lois g´en´erales de conservation

2.1 Conservation du moment cin´etique

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement

OM=rerv= rer+rθeθ

O=OM?mv=mr2θez

2.1.3 Loi des aires

L"aire balay´ee pendantdt

2×r×rdθ=1

2r2dθ

La vitesse a´erolaire

2r2θ=1

2C=cte

2m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte

2mr2+1

2mr2θ2+Ep(r)

2mr2θ2=m

2r2(r2θ)2=m

2mr2+mC2

2r2+Ep(r)

2mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale

2mr2+Epeff(r) =cte

2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es

Le terme cin´etique

2mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que

Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion

3 Mouvement dans un champ de force centrales new-

3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire

1 +ecosθ

On reconnaˆıt l"´equation d"une conique

3.2 Interaction r´epulsive

3.3 Interaction attractive

´Etat de diffusion

´Etat li´e

La trajectoire est elliptique.

2Δto`uC

3.4.2 Vitesses cosmiques

2mv2c-|k|

2a?vc=?

2mv2l-|k|

2Gm?r0