Problèmes d’optimisation
type d’extrémum à l’aide du test de la dérivée seconde ou en utilisant un tableau de variation 7 1 1Étapes à suivre pour résoudre un problème d’optimisation 1 Illustrer la situation si possible 2 Identifier ce qui varie dans le problème, associer des variables à grandeurs 3 Identifier la quantité à optimiser
VIII Applications de la dérivée Modélisation 1 Problèmes d
4/01/2014 CNDP Erpent - Applications de la dérivée - Modélisation VIII - 1 VIII Applications de la dérivée Modélisation 1 Problèmes d'optimisation 1 1 Exemple introductif On fabrique une boîte sans couvercle avec un morceau de carton carré de côté a Pour cela, on enlève des carrés
Applications des dérivées
constitue un problème d'optimisation Plan de résolution Voici la marche à suivre pour résoudre un problème d'optimisation : 1 Exprimer la quantité variable Q à rendre optimale (maximale ou minimale) comme fonction d'une ou de plusieurs variables 2 Si Q dépend de plus d'une variable, disons n variables, trouver (n–1) équations liant
Chapitre 7: Optimisation
Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables Déterminer ces valeurs constitue ce que l’on appelle un problème d’optimisation Plan de résolution
Optimisation dune fonction dune variable
on dit que l’on a un problème d’optimisation La fonction f est x 7x3 admet une dérivée nulle en 0 mais ce n’est pas un extremum) Si f0(x) = 0, on dit
Correction du devoir surveillé : fonction dérivée et optimisation
3 Problème : maximiser le bénéfice (ˇ9 points) On s’intéresse au résultat net d’une entreprise qui détient le monopole de la fabrica-tion et de la vente d’un objet 3 1 Modélisation Comme l’entreprise est seule sur le marché, elle peut fixer le prix en fonction de la demande
Fonctions et derivation problemes - Free
= signale un problème d'après un sujet du Bac 3 Déterminer, par le calcul, l'équation de la droite (CD) 4 Calculer l'ordonnée du point D 5 Tracer le segment [CD] dans le plan rapporté au repère précédent Une entreprise de confection produit différents articles de sport Les charges C (en euros) de cette entreprise dépendent
Première ES Exercices application de la dérivation
Exercice 2 : Optimisation d’une production Dans une entreprise la quantité journalière produite en tonnes est exprimée par f(x) = 4x² - 36x x - 12 où x est la durée journalière de travail de la main d’œuvre exprimée en heures avec x inférieur à 9 1) Vérifier que f’(x) = 4(x – 6)(x – 18) (x – 12)²
La fonction dérivée
1 UN PROBLÈME HISTORIQUE 1 Un problème historique La notion de fonction dérivée est liée à la notion de fonction et de limite Lorsque Newton(1643-1727
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Chapitre 7
Problèmes d"optimisation
7.1Optimisation Un problème d"optimisation est un problème où on veut déterminer un résultat"optimal»,
c"est à dire maximum ou minimum. Dans un problème d"optimisation, on cherche à détermi- ner quand une certaine quantité (distance, temps, hauteur, longueur, etc) qui en relation avec d"autres quantité attend un maximum ou un minimum selon les valeurs des autres quantités.Le plan général est d"utiliser les concepts développés pour analyser des fonctions dans le
chapitre précédent. Il faut dont exprimer la quantité à optimiser en fonction d"une autre
quantités. Dans les cas que nous étudierons dans ce cours, cette fonction sera toujours unefonction d"une seule variable. Une fois cette fonction déterminée, on utilise le théorème de
Fermat généralisé pour trouve ses minimum et maximums. On complète en déterminant letype d"extrémum à l"aide du test de la dérivée seconde ou en utilisant un tableau de variation.
7.1.1 Étapes à sui vrepour résoudr eun pr oblèmed"optimisation 1.Illustrer la situation si possible.
2. Identifier ce qui v ariedans le problème, associer des v ariablesà grandeurs. 3.Identifier la quantité à optimiser .
4. Exprimer les relations entre les di érentes quantités du problème. 5. Exprimer la quantité à optimiser en fonction des grandeurs v ariables. 6. Utiliser la ou les contraintes pour réduire le nombre de variable exprimant la quantitéà optimiser à une seule variable.
7. T rouverles v aleurscritiques de la fonction trouvée. 8. Déterminer si la fonction a un maximum ou un minimum pour les diérentes valeurs critiques trouvées. 1537.2Exemples illustrant di érents types de problème
d"optimisationExemple 7.1.Problème :Trouver deux nombresxetytels quex+2y=10et leur produit est maximum. Solution : sixetysont les deux nombres, on veut optimiser leur produitxy. Commexetydoivent satisfaire la contraintex+2y=10, on doit avoir que y=10x2 Avec cette contrainte, on peut exprimer le produitxyuniquement en fonction dex:P(x)=xy=x10x2
=10xx22Il faut donc optimiser la fonctionP(x).
On dériveP(x) pour trouver les valeurs critiques : P0(x)=102x2
=5x:La seule valeur critique est donc :
P0(x)=0()x=5:
On utilise le test de la dérivée seconde pour déterminer si on a un minimum ou un maximum enx=5. La dérivée seconde estP00(x)=1, donc P00(5)=1<0:
Le produit est donc maximum enx=5.
Les deux nombres cherchés sontx=5 et
y=1052 =52 :154 Note 7.1.Si un point est sur le graphe d"une fonctionf, les coordonnées de ce point sont (x;y)avecy=f(x).xf(x)( x;y)Exemple 7.2. Problème :Déterminer l"aire du plus grand rectangle pouvant être inscritsous le graphe de la fonction f(x)=4x2, comme dans la figure ci-dessous.xf(x)Solution : nommonsxetyles dimensions du rectangle :xyx(x;y)x
L"aire du rectangle à optimiser estA=xy. On considère quex0ety0pour des raisons géométriques. Comme le point(x;y)est sur le graphe de la fonctionf, nous avons la contrainte que la coordonnéeyestf(x)=9x2. En utilisant cette contrainte, on peut exprimer l"aire à optimiser uniquement en fonction dex:A(x)=xy=x9x2=9xx3:
On doit donc optimiser la fonctionA(x). On cherche ses valeurs critiques : A0(x)=93x2
A0(x)=0()93x2=0()x=r9
3 =p3: Comme on veut quex0, on considère uniquement la valeur critiquex=p3. 155On détermine si on a un maximum ou un minimum enx=p3à l"aide du test de la dérivée seconde. A
00(x)=6x;
A 00p3 =6p3<0: Comme la dérivée seconde est négative,A(x)atteint un maximum enx=p3. L"aire du plus grand rectangle est donc A p3 =9p3p3 3=p3 9p3 2 =6p3:Note 7.2. La distance entre deux points points du plan est déterminée par la relation dePythagore :
(x2x1)(y2y1)xyExemple 7.3.
Problème :déterminer le point de la courbey=pxqui est le plus près du point(4;0).(4;0)(x;y)d xy Solution : soit(x;y)un point sur la courbe donnée. Commexetysatisfont la contrainte y=pxparce que le point(x;y)est sur le graphe de la fonctionf(x)=px, la distance entre (x;y) et (4;0) est d(x)=q(4x)2+y2=p(4x)2+x:156 On dérive cette fonction pour trouver ses valeurs critiques : d0(x)=2(4x)(1)+12
p(4x)2+x=2x72 p(4x)2+x:On cherche les valeurs critiques : on a qued0(x)=0si et seulement si2x7=0. La seule valeur critique estx=7=2.On fait un tableau de variation pourd(x) :x
72d
0(x) - 0+d(x)%MAX&On a bien un minimum enx=7=2. Le point cherché est donc
(x;y)=0BBBBB@72 ;r7 2 1CCCCCA:Exemple 7.4.
Question :on a100 mde clôture. Déterminer l"enclos de plus grandesuperficie que l"on peut faire le long d"un mur avec cette clôture.Solution : On utilise les 100 m de clôture comme dans la figure suivante.
yx yA On veut maximiserA=xy; pour des raisons géométriques, on veut quex0 ety0. La longueur totale de clôture est 100, on a donc la contrainte x+2y=100:Si le côté parallèle au mur est de longueurx, chacun des deux autres côtés doit être
de longueury=502x. On peut donc exprimer l"aire à maximiser en fonction dex uniquement.A(x)=x(1002x)=100x2x2:
On cherche les valeurs critiques deA(x). La dérivé deA(x) est A0(x)=100x2x20=1004x:157
On détermine les valeurs critiques :
A0(x)=0()1004x=0()x=25:On détermine si on a un maximum ou un minimum enx=25à l"aide du test de la dérivée
seconde. On a queA00(x)=4, donc A00(25)=4<0:
Donc, par le test de la dérivée seconde, on a bien un maximum.Exemple 7.5. Problème :on cherche le volume maximum d"une boîte à base carrée de surface48m2.x xh Solution : la surface d"une telle boite estS=2x2+4hx, oùhest la hauteur de la boite etx le côté de la base. Comme la surface doit être de 48m2, on a la contrainte suivante.
48=2x2+4hx:
Le volume de la boîte estV=hx2. Comme la contrainte permet de déterminer la hauteur en fonction du côtéx, le volume peut être donnée en fonction du côtéxuniquement.En isolanthdans la contrainte, on obtient que
h=482x24x:Le volume est donc
V(x)=hx2=482x24xx2=x482x24
On cherche donc à maximiserV(x). La dérivée deV(x) est V0(x)=14
(482x2)+x(4x) 14 (482x2)4x2 14 486x232
8x2
On trouve donc que
V0(x)=0()8x2=0()x=p8=2p2:158
Commexest la longueur du côté de la boite, on ne considère que la solution positive x=2p2. Pour déterminer si on a un minimum ou un maximum enx=2p2, on calcule la dérivée seconde : V00(x)=32
(2x)=3x:Enx=2p2, on a que
V 002p2 =3(2)p2<0: Par le test de la dérivée seconde, on a donc un maximum enx=2p2. Le volume maximum est donc V 2p2 =2p24822p2
24=p2(482(8))2 =16p2:Note 7.3.La vitesse est v=dt: Dans certains problèmes d"optimisation, il est utile d"isoler le temps de parcours en fonction de la vitesse et de la distance. t=dv :Exemple 7.6. Pour rejoindre un camp lors d"une expédition, on doit traverser une rivière de21mde large et ensuite marcher le long de la rivière jusqu"au camp. Le camp est sur
l"autre rive à100mde distance le long de la rivière. Si on peut traverser la rivière à une
vitesse de1m=set que l"on marche sur le sentier le long de la rivière à une vitesse de2m=s quel est le trajet le plus rapide?Camp