[PDF] Le second degré

Le second degré

forme canonique de P 2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1 3Forme canonique du trinôme Soit un trinôme du second degré : P(x) = ax2 + bx + c On factorise par a, cela donne : P(x) = a x2 + b a x + c a Paul Milan 3 sur21Première S

Le second degré - AlloSchool

forme canonique de P2(x) On ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1 3 Forme canonique du trinôme Soit un trinôme du second degré : P(x)=ax2 +bx +c On factorise par a 6= 0, cela donne : P(x)=a x2 + b a x + c a x2 + b a x est le début de x + b 2a 2 =x2 + b a x + b2 4a2 Cela donne : =a x2 + b a x + b2 4a2 − b2 4a2 + c a

Le second degré

Forme canonique Résolution d’une équation du second degré Factorisation Signe du trinôme ax2 + bx + c Forme canonique Définition : forme canonique Pour tout trinôme ax2 +bx+c avec a 6= 0 , on peut trouver deux réels α et β tels que, pour tout réel x, ax2 +bx +c = a(x −α)2 +β avec α = − b 2a et β = f Å − b 2a ã L

Exercice 2 (6 points) - MathémaTICE

Classe de 1ère S Devoir surveillé de mathématiques 05/10/11 Exercice 1 (7 points) 1 Écrire sous forme canonique le trinôme suivant : f (x)=2x2–4x−6 2 Factoriser le trinôme suivant :

FONCTIONS Second Degré (I) Fonctions de degré 2, forme

Cette forme est appelée forme canonique du trinôme ; elle est unique Application 1 : Déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré : Déterminer la forme canonique de P( x ) = -2 x ² + 5 x – 4

Polynôme du second degré - M Philippe

• Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations) Démonstration • Résolution de l’équation du second degré Approfondissements possibles

Polyn mes du second degr - Free

3 En d´eduire la forme canonique de f(x) O × × × A B S Exercice 7 - Le propri´etaire d’un cin´ema de 1000 places estime, pour ses calculs, qu’il vend 300 billets `a 7epar s´eance Il a constat´e qu’`a chaque fois qu’il diminue le prix du billet de 0,10 e, il vend 10 billets de plus Il engage une campagne de promotion 1

Première S - Trinôme du second degré - Equation du second degré

2) Forme canonique Soit la fonction définie sur 9 par : ;= ² E E , avec a M 0 , un polynôme du second degré Comme a 0 , pour tout réel , on a = d ² E E h Or ² E = E ² F ² ² Donc : ; = e l E ² F Û Û et enfin : ; = e l E p² F Û Ý Û i Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme

Première générale - Polynômes du second degré - Exercices

Ecrire une fonction def factorisation(a,b,c) qui retourne la forme factorisée d’un trinôme du second degré 4 Ecrire une fonction def signe(a,b,c) qui retourne le signe d’une fonction trinôme du second degré 5 Ecrire une fonction def canonique(a,b,c) qui retourne la forme canonique d’une fonction trinôme du second degré Exercice

Exercices algèbre 1 S

Faux: si on met sous forme canonique x x x x2 2 24 3 ( 2) 4 3 ( 2) 1, donc le sommet est S(2 ; 1) 6 Faux: j’ai honte d’avoir posé cette question 2-5 : Mises en équation Dangereux Un touriste se déplace dans un métro en utilisant un tapis roulant de 300 m de longueur dont la vitesse de translation est de 4 km/h

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Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

2

1.1 Le trinôme du second degré

2

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

2

1.3 Forme canonique du trinôme

3

2 Racines du trinôme

4

2.1 Définition

4

2.2 Le discriminant est positif

5

2.3 Le discriminant est nul

5

2.4 Le discriminant est négatif

6

2.5 Conclusion

6

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

7

3.1 Factorisation du trinôme

7

3.2 Somme et produit des racines

8

3.3 Application

8

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

9

4.1 Le discriminant est positif

9

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

10

4.3 Conclusion

10

5 Représentation du trinôme

11

6 Équation paramètrique

12

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

13

7.1 Équation rationnelle

13

7.2 Inéquation rationnelle

14

7.3 Équation bicarrée

15

7.4 Équation irrationnelle

16

7.5 Somme et produit de deux inconnues

16

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

17

8.1 Problème de résistence équivalente

17

8.2 Un problème de robinet

18

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x)=x2+2x8

P

2(x)=2x2+3x14

P

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un terme

puis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P

1(x)=x2+2x+118

=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P

2(x)=2

x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916

Cela donne :

=2 x 2+32 x+916 916
7! =2266664 x+34 2 916

7377775

=2266664 x+34 2 12116
3

77775forme canonique deP2(x)

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 114

2377775

=2 x+34 114
x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P

1(x)=x24x+5

on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3

Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+c

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.

Cela donne :

=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775
=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Théorème 1 :

La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x)=a266664

x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax

2+bx+c=0Définition 3 :

On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a

266664

x+b2a! 2 4a23

77775=0

Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

x+b2ap

2a=0oux+b2a+p

2a=0

On obtient alors :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p

2a=3+114

=2 x 00=bp

2a=3114

=72

On conclut par :

S=( 72
;2)

2.3Lediscriminantestnul

Comme le discriminantest nul, la forme canonique correspond à un carré parfait. Elle se factorise en : a x+b2a! 2 =0

On obtient alors qu"une seule solution :

x

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

Exemple : Résoudre dansR:3x218x+27=0

On calcule:

=b24ac =1824327 =324324 =0 Commeest nul, il n"existe qu"une seule solutionx0: x

0=b2a=186

=3

On conclut par :

S=f3g

2.4Lediscriminantestnégatif

Comme le discriminantest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.Exemple : Résoudre dansR:x2+4x5=0

On calcule:

=b24ac =424(1)(5) =1620 =4 Commeest négatif, il n"y a pas de solution. On conclut par : S=?

2.5Conclusion

Théorème 2 :

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant =b24ac. 1.

Si >0il existe deux racines :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2a 2. Si =0il n"existe qu"une racine (appelée racine double) - : x 0=b2aquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48