Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
4 1 Nombres de Mersenne Diviseurs des nombres de Mersenne En 1772, Euler démontre que si q premier divise M p, avec p premier, alors q 1 (mod 8) Cela réduit d'environ un facteur 2 le nombre de diviseurs premiers à tester pour un nombre de Mersenne Résultats ultérieurs Cette méthode permet de trouver la factorisation complète de M 37, M
Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry
Les nombres premiers
1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite
Le plus grand nombre premier connu Le 7 janvier 2016, un
Un nombre premier de Mersenne, est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier Les nombres suivants sont premiers de Mersenne : 3 M 2 – 1 7 3, 5 M 2 – 1 31 5 7, M 2 – 1 127 7 Pour que le n-ième nombre de Mersenne M n soit premier, il est nécessaire —mais non suffisant que son indice n le soit Par exemple, M 4 n'est pas
TS spé Les nombres de Mersenne
En effet, le 47e nombre premier de Mersenne a été identifié un an plus tôt : 2 143112609 Ceci est la preuve que certains nombres de Mersenne ont peut-être été oubliés et que ce classement peut encore bouger Le GIMPS a trouvé 13 nombres premiers de Mersenne en 13 ans Pour connaître l’état actuel des travaux, on
Nombres de Mersenne et nombres parfaits - hmalherbefr
2n – 1 est appelé un nombre de Mersenne Si 2 n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 k est un nombre parfait pair si et seulement si il est de la forme 2 n-1(2 n-1) et 2n-1 est premier Preuve : sens Si 2 k-1 est un nombre premier (c'est alors un nombre premier de Mersenne),
Les nombres premiers
est le nombre de Mersenne suivant : 274 207 281 −1 qui comporte 22 338 618 chiffres Test de primalité ou critère d’arrêt Théorème: Soit n >2 : • n admet un diviseur premier • Si n n’est pas premier alors il admet un diviseur pre-mier p tel que : 2 6p 6 √ n Pour montrer qu’un nombre n est premier, on utilise la contraposée
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci Mais comme d divise le nombre M il est lui aussi premier f nq1 Mais puisque d divise le produit f
Facteurs carrés des nombres de Mersenne - Blogdemaths
Facteurs carrés des nombres de Mersenne blogdemaths wordpress com Dans ce document, on montre que si un nombre de Mersenne 2q ¡1 avec q pre-mier possède un facteur carré, alors il est divisible par un nombre premier de Wie-ferich Commençons par donner la forme des diviseurs premiers des nombres de Mer-senne 2q ¡1 : Proposition
Le théorème de Fermat
(on peut avoir un nombre de Carmichaël mais on conclut que p est « probablement premier », c'est à dire que la probabilité qu'il ne soit pas premier est « faible ») 4 4 Nombre de Mersenne a) Définition n∈ℕ* On nomme nombre de Mersenne tout entier naturel : M n=2 n−1 b) Remarques Sin⩾2etn non premier alorsMn n'est pas un nombre
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Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011 1 Définition 1 :
Un entier positif n est appelé un nombre parfait si il est égal à la somme de ses diviseurs positifs en excluant n.Définition 2 :
Soit n un entier.
2n - 1 est appelé un nombre de Mersenne.
Si 2 n - 1 est premier alors il s"agit d"un nombre premier de Mersenne.Théorème 1
k est un nombre parfait pair si et seulement si il est de la forme 2n-1(2n-1) et 2n-1 est premier.Preuve
sens Si 2 k-1 est un nombre premier (c"est alors un nombre premier de Mersenne), alors 2 k-1(2k- 1) est un nombre parfait. Preuve historique établie par Euclide il y a 2300 ans ‼ (Objet du DM n° 4) sens Euler a prouvé le sens réciproque (au 18ème siècle)
Lien vers la démonstration (en anglais !) :
Théorème 2
Si 2n-1 est premier, alors n est aussi premier.
Preuve
: cf exercice 2 IE3. Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011 2Table des nombres premiers de Mersenne connus
Avec : M
p = 2 p - 1 (nombre de mersenne) et P p = 2 p-1(2 p - 1) (nombre parfait associé) p (exposant)Nombre de chiffres de
M pNombre de chiffres de
PpAnnée
découverteNom du "découvreur"
1 2 1 1 ---- ---- 2 3 1 2 ---- ---- 3 5 2 3 ---- ---- 4 7 3 4 ---- ---- 5 13 4 8 1456 anonyme 6 17 6 10 1588 Cataldi 7 19 6 12 1588 Cataldi 8 31 10 19 1772 Euler 9 61 19 37 1883 Pervushin 10 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 Powers 12 127 39 77 1876 Lucas 13 521 157 314 1952 Robinson 14 607 183 366 1952 Robinson 15 1279 386 770 1952 Robinson 16 2203 664 1327 1952 Robinson 17 2281 687 1373 1952 Robinson 18 3217 969 1937 1957 Riesel 19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz 20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz 21 9689 2917 5834 1963 Gillies 22 9941 2993 5985 1963 Gillies 23 11213 3376 6751 1963 Gillies
Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011 3 p (exposant)Nombre de chiffres de
M pNombre de chiffres de
PpAnnée
découverteNom du "découvreur"
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman 25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel 26 23209 6987 13973 1979 Noll 27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski 28 86243 25962 51924 1982 Slowinski 29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh 30 132049 39751 79502 1983 Slowinski 31 216091 65050 130100 1985 Slowinski 32 756839 227832 455663 1992 Slowinski & Gage et al. 33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage 34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage 35 1398269 420921 841842 1996 Armengaud, Woltman, (GIMPS) 36 2976221 895932 1791864 1997 Spence, Woltman, (GIMPS) 37 3021377 909526 1819050 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS) 38 6972593 2098960 4197919 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS) 39 13466917 4053946 8107892 2001 Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 20996011 6320430 12640858 2003 Shafer, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 24036583
7235733 14471465 2004 Findley, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 25964951 7816230 15632458 2005 Nowak, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 304024579152052 18304103 2005 Cooper, Boone, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 325826579808358 19616714 2006 Cooper, Boone, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 37156667 11185272 22370543 2008 Elvenich, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 42643801 12837064 25674127 2009 Strindmo, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 43112609 12978189 25956377 2008 Smith, Woltman, Kurowski (GIMPS)
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