[PDF] Sondage à probabilités inégales - unistrafr

Probabilité conditionnelle Variable aléatoire

Exercices derniereimpressionle` 12 août 2019 à 9:13 Probabilité conditionnelle Variable aléatoire Loi de probabilité Exercice1 Dans une urne, il y a 3 boules vertes (V), 3 bleues (B) et 4 jaunes (J)

Cours 2: Les variables aléatoires - WordPresscom

probabilité d’une variable aléatoire discrète (probabilité d’une variable aléatoire discrète (v a dv a d )) • La distribution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v a • Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité

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ce sens que nous affirmons que l’estimateur µˆ est une variable aléatoire (il peut prendre différentes valeurs suivant l’échantillon choisi) Ce qui est aléatoire dans un sondage est le fait qu’un individu donné appartienne ou non à l’échantillon

Technique d’Enquête et Méthode de Sondage

M NEVEU – Techniques d'enquête et Méthode de Sondage 2005 L’Approche Probabiliste - le Sondage Aléatoire Simple (SAS) - Modèle de référence, modèle le plus simple Procédure de tirage aléatoire d’une fraction de la population Tous les échantillons sont possibles avec la même probabilité

SondagesetEnquêtes

Chapitre1 Formalisationmathématiqued’un sondage Ce chapitre pose les bases de la théorie des sondage en introduisant le vo-cabulaire, la notion d’aléatoire spécificique aux sondages et les estimateurs

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

1 3 Notion de variable aléatoire Lorsque l’ensemble fondamental V est tout ou partie de l’ensemble des réels R, le concept d’événement aléatoire est remplacé par celui de variable aléatoire On distingue usuellement : 1 les variables aléatoires discrètes pour lesquelles l’ensemble Vest un ensemble discret de valeurs

Intervenants : GSaporta (CNAM), PPérié (IPSOS), SRousseau

SONDAGE ALÉATOIRE SIMPLE Estimation du total et de la moyenne: - estimateur de N - estimateur de T; Démonstration avec les variables de Cornfield y i=variable aléatoire; Y i= variable non aléatoire y Y Ey Y()= ENy T()= i sii s sii s δ ⎧ ∈ =⎨ ⎩ ∉ 1 0 () ( ( ;v)o)c ii ii i ij ijij E V δπ δ ππ δδπππ = =− =−1 l N ii ii

Sondage à probabilités inégales - unistrafr

L’estimateur du total T dans un sondage à probabilités inégales avec remise se définit par : Tb PIAR = 1 n Xn i=1 Yi Pi; où Yi est la variable aléatoire pour l’unité qui sera sélectionnée au i-ème tirage et Pi sa probabilité d’être sélectionnée à chaque tirage Myriam Maumy-Bertrand Sondage à probabilités inégales

T D n 5 Sondage à probabilités inégales

où et sont les «vrais» coefficients de régression mais inconnus de y sur x, ˇ k = nx k=X, x k est une variable de taille, et le tirage est un tirage proportionnel à la taille Par ailleurs, nous supposons que u k est «petit», c-est-à-dire que x«explique bien» y Dans ces conditions, que deviennent

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Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageSondage à probabilités inégales

Myriam Maumy-Bertrand

1 1

IRMA, Université de Strasbourg

Strasbourg, France

Master 1ère Année 06-11-2014

Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageRéférences

Ce chapitre s"appuie essentiellement sur deux ouvrages :

1" Manuel de Sondages »

de R. Clairin et P. Brion, téléchargeable à http:

1988_2002/manuels/pdf/manuels_cpd_03.pdf2" Méthodes statistiques des sondages »

de J.-M. Grosbras,

Economica, 1987.

Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageSommaire

1Principe

2Exemples

3Formules d"estimation pour un sondage PIAR

4Formules d"estimation pour un sondage PISR

5Méthodes de tirage

Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

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Méthodes de tiragePrincipe

Dans certains cas, nous pouvons décider d"accorder à certaines unités une probabilité plus forte d"être sélectionnées que d"autres.Remarque L"usage desondages à probabilités inégalesest particulièrement intéressant lorsque la plupart des variables sont liées par un effet de taille. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

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Méthodes de tirageSommaire

1Principe

2Exemples

3Formules d"estimation pour un sondage PIAR

4Formules d"estimation pour un sondage PISR

5Méthodes de tirage

Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageExemples

1Pour des enquêtes auprès des entreprises, nous pouvons

tirer les unités avec une probabilité proportionnelle, par exemple, à leur nombre de salariés, à leur chiffre d"affaires...2Le sondage à probabilités inégales est souvent utilisé au

premier degré d"un tirage à plusieurs degrés :tirage de communes avec probabilité proportionnelle à leur

populationpuis tirage de ménages ou d"individus au deuxième degré. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageRemarque

Sur les deux exemples précédents, nous remarquons que, la probabilité de tirage d"une unité est, en général, proportionnelle

à une mesure de taille.L"idée est simple!

Plus une unité est " grande », plus elle apporte de l"information. Par conséquent il est important de la sélectionner. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARSommaire

1Principe

2Exemples

3Formules d"estimation pour un sondage PIAR

4Formules d"estimation pour un sondage PISR

5Méthodes de tirage

Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

Principe

Exemples

Formules d"estimation pour un sondage PIAR

Formules d"estimation pour un sondage PISR

Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARRemarques

Dans ce chapitre et plus particulièrement dans ce paragraphe, nous traiterons lessondages à probabilités inégales avec remise(PIAR).Le cas dessondages à probabilités inégales sans remise(PISR) sera traité au paragraphe suivant de ce chapitre. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARDéfinition

Un sondage est dit à PIAR si chaque unité i de la population U a la probabilité P id"être tirée à chacun des tirages. De plus, souvent l"échantillon est de taille fixe n et nous avons : N X i=1P i=1:Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARRemarque

P iest souvent proportionnelle à une mesure de la taille de l"unitéi. SiXiest sa taille, alors nous choisissons : P i=Xi NX i=1X i! etNX i=1P i=1:Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARDéfinition

L"estimateur de la moyennedans un sondage à probabilités inégales avec remise se définit par : bPIAR=1nN n X i=1Y iP i; où Y iest la variable aléatoire pour l"unité qui sera sélectionnée au i-ème tirage et P isa probabilité d"être sélectionnée à chaque tirage. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARPropriété

Nous montrons, par calcul, quecet estimateur sans biais, i.e. :

E(bPIAR) =1nN

n X i=1N X k=1Y k=:Remarque Pour démontrer ce résultat, il suffit de noter que : E YiP i =NX kY k:Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARDéfinition

L"estimateur du total T dans un sondage à probabilités inégales avec remise se définit par : b

TPIAR=1n

n X i=1Y iP i; où Y iest la variable aléatoire pour l"unité qui sera sélectionnée au i-ème tirage et P isa probabilité d"être sélectionnée à chaque tirage. Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Méthodes de tirageEstimateur de la moyenne pour un sondage PIAR

Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARPropriété

Nous montrons, par calcul, quecet estimateur sans biais, i.e. :

EbTPIAR

=NX k=1Y k=T:Remarque

Savoir démontrer ce résultat.

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Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARPropriété

La variance debPIARest égale à :

Var(bPIAR) =1nN

2N X k=1P k Y kP k NX k=1Y k!! 2 1nN 2 NX k=1Y 2kP kT2! Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

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Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

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Comparaison avec les sondages PEARRemarque

Pour établir ce résultat, il suffit de noter que : Var YiP i =NX k=1P k Y kP k NX k=1Y k!! 2 Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Estimateur de la variance debPIAR

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Comparaison avec les sondages PEARPropriété

La variance de

bTPIARest égale à : Var bTPIAR =1n N X k=1P k Y kP k NX k=1Y k!! 2 1n NX k=1Y 2kP kT2! Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

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Comparaison avec les sondages PEARPropriété

La variance debPIARpeut être estimée sans biais à partir de l"échantillon par :

Var(bPIAR) =1N

2n(n1)n

X i=1 YiP ibTPIAR 2 Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

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Choix optimal desPk

Comparaison avec les sondages PEARPropriété

La variance de

bTPIARpeut être estimée sans biais à partir de l"échantillon par :

VarbTPIAR

=1n(n1)n X i=1 YiP ibTPIAR 2 Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Variance debPIAR

Variance debTPIAR

Estimateur de la variance debPIAR

Estimateur de la variance debTPIAR

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Comparaison avec les sondages PEARChoix optimal desPk:D"après la formule deVarbTPIAR , il est évident que la variance est nulle, c"est-à-dire minimale, si : P k=YkN X k=1Y k Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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Estimateur du total pour un sondage PIAR

Variance debPIAR

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Comparaison avec les sondages PEARRemarques

Bien entendu, nous ne connaissons pas toutes les

variablesYi(sinon il n"y aurait pas besoin de sondage), mais ce résultat montre que nous pouvons avoir des résultats très précis si lesPksont choisis en fonction d"une variable liée à la variableY.D"ailleurs G. Saporta dit dans son cours : " Tirage à probabilités inégales : une manière d"utiliser de l"information auxiliaire ».Exemple

Taille des entreprises pour une production.

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Comparaison avec les sondages PEARRappel de la variance du total dans le cas d"un tirage à PEAR : Var bTPEAR =N22n =1n NX k=1NY 2kT2! :Effet de sondage : comparaison avec le sondage à PEAR Var bTPEAR >VarbTPIAR ,NX k=1NY 2k>NX k=1Y 2k=Pk NX k=1Y

2k(1=Pk1=(1=N))<0:Myriam Maumy-BertrandSondage à probabilités inégales

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