Dénombrement et probabilités

Cours de probabilités Terminale S Pour aller plus loin Paul Milan Table des matières • P une probabilité, fonction déﬁnie sur P et à valeurs dans [0,1]

Probabilités – Terminale S

Probabilités – Terminale S 2 b Probabilités sur un ensemble fini Définition : Soit ΩΩΩΩ = {a 1, a 2, , a n} un ensemble fini on définit une loi de probabilité sur ΩΩΩΩ si on choisit des nombres p 1, p 2, , p n tels que, pour

Cours sur les probabilités Terminale Pro

Title: Cours sur les probabilités Terminale Pro Author: maths-sciences fr;Luis LOPEZ Keywords: cours;probabilité;terminale;pro Created Date: 1/24/2013 11:07:33 PM

COURS TERMINALE spécialité PROBABILITES

COURS TERMINALE spécialité PROBABILITES A La probabilité d’un événement A, notée P(A), est la somme des pi pour tous les éléments ei de A

Probabilités conditionnelles, cours, terminale STMG

Probabilités conditionnelles, cours, terminale STMG F Gaudon 8 juillet 2015 Table des matières 1 Rappels sur les intersections et les réunions2 2 Notion de probabilité conditionnelle2 3 Arbre pondérés 3 1

Chapitre 15 Probabilités conditionnelles

Il faut bien distinguer cette probabilité de la probabilité de l’événement «l’élève choisi est une ﬁlle de terminale» qui est l’événement F∩T Pour ce dernier événement, on considère de nouveau les 867 élèves

Terminale ES - Probabilités conditionnelles

I) Notion de probabilité conditionnelle 1) Probabilité de B sachant A a) Définition On considère un univers ???? d’une expérience aléatoire et ???? une loi de probabilité associée Soit un événement de probabilité ???? : ; non nulle et un événement

Chapitre Probabilités

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certains La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1 Exemple 3) Equiprobabilité Définition

Dénombrement et probabilités

Calculer la probabilité de C Dans le jeu de cartes, il y a 8 cœurs et 24 cartes distinctes d'un cœur card C=(8 1)×(24 4)=8× 24 420 =85008 P(C)= 85008 201376 = 759 1798 ≈0,422 e) Soit D l'événement : on extrait une main de 5 cartes contenant au moins un cœur Calculer la probabilité de D

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Dénombrement et probabilités

1. Listes d'éléments d'un ensemble fini...............p24. Applications aux probabilités...........................p8

2. Combinaisons...................................................p5

3. Formule du binôme..........................................p6

Dénombrement et probabilités

1. Liste d'éléments d'un ensemble fini

1.1. factorielle d'un entier naturel

Définition :

Si nest un entier naturel supérieur ou égal à 2, on nomme factorielle net on note n!, l'entier naturel égal au produit de tous les entiers naturels de 1 à n, c'est à dire : n!=1×2×3×...×n.

Par convention,

0!=1et 1!=1.

Exemples :

4!=1×2×3×4×5×6×7

1×2×3×4=5×6×7=210

1.2. Définition

Soit E un ensemble non vide fini, pest un entier naturel non nul. On nomme p- liste d'éléments de E, toute liste (x1;x2;...;xp)où x1 ; x2 ;... ; xp sont tous éléments de E. (On note l'ensemble des p-listes de E : Ep).

1.3. Proposition

net psont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. E est un ensemble de cardinal n. L'ensemble des p-listes de E a pour cardinal : np.

1.4. Exemples

a) On jette plusieurs fois une pièce de monnaie.

E={P;F} (pile;face)

n=card{E}=2 •p=3card E3 =23=8

On représente E3 à l'aide d'un arbre.

Dénombrement et probabilités

•p=10card E10=210=1024 b) On jette plusieurs fois un dé cubique numéroté de 1 à 6.

E={1;2;3;4;5;6}

n=card{E}=2 •p=2card E2 =62=36

(On représente en général E2 à l'aide d'un tableau à double entrée, mais on peut aussi le représenter à

l'aide d'un arbre.) •p=4card E4 =64=1296

1.5. p-listes d'éléments de E deux à deux distincts

a) Exemple

E={A;B;C;D}

Dénombrement et probabilités

Il y a 12 2-listes d'éléments deux à deux distincts de E.

Remarque : 12=4×3b) Proposition

E est un ensemble fini de n éléments (n⩾1). Pour tout entier naturel p tel que

1⩽p⩽n, le nombre des p-listes d'éléments de E deux à deux distincts est :

n(n-1)...(n-p+1)=n! (n-p)! (p facteurs)

Démonstration :

Pour le premier élément de la liste, il y a n possibilités.

Pour le deuxième élément de la liste, il y a (n-1) possibilités. (nombres d'éléments de E distincts du premier

élément).

Donc, pour les deux premiers éléments, il y a n(n-1)possibilités.

Etc...

Pour le pième élément de la liste, il y a n-(p-1)=n-p+1possibilités. Donc, le nombre de p-listes d'éléments deux à deux distincts de E est : n(n-1)...(n-p+1). Or, n!

1×2×...×(n-p)=(n-p+1)...(n-1)n1.6. Permutations

a) Définition n est un entier naturel non nul. On nomme permutation d'un ensemble E de n éléments toute n-liste d'éléments de E deux à deux distincts. b) Proposition n est un entier naturel non nul. Le nombre de permutations d'un ensemble fini E de n éléments est n! .

Démonstration :

Le nombre de n-listes d'éléments deux à deux distincts de E est : c) Exemple

E={1;2;3}

Dénombrement et probabilités

Le nombre de permutations de E est 3!=3×3×1=6Les 6 permutations de E sont :

1;2 ;3

1;3 ;2

2;1;3 2;3;1 3;1;2 3;2;1 d) Anagramme

On nomme anagramme d'un mot toute permutation des lettres de ce lot, ayant un sens ou non en français.

Exemple

On considère le mot : MARIE (ici 5 lettres distinctes deux à deux distinctes)

E={M;A;R;I;E}

Il y a

5!anagrammes du mot MARIE

5!=5×4×3×2×1=120MAIRE ou AIMER sont deux anagrammes du mot ayant un sens en français. MREIA est une anagramme du

mot n'ayant pas de sens en français.

2. Combinaisons

2.1. Définition

E est un ensemble fini de cardinal n. p est un entier naturel tel que 0⩽p⩽n. On nomme combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.

2.2. Exemple

E={A;B;C;D}card E=n=4

{A;B;C} est une combinaison de 3 éléments de E (donc p=3)

Remarques :

•Une combinaison n'est pas ordonnée.

•Il existe 3!=6 3-listes d'éléments distincts deux à deux de E contenant les éléments de la combinaison

Dénombrement et probabilités

2.3. Notation

Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n est noté (n p).

On lit p parmi n .

2.4. Proposition

n et p sont deux entiers naturels tels que 0⩽p⩽n, on a : (n p)=n(n-1)×...×(n-p+1) p!=n! p!(n-p)!.

Démonstration

Combinaisons de

p éléments de E.1 (n p)p-listes de p éléments de

E deux à deux distincts.

p!n! n-p!On a un tableau de proportionnalité. (n p)=n! p!(n-p)!2.5. Exemple Pour le loto, on choisit 6 numéros parmi 49 de 1 à 49.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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Dénombrement et probabilités

1. Listes d'éléments d'un ensemble fini...............p24. Applications aux probabilités...........................p8

2. Combinaisons...................................................p5

3. Formule du binôme..........................................p6

Dénombrement et probabilités

1. Liste d'éléments d'un ensemble fini

1.1. factorielle d'un entier naturel

Définition :

Par convention,

0!=1et 1!=1.

Exemples :

4!=1×2×3×4×5×6×7

1×2×3×4=5×6×7=210

1.2. Définition

1.3. Proposition

1.4. Exemples

E={P;F} (pile;face)

On représente E3 à l'aide d'un arbre.

Dénombrement et probabilités

E={1;2;3;4;5;6}

1.5. p-listes d'éléments de E deux à deux distincts

E={A;B;C;D}

Dénombrement et probabilités

Remarque : 12=4×3b) Proposition

1⩽p⩽n, le nombre des p-listes d'éléments de E deux à deux distincts est :

Démonstration :

élément).

Etc...

1×2×...×(n-p)=(n-p+1)...(n-1)n1.6. Permutations

Démonstration :

E={1;2;3}

Dénombrement et probabilités

1;2 ;3

1;3 ;2

Exemple

E={M;A;R;I;E}

Il y a

5!anagrammes du mot MARIE

5!=5×4×3×2×1=120MAIRE ou AIMER sont deux anagrammes du mot ayant un sens en français. MREIA est une anagramme du

2. Combinaisons

2.1. Définition

2.2. Exemple

E={A;B;C;D}card E=n=4

Remarques :

Dénombrement et probabilités

2.3. Notation

On lit p parmi n .

2.4. Proposition

Démonstration

Combinaisons de

E deux à deux distincts.