[PDF] Les nombres premiers

Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions

4 1 Nombres de Mersenne Diviseurs des nombres de Mersenne En 1772, Euler démontre que si q premier divise M p, avec p premier, alors q 1 (mod 8) Cela réduit d'environ un facteur 2 le nombre de diviseurs premiers à tester pour un nombre de Mersenne Résultats ultérieurs Cette méthode permet de trouver la factorisation complète de M 37, M

Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat

Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry

Les nombres premiers

1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite

Le plus grand nombre premier connu Le 7 janvier 2016, un

Un nombre premier de Mersenne, est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier Les nombres suivants sont premiers de Mersenne : 3 M 2 – 1 7 3, 5 M 2 – 1 31 5 7, M 2 – 1 127 7 Pour que le n-ième nombre de Mersenne M n soit premier, il est nécessaire —mais non suffisant que son indice n le soit Par exemple, M 4 n'est pas

TS spé Les nombres de Mersenne

En effet, le 47e nombre premier de Mersenne a été identifié un an plus tôt : 2 143112609 Ceci est la preuve que certains nombres de Mersenne ont peut-être été oubliés et que ce classement peut encore bouger Le GIMPS a trouvé 13 nombres premiers de Mersenne en 13 ans Pour connaître l’état actuel des travaux, on

Nombres de Mersenne et nombres parfaits - hmalherbefr

2n – 1 est appelé un nombre de Mersenne Si 2 n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 k est un nombre parfait pair si et seulement si il est de la forme 2 n-1(2 n-1) et 2n-1 est premier Preuve : sens Si 2 k-1 est un nombre premier (c'est alors un nombre premier de Mersenne),

Les nombres premiers

est le nombre de Mersenne suivant : 274 207 281 −1 qui comporte 22 338 618 chiffres Test de primalité ou critère d’arrêt Théorème: Soit n >2 : • n admet un diviseur premier • Si n n’est pas premier alors il admet un diviseur pre-mier p tel que : 2 6p 6 √ n Pour montrer qu’un nombre n est premier, on utilise la contraposée

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci Mais comme d divise le nombre M il est lui aussi premier f nq1 Mais puisque d divise le produit f

Facteurs carrés des nombres de Mersenne - Blogdemaths

Facteurs carrés des nombres de Mersenne blogdemaths wordpress com Dans ce document, on montre que si un nombre de Mersenne 2q ¡1 avec q pre-mier possède un facteur carré, alors il est divisible par un nombre premier de Wie-ferich Commençons par donner la forme des diviseurs premiers des nombres de Mer-senne 2q ¡1 : Proposition

Le théorème de Fermat

(on peut avoir un nombre de Carmichaël mais on conclut que p est « probablement premier », c'est à dire que la probabilité qu'il ne soit pas premier est « faible ») 4 4 Nombre de Mersenne a) Définition n∈ℕ* On nomme nombre de Mersenne tout entier naturel : M n=2 n−1 b) Remarques Sin⩾2etn non premier alorsMn n'est pas un nombre

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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 juillet 2015 à 17:06

Les nombres premiers

Table des matières

1 Définition et propriétés immédiates2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Critère d"arrêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Infinité des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Crible d"Ératosthène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Nombres de Mersenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Divisibilité et nombres premiers6

2.1 Théorème de Gauss et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Décomposition, diviseurs d"un entier6

3.1 Théorème fondamental de l"arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Diviseurs d"un entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Petit théorème de Fermat - Hors programme10

4.1 Théorème, remarque et exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Nombre de Poulet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1 Définition et propriétés immédiates

1.1 Définition

Définition 1 :Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- ment deux diviseurs : 1 et lui-même

Conséquence:

•1 n"est pas un nombre premier (il n"a qu"un seul diviseur) •Un nombre premierpest un naturel supérieur ou égal à 2 soit :p?2.

•Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97

1.2 Critère d"arrêt

Théorème 1 :Tout entier natureln,n?2, admet un diviseur premier. Sinn"est pas premier, alors il admet un diviseur premierptel que :

2?p?⎷

n

Démonstration :

•Sinest premier, il admet donc un diviseur premier : lui-même. •Sinn"est pas premier, l"ensemble des diviseursddentel que : 2?d2?pq?p2?nsoitp?⎷ n

Exemple :Montrer que 109 est un nombre premier.

On a 10<⎷

109<11.

On teste tous les nombres premiers strictement inférieurs à 11, soit:

2, 3, 5 et 7.

Des règles de divisibilité, on déduit que 109 n"est divisible nipar 2, ni par 3, ni par 5. En effectuant la division euclidienne de 109 par 7, on obtient :

109=7×15+4 109 n"est donc pas divisible par 7

Conclusion : comme 109 n"est pas divisible par 2, 3, 5, et 7, 109est premier.

PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ

1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS IMMÉDIATES

Algorithme :Un petit programme

pour déterminer si un nombreNest premier. N"ayant pas à notre disposi- tion la liste des nombres premiers, on teste siNest divisible par 2, puis on teste les diviseurs impairs par ordre croissant tant que ceux-ci sont inférieur N.

On obtient alors :

•527 est divisible par 17

•719 est premier

•11 111 est divisible par 41

•37 589 est premier

Variables:N,Ientiers

Entrées et initialisation

LireN

2→I

Traitement

siE?NI? =NIalors

AfficherN, "div. par :" ,I

Stop fin

I+1→I

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2