Terminale ES - Probabilités conditionnelles
Terminale ES - Probabilités conditionnelles Created Date: 7/31/2015 11:26:00 AM
91 Les probabilités conditionnelles 92
deuxième niveau les probabilités conditionnelles Terminale ES Les probabilitésconditionnelles estla sommedes probabilités de ceschemins Terminale ES Les
Chapitre 15 Probabilités conditionnelles
Chapitre 15 Probabilités conditionnelles I Probabilités conditionnelles 1) Découverte des probabilités conditionnelles Dans un certain lycée, il y a 867 élèves répartis comme suit : Seconde Première Terminale Total Filles 203 116 161 480 Garçons 140 134 113 387 Total 343 250 274 867 On choisit un élève au hasard On note :
Probabilités conditionnelles - MATHEMATIQUES
Probabilités conditionnelles Probabilité de A sachant B Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée p B(A)(ou aussi p(A\B)) Elle est donnée par la formule p B(A)= p(A ∩B) p(B) On en déduit que p(A ∩ B
Exercices : probabilit´es conditionnelles
Terminale sp´ecialit´e Probabilit´es conditionnelles Exercices : probabilit´es conditionnelles Exercice 1 - On donne dans le tableau suivant, la r´epartition des adh´erents d’un club de bridge selon les crit`eres : V :« vaccin´e » G :« gripp´e » G non G total V 19 1 20 non V 21 9 30 total 40 10 50 On interroge un adh´erent au
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - maths et tiques
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I Exemple d’introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d’une maladie Certains sont traités avec le médicament A, d’autres avec le médicament B Le tableau présente les résultats de l’étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674
30 3 50 5 - lewebpedagogiquecom
Terminale ES – Exercices et problèmes sur probabilités conditionnelles, arbres de probabilités, variable aléatoire, indépendance et loi binomiale Corrigés Exercice 1 : 1) On effectue 5 fois un tirage dans les mêmes conditions Pour chaque tirage, on a deux issues possibles : « tirer une boule blanche » (avec une probabilité de
351 conditionnelle - ChingAtome
4 Introduction aux probabilités conditionnelles : Exercice 7127 Dans une expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B qui réalise la partition de l’univers représentée ci-dessous: A\ B E ectifs : 81 A\ B E ectifs : 54 A\ B E ectifs : 27 A\ B E ectifs : 18 1 Déterminer les probabilités suivantes: a P (A) b P (B) c P
PROBABILITÉS
PROBABILITÉS associé à une c’est la liste des une partie de l’univers Le tableau suivant donne la répartition des 150 stagiaires d’un séjour
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I. Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : " Le patient a pris le médicament A. » G : " Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à PA
455800
≈0,57=57% . La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à PG 674
800
≈0,84=84%
. La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A
383800
≈0,48=48%
. La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A
72800
=0,09=9%
. 2) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note P
G A et est égale à P G A 383674
≈0,57=57% . La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note P B G et est égale à P B G 291
345
≈0,84=84%
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note :
P A (B)II. Arbre pondéré Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo 1) Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont : - 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit
R∩G
est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :
P(R)= 20 502 5 =0,4
Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1. À partir du noeud "On tire une boule", on a :
0,4+P(R)=1
DoncP(R)=1-0,4=0,6
. b) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G)= 15 20 =0,75. Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin. On considère le chemin menant à
R∩G
. On a :P(R∩G)=0,4×0,75=0,3
c) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : P R (G)= 9 30=0,3 . Et donc
P(R∩G)=0,6×0,3=0,18
d) L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux chemins menant àR∩G
etR∩G
. Donc. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. 2) Utilisation d'un arbre pondéré Méthode : Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - sachant qu'un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - sachant qu'un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On note les événements :
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4M : " Être porteur de la maladie » T : " Avoir un test positif ». 1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 2) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010 1) 2) La probabilité que le test soit positif est associée aux événements :
M∩T
etM∩T
PM∩T
=0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2)PM∩T
=0,98 x 0,05 = 0,049P(T)=P(M∩T)+P(M∩T)
(règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 3) Propriété :
P A (B)=P(A∩B)
P(A) T MPT∩M
PT0,02×0,85
0,066 ≈0,26. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%. Le test n'est pas fiable ! Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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