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L’ensemble des nombres réels R - MATHEMATIQUES

L’ensemble Rest muni d’une addition +et d’une multiplication × telles que Théorème 1 (R,+,×)est un corps commutatif On a déjà expliqué qu’ils existe différents types de nombres réels Redécrivons les différents ensembles de nombres • L’ensemble des entiers naturel N • L’ensemble des entiers relatifs Z

L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS - bagbouton

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L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS - bagbouton – PTSI

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Ensemble des réels, suites usuelles

1 Ensemble des nombres réels 1 1 Théorème de la borne supérieure Soit Aun sous-ensemble de R Un majorant (resp minorant ) de Aest un élément Mde R tel que 8x2A; x6 M(resp x> M) : Dé nition (Majorant, minorant) Soit Aun sous-ensemble de R On dit que Mest le maximum (resp minimum ) de Asi M2Aet 8x2A; x6 M(resp x> M) :

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Ensemble des réels et intervalles I Différents ensembles de nombres I 1 Ensemble des nombres réels Définition : L'ensemble de tous les nombres est appelé l'ensemble des nombres réels On le désigne par le symbole ℝ Remarque : La notation "∈ℝ signifie "x appartient à l'ensemble ℝ", donc "x est un nombre réel" Remarque :

Chapitre 1 : Ensemble des réels I Nombres réels

des points don l’asisse n’est pas un n ombre rationnel Ensemble des réels L’ensem le de tous les asisses possiles d’une droite graduée est appelé ensemble des réels On le note ℝ Remarques : Toutes les longueurs de segments, d’ar de erles peuvent être exprimées à l’aide de réels −3 Ðℝ 1,7 Ðℝ √1 3

TD1 d’Analyse Ensemble des réels DUMI2E

Ensemble des réels DUMI2E Le signe signale les exercices qu’il faut absolument savoir faire Exercice 1 : Relations d’ordre 1 Montrer que la relation

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L"ensembledesnombresréelsR

Planduchapitre

Ducrabegelé1

1L"ensembledesnombresréels

i. OM=x i. OM=x i. mesurern"importequellelongueur. OM x i

•L"ensembledesentiersnaturelN.

•L"ensembledesentiersrelatifsZ.

n 10 p oùn?Zetp?N. a b où(a,b)?Z×N Ona N? Z? D? Q? R.

1.2InégalitésdansR

?(a,b)?R 2 ,(a?b?b-a?R

•?(a,b,c)?R

3 ,(a?b?a+c?b+c).

•?(a,b,c)?R×R×R

,(a?b?ac?bc). ?(a,b,c,d)?R 4 ,((a?betc?d)?a+c?b+d). ?(a,b,c,d)?R 4 ,((0?a?bet0?c?d)?ac?bd).

Démonstration.

4

Ducrabegelé2

4 a?betc?d??a-c?b-d. a?betc?d?a?bet-d?-c?a-d?b-c. etonretranchelemoinspossible.

0?a?bet0 a c b d 1 x sur]0,+∞[)

0?a?bet0 1 d 1 c a d b c a d 0 xy |x-y|

Parexemple,d(2,3)=|2-3|=3-2=1.

•?x?R,d(x,0)=|x|=Max{x,-x}.

•?(x,y)?R

2 ,d(x,y)=0?x=y.

•?(x,y)?R

2 ,d(x,y)=d(y,x).

•?(x,y,z)?R

3

•pourx

0 ?Retr?0,[x 0 -r,x 0 +r]={x?R/|x-x 0 |?r};

•pourx

0 ?Retr>0,]x 0 -r,x 0 +r[={x?R/|x-x 0 |•]-∞,+∞[=R.

Ducrabegelé3

1.4LadroitenumériqueachevéeR

R=[-∞,+∞].

2Décimauxetrationnels

n 10 p ,(n,p)?Z×N. p xsoitunentier relatif. p estunseultelque n p 10 p ?x< n p 10 p 1 10 p

Lenombredécimald

p n p 10 p -p pardéfautetlenombredécimal d p 1 10 p estl"approximationdécimaledexà10 -p parexcès. n 10 p ?x< n 10 p 1 10 p ?n?10 p x