Pour chacun de ces événements, préciser s’il vous semble «certain», « fort probable», « peu probable», « impossible» L’expérience est : le lancer d’une pièce de monnaie Evénements liés à cette expérience Votre avis : cet événement est 1) La pièce va retomber 2) Lancer 10 fois la pièce, et avoir autant de
La probabilité mesure notre chance de réaliser une issue ou un événement Exemples 4 : * Dans un lancer d’une pièce non truqué, on note A l’issue: « Tomber sur pile » La probabilité de l’issue A (tomber sur pile) est notée P(A) et se lit « P de A » P(A) est la proportion de chance de tomber sur pile
Dans l’exemple 1, on lance une pièce et X est le nombre de lancer pour obtenir le premier PILE On a X(›) ˘N⁄ Pour chaque lancer, la probabilité d’obtenir PILE (ou FACE) est 1 2 Soit k 2N⁄, on réalise (X ˘k) lorsque la pièce retombe sur FACE lors des k ¡1 premiers lancers et sur PILE au kième lancer La probabilité
Faire un pile ou face avec une pièce de monnaie ayant 2 faces identiques n'est pas un expérience aléatoire b) Réalisons une expérience aléatoire ( le lancer de dé ) ° 10 lancers réalisés par le professeur
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Sur un même chemin, on multiplie les probabilités P(E) = + + = La probabilité que l’évènement E se réalise est de Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie
On utilise deux pièces de monnaie : l’une pipée, de sorte que lorsqu’on la lance, la probabilité d’obtenir pile soit 1/4 ; l’autre normale dont la probabilité d’obtenir pile est 1/2 à chaque lancer
La probabilité d’une issue est la valeur vers laquelle sa fréquence se stabilise Activité 2 (voir Exemple en 1 ) Donnez la probabilité de l’issue « FACE » lors d’un lancer d’une pièce de monnaie : 0,5 Fréquence de « FACE » Taille de l’échantillon 0 0,52 0,58 0,50 0,48 0,46 0,54 0,56 0,60 0,62 50 150 250 350
Lancer un dé To cast a die / to roll a die « die is cast » : Alea jacta est Lancer une pièce To toss / to flip a coin Throw a piece Pile ou face Heads or tails (UK : cross and pile) Pile or face
évènement devient proche de sa probabilité Exemple : Au jeu de pile ou face, l’événement P "sortie de pile" a pour probabilité 0,5 Ainsi si on réalise 1000 lancers d’une pièce équilibrée, on n’obtiendra pas forcément 500 fois Pile, mais la fréquence d’apparition de Pile sera proche de 0,5 3) Quelques vidéos à visualiser
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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr PROBABILITES I. Expérience aléatoire 1) Exemples : - On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure. - On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. - On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche. Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats ou issues (pile ou face) et que l'on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira. 2) Réalisons une expérience aléatoire : Exercice conseillé p214 n°1 Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs d'apparition de chaque face dans le tableau : Faces 1 2 3 4 5 6 Total Effectifs 20 14 10 22 16 18 100 On regroupe ensuite l'ensemble des résultats de la classe dans un même tableau puis on calcule les fréquences d'apparition de chaque face. Faces 1 2 3 4 5 6 Total Effectifs 434 456 443 459 435 473 2700 Fréquences 16,1% 16,9% 16,4% 17% 16,1% 17,5% 100 Les fréquences d'apparition sont très proches les unes des autres. Théoriquement, il y a autant de chance d'obtenir un 1, un 2, ... ou un 6. En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente. La suite de la leçon nous expliquera comment calculer les fréquences théoriques d'une expérience aléatoire.
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés En devoir p220 n°9 à 12 p220 n°13 TP : " Lancers de dés » et " Des billes... » sur la page : http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-et-activites/activites-et-exercices/niveau-troisieme II. Notion de probabilité Exercice conseillé p214 n°2 1) Arbre des possibles Exemple : Lorsqu'on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l'arbre des possibles : L'arbre des possibles permet de visualiser les issues d'une expérience aléatoire. 2) Probabilité Exemple : 2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d'une expérience aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d'obtenir un secteur de couleur bleue. On dit que la probabilité d'obtenir un secteur bleu est égale à , soit . On inscrit sur l'arbre des possibles les probabilités des différentes issues. bleu rouge jaune vert
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Evènement Exemple : Soit l'évènement E " La roue s'arrête sur un secteur bleu ou rouge ». On pourrait se demander qu'elle est la probabilité que cet évènement se réalise ? On dit que la probabilité que l'évènement E se réalise est égale à et on note : P(E) = . Un évènement est constitué par plusieurs issues d'une même expérience aléatoire. Méthode : On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Soit E l'évènement : " La face du dessus est un 1 ou un 6 ». Quelle est la probabilité que l'évènement E se réalise ? On construit l'arbre des possibles de l'expérience aléatoire : Chaque issue à la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un 1, un 2, ... ou un 6. On dit qu'il y a équiprobabilité.
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Ainsi P(E) = La probabilité que l'évènement E se réalise est de . Il y a donc une chance sur trois d'obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé. Exercices conseillés En devoir p218 n°1, 2, 4 p219 n°5 à 7 p220 n°14, 15 p221 n°20, 21 p223 n°29, 30, 35 p228 n°64 p218 n°3 p219 n°8 p221 n°18, 19 p225 n°46, 47, 48 p229 n°1, 2 III. Exemple d'une expérience aléatoire à deux épreuves Méthode : Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l'évènement : " On obtient au moins une fois la face PILE. »
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. P(E) = + + = La probabilité que l'évènement E se réalise est de . Il y a donc trois chances sur quatre d'obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Exercices conseillés En devoir p223 n°23, 24, 25 p226 n°56 p227 n°58 p226 n°53 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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Les probabilités au cycle 4 I - Académie de Limoges