Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

Cours Probabilités L2 Université Nice Sophia-Antipolis

Par exemple, lorsque une pièce est lancée à pile ou face, la probabilité d’obtenir face est, si la pièce est équilibrée, 1=2 et, le cas échéant, celle d’obtenir pile est aussi 1=2 Dans ce cas précis, la mesure des événements consisteenunsimplecomptage Mais,enréalité,mesurerpeuts’avérerplus subtil que compter

Cours de probabilites et statistiques´

Universit¶e Claude Bernard Lyon 1 IREM de Lyon - D¶epartement de math¶ematiques Stage ATSM - Aou^t 2010 Cours de probabilites et statistiques´

ProbabilitésetStatistique - Laboratoire ERIC

Exercice2 Combien y a-t-il de mots de 2 lettres formés d'une consonne et d'une voyelle (sans tenir comptedel'ordre)?Ilya20 consonneset6 voyelles Nouspouvonsformer20 £ 6 = 120 couples"`consonne £ voyelle"' et, 6 £ 20 = 120 couples "`voyelle £ consonne"'

Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis

probabilité et de se focaliser simplement sur une variable aléatoire de loi 1 4 Modèle statistique Nous avons maintenant (presque) tous les

Cours de Statistique Licence 2-S4 SI-MASS

Cours de Statistique Licence 2-S4 SI-MASS Pierre DUSART 3 avril 2012 1 Introduction Nous allons voir que si une ariablev aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme d'échantillons) sont encadrées avec des probabilités de réalisation Par exemple, lorsque l'on a une énorme

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Cet ouvrage est destiné aux étudiants de Licence, de première année des Grandes Écoles d’ingé-nieurs, de commerce et de gestion ou d’Institut Universitaires de Technologie désireux d’appré-hender les concepts et les notions de base de la statistique

Éléments de théorie des probabilités et de statistique

Licence de biologie 2015–2016 Éléments de théorie des probabilités et de statistique et l’on voudrait calculer la probabilité que le pre-

Prob1 - lpsmparis

On considère toujours donné l'espace Q et P une probabilité sur lui L'indépendance de deux événements A et B va correspondre à une " démultiplication" des cas favorables Précisement: Définition 1 10 On dit que deux evenements A et B sont indépendants si P (A n B) Exemple: Dans le lancer de deux dés, on vérifie que les événements A

Exercices corrigés de

probabilités et statistique

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec

Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la licence Creativ e Commons Paternité - Partage à l"Identique 3.0 non transposé

Table des matières

iii

1 Expériences aléatoires et probabilités

2 Conditionnement et indépendance

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et variance

. . . . . . . . 25

3.2 Lois discrètes classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Variable fonction d"une autre variable

. . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Couples de variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Variables aléatoires absolument continues

4.1 Densité, fonction de répartition et moments

. . . . . . . . . . . 55

4.2 Lois continues classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Évolutions de ce document

71
iii IntroductionCe document propose des exercices corrigés illustrant le cours de probabilités et statistique. Les corrections sont abondamment commentées pour faciliter la compréhension et expliciter le raisonnement qui conduit à la bonne solution. On trouve ainsi à la suite de l"énoncé d"un exercice une série de commentaires encadrant des éléments de correction. La réponse attendue lors d"une évaluation est constituée de l"ensemble des éléments de correction, à l"exclusion, bien entendu, des commentaires. Pour faciliter la séparation entre correction et commentaires, les éléments de correction sont présentés comme suit :Correction

Un élément de correction.

Pour profiter au maximum de ce recueil, il est très vivement conseillé de lire l"énoncé seulement, puis de rédiger une correction exhaustive (et pas seulement un brouillon) en se mettant dans les conditions d"une évaluation, c"est-à-dire en se chronométrant, en n"utilisant pas de calculatrice et, enfin, en s"abstenant de consulter des notes de cours ou d"autres documents. Une fois la correction rédigée, on pourra la confronter à la correction type, en repérant notamment les justifications manquantes. On pourra aussi rechercher dans les commentaires un éventuel raisonnement faux typique, si la correction rédigée est fortement

éloignée de la correction type.

Chapitre 1

Expériences aléatoires et

probabilités

Exercice 1.1

ÉnoncéOn étudie les connexions d"internautes à un site web. Celui-ci propose six versions de son contenu, réparties en trois versions anglaises (notéesen) et trois versions françaises (notéesfr). Pour chaque langue, les trois versions sont les suivantes : une version normale (n), une version pour les petits écrans comme ceux des téléphones (p) et une version pour les écrans de taille moyenne comme ceux des tablettes (m). En étudiant l"historique des connexions, on constate que les versions ne sont pas utilisées de façon uniforme. Plus précisément, si on choisit un internaute connecté au hasard, la probabilité de tomber sur chacune des versions est donnée par la table suivante : version(fr;n) (fr;p) (fr;m) (en;n) (en;p) (en;m)P(fversiong)a 521
121
421
b321 Dans la table, chaque version est désignée par sa langue et son type. L"ensemble des six versions forme l"univers . Les lettresaetbdésignent des paramètres à déterminer.

Question 1

Quelles propriétés doivent vérifieraetbpour quePsoit bien une probabilité sur

Question 2

On constate que le site a deux fois plus d"utilisateurs anglophones que d"utilisateurs francophones. En déduiteaetb.

Question 3

Quel pourcentage d"utilisateurs du site consultent la version pour petit écran? Dans cet exercice, l"univers est déjà fixé et l"objectif est de construire une proba- bilité sur cet univers. Les questions ont pour objectif de tester la connaissance des propriétés d"une probabilité. 1

2Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionPour quePsoit une probabilité sur

, il faut queP(fversiong)2[0;1] pour toute version du site web. En particulier, on doit donc avoir :

P(f(fr;n)g) =a2[0;1];

P(f(en;p)g) =b2[0;1]:

De plus, on doit avoirP(

) = 1. Or, est l"union disjointe de tous les évènements élémentaires etP( )est donc la somme des probabilités indiquées dans le tableau. On a donc : P( ) =a+521 +121
+421
+b+321 = 1; soit a+b=821 Il est fréquent que la solution proposée ne soit pas aussi bien justifiée que ce qui précède. Il est pourtant important de ne pas oublier les conditions de la forme a2[0;1]et surtout de justifier qu"on peut faire la somme des valeurs données dans le tableau. Il se pourrait en effet que ne soit pas couvert complètement par les éléments du tableau (imaginons ici une version allemande du site pour laquelle on ne donne pas de probabilités précises), et il faudrait donc connaître la probabilité de l"ensemble des évènements élémentaires listés dans le tableau pour remplacer l"analyse basée surP( ) = 1.Correction Le site ayant deux fois plus d"utilisateurs anglophones que francophones, on suppose queP(fversion anglaiseg) = 2P(fversion françaiseg). Or l"évène- mentfversion anglaisegest l"union disjointe des trois évènementsf(en;n)g, f(en;p)getf(en;m)get donc la probabilité de l"évènement est la somme des probabilités des trois évènements élémentaires. Donc, d"après le tableau, on a

P(fversion anglaiseg) =421

+b+321 =b+721

De la même façon, on trouve que

P(fversion françaiseg) =a+521

+121
=a+621 3 soit finalement b+721 = 2 a+621 :En combinant cette équation avec le résultat obtenu à la question précédent,

à savoira+b=821

, on trouve b+721 = 2821 b+621 soitb=13eta=121. On constate queaetbsont bien des éléments de [0;1]ce qui montre que cette solution est acceptable. Comme pour la première question, il faut justifier les réponses en évoquant au moins une fois la décomposition d"un évènement bien choisi en évènements dont on connaît les probabilités. La dernière question se traite de cette façon aussi.Correction L"évènementfpetit écrangest l"union disjointe des évènementsf(en;p)g etf(fr;p)g, donc sa probabilité est la somme des probabilités de ces deux

évènements. On obtient ainsi :

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec

Table des matières

Table des matières

1 Expériences aléatoires et probabilités

2 Conditionnement et indépendance

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et variance

3.2 Lois discrètes classiques

3.3 Variable fonction d"une autre variable

3.4 Couples de variables aléatoires

4 Variables aléatoires absolument continues

4.1 Densité, fonction de répartition et moments

4.2 Lois continues classiques

Évolutions de ce document

Un élément de correction.

éloignée de la correction type.

Chapitre 1

Expériences aléatoires et

Exercice 1.1

Question 1

Question 2

Question 3

2Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionPour quePsoit une probabilité sur

P(f(fr;n)g) =a2[0;1];

P(f(en;p)g) =b2[0;1]:

De plus, on doit avoirP(

P(fversion anglaiseg) =421

De la même façon, on trouve que

P(fversion françaiseg) =a+521

à savoira+b=821

évènements. On obtient ainsi :