Les nombres réels - Cours et exercices de mathématiques
Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J C ) le système de numération était en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a + b 60 + c 602 + On
NOMBRES RÉELS (Partie 1) - Maths & tiques
II Notions de nombres réels 1 Définition Un nombre est réel s’il est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée la droite numérique L'ensemble des nombres réels est noté ℝ C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde Exemples : 2, 0, -5, 0 67, " ’, √3 ou : appartiennent à ℝ 2
Chapitre 1 Nombres réels - Éditions Ellipses
Cours Cours 1 Ensemble R des nombres réels, droite numérique Défi niti on de l’ensemble R des nombres réels Tous les nombres qu’on uti lise en classe de Seconde s’appellent les nombres réels On note R l’ensemble des nombres réels Défi niti on de la droite numérique Chaque nombre réel est associé à un point d’une droite
Chapitre 4 CONSTRUCTION DES NOMBRES RÉELS
Construction des nombres entiers relatifs 4 4 4 4 Construction des nombres entiers relatifs Nous allons construire un groupe additif contenant un image de Net dont l™addition pro-longe celle de N Notre but est en fait de pouvoir rØsoudre toute Øquation de la forme x+b= a
Les nombres réels
Les nombres réels Pour moi, la mathématique, c’est la conquête du continu par le discret René Thom1 Il se peut qu’il n’y ait aucune utilité à savoir que π est irrationnel, mais si nous pouvons le savoir, il serait certainement intolérable de ne pas le savoir Edward Charles Titchmarsh2 1 Autres ensembles de nombres
L’ensemble des nombres réels R - MATHEMATIQUES
2 2 Nombres rationnels Définition 2 Les nombres rationnels sont les nombres de la forme a b, (a,b)∈ Z× N∗ L’ensemble des nombres rationnels se note Q Un nombre réel qui n’est pas un nombre rationnel est dit irrationnel On a déjà démontré que le nombre réel √ 2 n’était pas un nombre rationnel
NOMBRES RÉELS (Partie 2) - Maths & tiques
Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3] 0 1 Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles
PascalDELAHAYE 16novembre2017
Les nombres r´eels — MPSI Prytan´ee National Militaire PascalDELAHAYE 16novembre2017 1 Historique de la construction de R C’est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l’intuition de l’existence de nombres non rationnels apparaˆıt Hyppase de M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que √ 2 n’est pas un nombre rationnel
Cours d’Analyse Semestre 1
6 CHAPTER 1 LES NOMBRES REELS Et pourtant les rationnels sont loins d’^etre su sants, la diagonale d’un carr e de c^ot e 1 mesure p 2 qui n’est pas un rationnel C’est un r esultat qui avait d ej a et e remarqu e en Gr ece antique D emontrons-le Si p 2 est un rationnel a=b, que l’on peut toujours supposer ^etre sous forme r eduite
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frNOMBRES RÉELS - Chapitre 1/2
Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu.be/kL-eMNZiARMPartie 1 : Nombres entiers
Vidéo https://youtu.be/HMY31orMLjs
1. Nombres entiers naturels
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.0;1;2;3;4;...
Exemples :
4 ∈ ℕ (4 appartient à l'ensemble des entiers naturels)
-2 ∉ℕ (-2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels)2. Nombres entiers relatifs
Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... Partie 2 : Nombres décimaux, nombres rationnels1. Nombres décimaux
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3 ∈ ⅅ ∉ ⅅ car ≈ 0,3333... ∈ ⅅ car =0,75Remarque :
Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10.Par exemple :2,36 =
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres rationnels
Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.Exemples :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI
Démontrons que le nombre rationnel
n'est pas décimal. On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ
est fausse.Supposons donc que
est décimal. Alors il peut s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10. Soit avec entier et entier naturel.Donc 10
=3 et donc 10 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimalPartie 3 : Notion de nombres réels
1. Nombres irrationnels
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.Exemples :
2,3 ou encore sont des nombres irrationnels.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.Remarque :
Il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. Les décimales qui le
constituent sont en nombre infini et se suivent sans suite logique.3 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres réels
Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.Exemples :
2, -5, 0.67,
3 ou appartiennent à ℝ.
Remarques :
• Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite
numérique. • ℝ est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en classe de seconde. Démonstration au programme : Irrationalité de 2Vidéo https://youtu.be/oRcTlNh1Sjc
On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est
fausse.Supposons donc que
2 est un rationnel.Il s'écrit alors
2 = avec et entiers naturels premiers entre eux, non nul.Ainsi :
= 2 soit =2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.En effet, si était impair, alors
serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque est pair, il existe un entier naturel tel que =2.Comme,
=2On a :
2
=2Soit : 4
=2Soit encore
=2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.Or, et sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une
absurdité. Donc,2 n'est pas un rationnel. Et donc,
2 est un irrationnel.
" Les nombres entiers permettent de compter, les nombres réels permettent de mesurer. »4 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 4 : Classification des nombres
La classification des nombres :
Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM
On a également les inclusions suivantes :
Méthode : Reconnaître la nature d'un nombre
Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? 1) - 2)3) 1,333 4)
36 5)
6 6)5 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
1) - =-0,25Donc -
∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini. 2) ≈0,3333... Donc s'écrit uniquement sous forme d'une fraction et ne peut pas s'écrire sous forme décimale.3) 1,333 ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.
4) 36=6Donc