Un problème classique en théorie des probabilité
Un problème classique en théorie des probabilité : placer r balles (objets) au hasard dans n boites (cellules) problèmes d’occupation THÉORIE On vit dans un monde d’incertitude et donc, la théorie des probabilités a beaucoup d’applications dans tous les domaines d’activité humaines : durée de vie d’une personne, le
Exercices et problèmes de statistique et probabilités
On appelle « Fonction de répartition d’une variable aléatoire X » l’application F de R dans [0,1] définie par : F(x) = P(X < x) b) Variable aléatoire discrète On définit la probabilité attachée en un point x du domaine de définition de la variable aléatoire X discrète par : P(X = x) Fonction de répartition de X: F(x) = P(X
Probabilités
De manière générale, on ne calcule pas des probabilités dans un univers mais on calcule des probabilités dans un univers muni d’une probabilité précise D’où la définition : Définition10 Un espace probabilisé fini est un couple (Ω,P)où Ω est un univers fini non vide et P une probabilité sur Ω
Prob1
E, toute application de Q dans E Si E = R, la variable aléatoire est dite réelle (v a r Dans le cas d'un dé pipe, on peut avoir 1 3 Variables aléatoires La probabilité d'un événement est alors définie comme la somme des Pi correspondants aux dans cet évenement Un exemple fondamental est celui de la probabilité uniforme
LIDÉOLOGIE « FRÉQUENTISTE » : VÉRITÉ, PROBABILITÉ, CRÉDIBILITÉ
Carnap (1962) et Nagel (1969) Dans cette optique, la probabilité est conçue comme la propriété d'une séquence d'essais répétés à l'infini Par voie de conséquence, aucune probabilité ne peut être assignée à un événement unique Nous disons facilement que la probabilité d'obtenir « pile » au dixième lancement (ou à tout
Lycée Paul Rey Denis Augier
On considère les évènements B : « L'ordinateur a un problème de batterie » et P : « L 'ordinateur a un pro- blème de processeur » On suppose que les évènements B et P sont indépendants Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi ait au moins l'un des deux problèmes 21 des jumeaux monozygotes, dans un cas sur trois :
MODÈLE DE PROBABILITÉ DE DÉFAUT DES PRÊTS
La quantification de la probabilité de défaut et sa prédiction constitue à cet effet, un jalon incontournable des activités de gestion du risque des banques Dans un contexte de réglementation et de concurrence soutenue du secteur bancaire, ce paramètre devient alos un moteu pécuseu d’une gestion optimale du isue et dont la uantification
Le problème des anniversaires
soient nés un jour différent Attention Il existe un autre problème des anniversaires : dans un groupe de n personnes dont fait partie Alfred, quelle est la probabilité rn qu’une autre personne soit née le même jour qu’Alfred ? Ici 1 1 365 364 1 − − =− n n n ( ) r On a r23 ≅6 et, pour que rn dépasse 50 , le groupe doit
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Le problème des anniversaires
Le problème des anniversaires est facile à énoncer : étant donné un groupe de n personnes,
quelle est la probabilité np qu"au moins deux d"entre elles soient nées le même jour1 ? La solution est simple : on calcule la probabilité nq que les n personnes soient toutes nées un jour différent.Par exemple, si
2=n, il y a 2365365365)(=´ paires de jours de naissance possibles, et il y
a364365´ paires de jours de naissance différents possibles. Donc 365
3642=q et
%,qp30365 1122@=-=.
La formule générale est
n)()n(...qn3651365363364365 +-´´´´=. Ainsi, pour 10=n, on obtient %)(...q883653563633643651010@´´´´=, donc%qp1211010@-= ; ce n"est pas énorme, mais pas négligeable non plus. À combien estimez-vous20p ? (réponse en bas de la page)2
On constate que
%,p64722@ et %,p85023@. Donc, dans un groupe d"au moins 23 personnes, il y a plus d"une chance sur deux qu"au moins deux d"entre elles soient nées le même jour. Et %,p79964» : il aurait donc été très surprenant qu"en PCSI+PC, tous les élèves soient nés un jour différent. Attention ! Il existe un autre problème des anniversaires : dans un groupe de n personnes dont fait partie Alfred, quelle est la probabilité nr qu"une autre personne soit née le même jour qu"Alfred ? Ici113653641---=nn
n)()(r. On a %r623@ et, pour que nr dépasse %50, le groupe doit comporter au moins 253 personnes : %,r949252@ et %,r00550253@. La différence importante entre les nombres 23 et 253 s"explique mieux si on remarque que, dans ce groupe de n personnes dont fait partie Alfred, il y a au total 21)n(n- paires de personnes,
mai seulement1-n paires de personnes contenant Alfred.
La distinction entre ces deux problèmes des anniversaires est cruciale pour justifierl"utilisation judiciaire des tests ADN. Ces tests consistent à enregistrer des séquences ADN
présentes dans certains emplacements -appelés locus- de certains chromosomes. Pour chaque1 mais pas forcément la même année.
2 p20 » 41%. C'est peut-être plus que ce que vous pensiez ?
locus, la même séquence se retrouve chez 5 à %20 de la population, et les locus ont été choisis
en s"assurant que leurs caractéristiques soient mutuellement indépendantes. En France le fichier national des empreintes génétiques (FNAEG) repose sur l"examen de 13 locus et on estime à 1 sur12103., soit 1 sur 3 000 milliards3, la probabilité que les profils
génétiques de deux personnes différentes soient identiques. Comme le FNAEG fiche environ 3millions de personnes, la probabilité qu"un profil génétique établi à partir d"un prélèvement sur
une scène de crime soit identique à un profil contenu dans le FNAEG est de 3 millions sur 3 000
milliards, soit 1 sur 1 million. Par contre la probabilité qu"il existe des paires de profils identiques dans le FNAEG n"est pas négligeable. En effet, le FNAEG contient12661092
1103103.).(.@-´, soit 0009 milliards de
paires de profils. On peut donc s"attendre à y trouver environ 300030009= paires de profils
identiques. Bien entendu, tous ces calculs de probabilités ne tiennent pas compte des nombreuxproblèmes pratiques et erreurs humaines qui peuvent survenir dans la constitution ou dans
l"utilisation du FNAEG : confusion d"échantillons, mauvaises lectures de résultats, pollution d"un
échantillon pendant le prélèvement, échantillons de mauvaise qualité ne permettant pas
d"examiner les 13 locus, etc.