Les nombres réels - Cours et exercices de mathématiques
Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J C ) le système de numération était en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a + b 60 + c 602 + On
NOMBRES RÉELS (Partie 1) - Maths & tiques
II Notions de nombres réels 1 Définition Un nombre est réel s’il est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée la droite numérique L'ensemble des nombres réels est noté ℝ C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde Exemples : 2, 0, -5, 0 67, " ’, √3 ou : appartiennent à ℝ 2
Chapitre 1 Nombres réels - Éditions Ellipses
Cours Cours 1 Ensemble R des nombres réels, droite numérique Défi niti on de l’ensemble R des nombres réels Tous les nombres qu’on uti lise en classe de Seconde s’appellent les nombres réels On note R l’ensemble des nombres réels Défi niti on de la droite numérique Chaque nombre réel est associé à un point d’une droite
Chapitre 4 CONSTRUCTION DES NOMBRES RÉELS
Construction des nombres entiers relatifs 4 4 4 4 Construction des nombres entiers relatifs Nous allons construire un groupe additif contenant un image de Net dont l™addition pro-longe celle de N Notre but est en fait de pouvoir rØsoudre toute Øquation de la forme x+b= a
Les nombres réels
Les nombres réels Pour moi, la mathématique, c’est la conquête du continu par le discret René Thom1 Il se peut qu’il n’y ait aucune utilité à savoir que π est irrationnel, mais si nous pouvons le savoir, il serait certainement intolérable de ne pas le savoir Edward Charles Titchmarsh2 1 Autres ensembles de nombres
L’ensemble des nombres réels R - MATHEMATIQUES
2 2 Nombres rationnels Définition 2 Les nombres rationnels sont les nombres de la forme a b, (a,b)∈ Z× N∗ L’ensemble des nombres rationnels se note Q Un nombre réel qui n’est pas un nombre rationnel est dit irrationnel On a déjà démontré que le nombre réel √ 2 n’était pas un nombre rationnel
NOMBRES RÉELS (Partie 2) - Maths & tiques
Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3] 0 1 Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles
PascalDELAHAYE 16novembre2017
Les nombres r´eels — MPSI Prytan´ee National Militaire PascalDELAHAYE 16novembre2017 1 Historique de la construction de R C’est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l’intuition de l’existence de nombres non rationnels apparaˆıt Hyppase de M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que √ 2 n’est pas un nombre rationnel
Cours d’Analyse Semestre 1
6 CHAPTER 1 LES NOMBRES REELS Et pourtant les rationnels sont loins d’^etre su sants, la diagonale d’un carr e de c^ot e 1 mesure p 2 qui n’est pas un rationnel C’est un r esultat qui avait d ej a et e remarqu e en Gr ece antique D emontrons-le Si p 2 est un rationnel a=b, que l’on peut toujours supposer ^etre sous forme r eduite
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Les nombres réels
?????"?????? ?? ??????? ??Q????RMotivationVoici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce
cours d"analyse.Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était en base60,
c"est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la formea+b60+c602+. On peut imaginer que pour les
applications pratiques c"était largement suffisant (par exemple estimer la surface d"un champ, le diviser en deux parties
égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement
avec des nombres rationnelsQ.Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent quep2n"entre pas ce cadre là. C"est-à-dire quep2ne
peut s"écrire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C"est un double saut conceptuel : d"une part concevoir quep2
est de nature différente mais surtout d"en donner une démonstration.Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombresp10et1,101=12. Le premier représente par
exemple la diagonale d"un rectangle de base3et de hauteur1; le second correspond par exemple au taux d"intérêt
mensuel d"un taux annuel de10%. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre à montrer quep10n"est pas un
nombre rationnel mais aussi à encadrerp10 et 1,101=12entre deux entiers consécutifs.
Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d"outils
beaucoup plus sophistiqués : une construction solide des nombres réels, l"étude des suites et de leur limites, l"étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la
fonctionf(x) =x210que la suite des rationnels(un)définie paru0=3etun+1=12 u n+10u ntend très vite versp10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de p10 et de certifier qu"elles sont exactes : LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ21. L"ensemble des nombres rationnelsQ
1.1. Écriture décimale
Par définition, l"ensemble desnombres rationnelsestQ=§pq
jp2Z,q2NªOn a notéN=Nnf0g.
Par exemple :
25;710 ;36 =12 .Les nombres décimaux, c"est-à-dire les nombres de la formea10 n, aveca2Zetn2N, fournissent d"autres exemples :
1,234=1234103=12341000
0,00345=345105=345100000
.Proposition 1.Un nombre est rationnel si et seulement s"il admet une écriture décimale périodique ou finie.Par exemple :
35=0,613 =0,3333... 1,179325 !325 !325 !...
Nous n"allons pas donner la démonstration mais le sens direct (=)) repose sur la division euclidienne. Pour la
réciproque ((=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 !2021 !...est un
rationnel.L"idée est d"abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres
après la virgule, donc on multiplie par 100 :100x=1234,2021 !2021 !... (1)
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d"une période, donc ici on multiplie encore par10000
pour décaler de 4 chiffres :10000100x=12342021,2021 !... (2)
Les parties après la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1)alors
les parties décimales s"annulent :10000100x100x=123420211234
donc 999900x=12340787 donc x=12340787999900Et donc bien sûrx2Q.
1.2. p2n"est pas un nombre rationnelIl existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellement
dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d"un carré de côté1est le nombre irrationnelp2; la
circonférence d"un cercle de rayon12estqui est également un nombre irrationnel. Enfine=exp(1)est aussi
irrationnel.1p2 1 2Nous allons prouver que
p2 n"est pas un nombre rationnel. LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ3Proposition 2.p2=2QDémonstration.Par l"absurde supposons quep2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp2Zetq2Ntels quep2=pq, de plus -ce sera important pour la suite- on suppose quepetqsont premiers entre eux (c"est-à-dire
que la fractionpq est sous une écriture irréductible).En élevant au carré, l"égalitép2=pqdevient2q2=p2. Cette dernière égalité est une égalité d"entiers. L"entier de
gauche est pair, donc on en déduit quep2est pair; en terme de divisibilité 2 divisep2.Mais si2divisep2alors2divisep(cela se prouve par facilement l"absurde). Donc il existe un entierp02Ztel que
p=2p0.Repartons de l"égalité2q2=p2et remplaçonsppar2p0. Cela donne2q2=4p02. Doncq2=2p02. Maintenant cela
entraîne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 diviseq.Nous avons prouvé que2divise à la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont premiers entre
eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse :p2 n"est pas un nombre rationnel.Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l"absurde.
Autre démonstration.Par l"absurde, supposonsp2=pq , doncqp2=p2N. Considérons l"ensembleN=n2Njnp22N.
Cet ensemble n"est pas vide car on vient de voir queqp2=p2Ndoncq2 N. AinsiNest une partie non vide deN,
elle admet donc un plus petit élémentn0=minN.Posons
n1=n0p2n0=n0(p21),
il découle de cette dernière égalité et de 1Il est bon de connaître les premières décimales de certains réelsp2'1,4142...'3,14159265...e'2,718...
Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique.Définition 1.
R=R[f1,1gMini-exercices.
1.Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un
rationnel. Montrer que l"inverse d"un rationnel non nul est un rationnel. Qu"en est-il pour les irrationnels?
2. Écrire les nombres suivants sous forme d"une fraction : 0, 1212;0, 1212 !...; 78,33456456 !... 3.Sachant
p2=2Q, montrer 23p2=2Q, 11p2 =2Q. 4.NotonsDl"ensemble des nombres de la formea2
naveca2Zetn2N. Montrer que13 =2D. Trouverx2Dtel que 1234Montrer que log 2=2Q(log2 est le logarithme décimal de 2 : c"est le nombre réel tel que 10log2=2).
LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER4
2. Propriétés deR
2.1. Addition et multiplication
Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Poura,b,c2Ron a : a+b=b+a ab=ba0+a=a1a=asia6=0
a+b=0()a=b ab=1()a=1b (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c) =ab+ac ab=0()(a=0 oub=0) On résume toutes ces propriétés en disant que :Propriété(R1).(R,+,)est uncorps commutatif.2.2. Ordre surRNous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d"ordre est générale et nous allons définir cette notion sur un
ensemble quelconque. Cependant gardez à l"esprit que pour nousE=RetR=6.Définition 2.SoitEun ensemble.
1. UnerelationRsurEest un sous-ensemble de l"ensemble produitEE. Pour(x,y)2EE, on dit quexest en relation avecyet on notexRypour dire que(x,y)2 R. 2.Une relation Rest unerelation d"ordresi
Restréflexive: pour toutx2E,xRx,
Restantisymétrique: pour toutx,y2E,(xRyetyRx) =)x=y, Resttransitive: pour toutx,y,z2E,(xRyetyRz) =)xRz.Définition 3. Une relation d"ordreRsur un ensembleEesttotalesi pour toutx,y2Eon axRyouyRx. On dit aussi que (E,R)est unensemble totalement ordonné.Propriété(R2). La relation6surRest une relation d"ordre, et de plus, elle est totale.Nous avons donc : pour toutx2R,x6x, pour toutx,y2R, six6yety6xalorsx=y, pour toutx,y,z2Rsix6yety6zalorsx6z.Remarque.
Pour(x,y)2R2on a par définition :
x6y()yx2R+ xLES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER5
On définit le maximum de deux réelsaetbpar : max(a,b) =¨asia>b bsib>a.Exercice 2.
Comment définir max(a,b,c), max(a1,a2,...,an)? Et min(a,b)?2.3. Propriété d"ArchimèdePropriété(R3, Propriété d"Archimède).
Restarchimédien, c"est-à-dire :
8x2R9n2Nn>x
" Pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x. »Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de définir la partie entière
d"un nombre réel :Proposition 3.Soit x2R, ilexisteununiqueentier relatif, lapartie entièrenotée E(x), tel que :E(x)6x Supposonsx>0, par la propriété d"Archimède (PropriétéR3) il existen2Ntel quen>x. L"ensemble On procède sur le même principe.112<1,10<212donc en passant à la racine12-ième (c"est-à-dire à la puissance Puisquex= (xy)+y,on a d"après la première inégalité :jxj=(xy)+y6jxyj+jyj. Doncjxjjyj6jxyj, et en intervertissant les rôles dexety, on a aussijyj jxj6jyxj. Commejyxj=jxyjon a doncjxjjyj6jxyj. Sur la droite numérique,jxyjreprésente la distance entre les réelsxety; en particulierjxjreprésente la distance Soita2Rnf0getx2Rtel quejxaj Même si cela semble évident il faut justifier qu"un intervalle ouvert est un intervalle (!). En effet soienta0,b0des entierspetqvérifiantqa un entierp. Il suffit pour cela que la longueurqbqa=q(ba)de l"intervalle dépasse strictement1, ce qui Passons à la rédaction définitive. D"après la propriété d"Archimède (propriétéR3), il existe un entierqtel que Partant dea,bréels tels quea r+p2est irrationnel, car sinon comme les rationnels sont stables par somme,p2=r+r+p2serait rationnel, ce On va déduire de l"existence d"un rationnel et d"un irrationnel dans tout intervalle]a,b[le fait qu"il existe une infinité de chaque dans un tel intervalle ouvert. En effet pour un entierN>1, on considère l"ensemble deN Chaque sous-intervalle contient un rationnel et un irrationnel, donc]a,b[contient (au moins)Nrationnels etN irrationnels. Comme ceci est vrai pour tout entierN>1, l"intervalle ouvert]a,b[contient alors une infinité de Montrer qu"une intersection d"intervalles est un intervalle. Qu"en est-il pour une réunion? Trouver une condition Construire un rationnel compris strictement entre123et123,001. Ensuite construire un irrationnel. Sauriez-vous Le plus grand élément s"appelle aussi lemaximumet le plus petit élément, leminimum. Il faut garder à l"esprit que n"a pas de plus grand élément : Supposons qu"il existe un plus grand élément=maxA. On aurait alorsun6, Comme pour le minimum et le maximum il n"existe pas toujours de majorant ni de minorant, en plus on n"a pas est laborne supérieuredeAsiest un majorant deAet si c"est le plus petit des majorants. S"il existe on le est laborne inférieuredeAsiest un minorant deAet si c"est le plus grand des minorants. S"il existe on le sup A=1 : en effet les majorants deAsont les éléments de[1,+1[. Donc le plus petit des majorants est 1. Toute partie deRnon vide et majorée admet une borne supérieure.De la même façon : Toute partie deRnon vide et minorée admet une borne inférieure. Remarque.C"est tout l"intérêt de la borne supérieure par rapport à la notion de plus grand élément, dès qu"une partie est bornée elle admet toujours une borne supérieure et une borne inférieure. Ce qui n"est pas le cas pour le plus grand ou plus petit élément. Gardez à l"esprit l"exempleA= [0,1[.Proposition 5(Caractérisation de la borne supérieure). Soit A une partie non vide et majorée deR. La borne supérieure de A est l"unique réelsupA tel queE(2,853) =2,E() =3,E(3,5) =4.
E(x) =3()36x<4.
Remarque.
On note aussiE(x) = [x].
Voici le graphe de la fonction partie entièrex7!E(x):xy 1 01y=E(x)2,853E(2,853) =2
Pour la démonstration de la proposition
3 il y a deux choses à établir : d"abord qu"un tel entier E(x)existe et ensuite qu"il est unique. Démonstration.
Existence.
LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER6
Le casx<0 est similaire.Exemple 2.
Encadronsp10 et 1,1
1=12par deux entiers consécutifs.
•Nous savons32=9<10donc3=p3 2
donc 4=p4 2>p10. Conclusion : 3
) on obtient : 1<1,11=12<2 et doncE1,11=12=1. 2.4. Valeur absolue
Pour un nombre réelx, on définit lavaleur absoluedexpar :jxj=¨xsix>0 xsix<0Voici le graphe de la fonctionx7! jxj:xy 1 01y=jxjProposition 4.
1.jxj>0;jxj=jxj;jxj>0()x6=0
2.px 2=jxj 3.jx yj=jxjjyj
4.Inégalité triangulairejx+yj6jxj+jyj5.Seconde inégalité triangulairejxjjyj6jxyjDémonstration des inégalités triangulaires.
jxj6x6jxjetjyj6y6jyj. En additionnant(jxj+jyj)6x+y6jxj+jyj, doncjx+yj6jxj+jyj. De plus on a :
jxajExercice 3.
1.On munit l"ensembleP(R)des parties deRde la relationRdéfinie parARBsiAB. Montrer qu"il s"agit d"une
relation d"ordre. Est-elle totale? 2. Soient x,ydeux réels. Montrer quejxj>jx+yjjyj.
3. Soient x1,...,xndes réels. Montrer quejx1++xnj6jx1j++jxnj. Dans quel cas a-t-on égalité? 4. Soient x,y>0 des réels. ComparerE(x+y)avecE(x)+E(y). ComparerE(xy)etE(x)E(y). 5. Soit x>0 un réel. EncadrerE(x)x
. Quelle est la limite deE(x)x lorsquex!+1? 6. On notefxg=xE(x)lapartie fractionnairedex, de sorte quex=E(x)+fxg. Représenter les graphes des fonctionsx7!E(x),x7! fxg,x7!E(x)fxg.3. Densité deQdansR 3.1. IntervalleDéfinition 4.
Unintervalle deRest un sous-ensembleIdeRvérifiant la propriété : 8a,b2I8x2R(a6x6b=)x2I)Remarque.
Par définitionI=?est un intervalle.
I=Rest aussi un intervalle.Définition 5.
Unintervalle ouvertest un sous-ensemble deRde la forme]a,b[=x2Rja3.2. Densité
Théorème 1.
1.QestdensedansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une infinité de rationnels.
2.RnQest dense dansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une infinité d"irrationnels.Démonstration.
On commence par remarquer que tout intervalle ouvert non vide deRcontient un intervalle du type ]a,b[,a,b2R. On peut donc supposer queI=]a,b[par la suite. LES NOMBRES RÉELS4. BORNE SUPÉRIEURE8
1.Tout intervalle contient un rationnel.
On commence par montrer l"affirmation :
8a,b2R(a
6a+1q équivaut àq>1ba.
2.Tout intervalle contient un irrationnel.
4.1. Maximum, minimumDéfinition 7.
SoitAune partie non vide deR. Un réelest unplus grand élémentdeAsi : 2Aet8x2A x6.
S"il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors maxA. Leplus petit élémentdeA, noté minA, s"il existe est le réeltel que2Aet8x2A x>. LES NOMBRES RÉELS4. BORNE SUPÉRIEURE9
Exemple 3.
max[a,b] =b, min[a,b] =a. L"intervalle]a,b[n"a pas de plus grand élément, ni de plus petit élément. L"intervalle[0,1[a pour plus petit élément 0 et n"a pas de plus grand élément. Exemple 4.
SoitA=11n
jn2N.Notonsun=11npourn2N. AlorsA=unjn2N. Voici une représentation graphique deAsur la droite numérique :0=u11 2 =u21u 3u 4u 51.A
6donc>11n. À la limite lorsquen!+1cela implique>1. Commeest le
plus grand élément deAalors2A. Donc il existen0tel que=un0. Mais alors=11n 0<1. Ce qui est en
contradiction avec>1. DoncAn"a pas de maximum. 2. min A =0: Il y a deux choses à vérifier tout d"abord pourn=1,u1=0donc02A. Ensuite pour toutn>1,un>0. Ainsi minA=0.
4.2. Majorants, minorantsDéfinition 8.
SoitAune partie non vide deR. Un réelMest unmajorantdeAsi8x2A x6M. Un réelmest unminorantdeAsi8x2A x>m.Exemple 5.
3 est un majorant de]0,2[;
7,,0 sont des minorants de]0,+1[mais il n"y a pas de majorant.
Si un majorant (resp. un minorant) deAexiste on dit queAestmajorée(resp.minorée). Exemple 6.
SoitA= [0,1[.[
0[ 1Aminorantsmajorants
1. les majorants de Asont exactement les éléments de[1,+1[, 2. les minorants de Asont exactement les éléments de]1,0]. 4.3. Borne supérieure, borne inférieureDéfinition 9.
SoitAune partie non vide deRetun réel.
1. LES NOMBRES RÉELS4. BORNE SUPÉRIEURE10
Exemple 7.
SoitA=]0,1].
1. Exemple 8.
sup[a,b] =b, inf[a,b] =a, sup]a,b[=b, ]0,+1[n"admet pas de borne supérieure, inf]0,+1[=0.Théorème 2(R4).