Problèmes ouverts en Théorie des nombres
Le problème de Goldbach Tout nombre pair (supérieur à4) est-il la somme de deux nombres premiers? C’est un problème très voisin du précédent, les mêmes méthodes s’appliquent avec les mêmes résul-tats Ce qui est frustrant c’est que lenombrede décompositions en somme de deux premiers devient très vite grand, mais on ne sait pas
Réflexion sur la résolution de problèmes ouverts
nombre entier Problème n° 74 Division euclidienne Situations proposées dans les défis mathématiques de l’IREM de Toulouse, 2013 Problème n° 75 Position des chiffres d’un nombre entier Problème n° 76 Repérage dans le plan Logique Problème n° 77 Multiples de 9 et 5 Relation additive Problème n° 78 Relation additive
PROBLÈMES OUVERTS (doc 16) - ac-bordeauxfr
Problèmes ouverts - Page 2 sur 5 Dans l'introduction des programmes de seconde (cf BO n° 2 du 30 août 2001,p31)',on peut lire: « Chercher, trouver des résultats partiels, se poser des questions, appliquer des techniques bien comprises, étudier une
NOM : Problèmes ouverts 4ème
Sur une table, il y a un livre ouvert 1) Si j’ajoute le nombre indiquant le numéro de la page gauche avec celui qui indique le numéro de la page de droite, je trouve 129 À quelles pages le livre est-il ouvert? 2) Si je trouve 273, à quelles pages le livre est-il ouvert? 3) Peut-on trouver 300? Justifie ta réponse D LE FUR 19/ 50
Problèmes de la semaine (CM2)
nombre Maitriser la notion de parité Je suis un nombre entier composé de cinq chiffres sachant que : Tous les chiffres sont différents Je suis un nombre pair Les chiffres sont écrits en suivant l’ordre décroissant Le chiffre des dizaines est le double de celui des unités
Somme de 3 entiers consécutifs (tous niveaux du collège)
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SITUATIONS PROBLEMES POUVANT ETRE PROPOSEES A DES CYCLES 3 ET
Problème ouvert 2 - Lasalledespectacle Cette activité n'a été testée qu'au cycle 3 Énoncé Le conseil municipal d'une ville fait construire une salle de spectacle de 1050 places Les 1050 fauteuils ont été disposés en rangées de 42 places et numérotées de 1 à 1050 (le numéro 43 étant derrière le numéro 1 et ainsi de suite)
Problèmes Résoudre des problèmes dont la résolution implique
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t elscouples : leur rech ercheest un e xerciceam usant.
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1Problèmes ouverts en
Théorie des nombres
Henri Cohen
Institut de Mathématiques de Bordeaux
4 juin 2009, Bordeaux
2Introduction
La théorie des nombres (ou arithmétique) s"occupe principalement des propriétés des nombres entiers . Bien que son sujet d"étude soit tout à fait élémentaire, les outils qu"elle utilise proviennent de toutes les branches des mathématiques, sont souvent très profonds, et as- sez fréquemment les outils sont en fait créés dans le b utde résou dre des problèmes de théorie des nombres : l"un des exemples les plus frappants est la théorie des groupes, anneaux, corps, qui s"est prin- cipalement dévelopé sous l"impulsion de problèmes de théorie des nombres. La TN a ceci de paradoxal que la plupart de ses problèmes peuvent être énoncés de manière tout à fait élémentaire, mais que les outils nécessaires pour leur résolution (quand on les résoud!) sont en général très sophistiqués. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu d"un certain nombre de problèmes ouverts, dans certains cas des méthodes d"approche, et également des commentaires de nature plus philosophiques.2Introduction
La théorie des nombres (ou arithmétique) s"occupe principalement des propriétés des nombres entiers . Bien que son sujet d"étude soit tout à fait élémentaire, les outils qu"elle utilise proviennent de toutes les branches des mathématiques, sont souvent très profonds, et as- sez fréquemment les outils sont en fait créés dans le b utde résou dre des problèmes de théorie des nombres : l"un des exemples les plus frappants est la théorie des groupes, anneaux, corps, qui s"est prin- cipalement dévelopé sous l"impulsion de problèmes de théorie des nombres.La TN a ceci de paradoxal que la plupart de ses problèmes peuvent être énoncés de manière tout à fait élémentaire, mais que les outils nécessaires pour leur résolution (quand on les résoud!) sont en général très sophistiqués. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu d"un certain nombre de problèmes ouverts, dans certains cas des méthodes d"approche, et également des commentaires de nature plus philosophiques.3Problème Infaisable (1)
Bien évidemment, les problèmes ouverts interessants sont innom- brables, et il faut donc faire une sélection. La mienne ne sera évi- demment pas la même que celle d"un collègue. Le problème de la "normalité". Considérons un nombre réel qui ap- parait naturellement en mathématiques, tel quep2,,e, etc... On l"écrit en décimal (toute autre base ferait l"affaire). Par exemple Il est naturel de penser que chaque chiffre apparait avec la même pro- babilité de1 =10, chaque séquence de2 chiffres a vecla probabilité de
1=100, etc... Et pourtant on ne saitr iendémontrer à ce sujet. Comme p2est irr ationnel,les décimales ne peuv entpas être pér iodiquesà
partir d"un certain rang, ce qui exclut en particulier le fait qu"à partir d"un certain rang on n"ait qu"un seul chiffre. Par contre rien n"empêche qu"à partir d"un certain rang il n"y ait que des 8 et des 9 par e xemple.Commentaire :
4Problème Infaisable (2)
Le problème des grands écarts entre deux nombres premiers consé- cutifs : étant donnéx, quelle taille doit on prendre pouryen fonction dexpour être sûr que pourxassez grand il y ait un nombre premier dans l"intervalle[x;x+y]? Un résultat élémentaire (le "postulat de Bertrand") affirme quey=xconvient : il y a toujours un premier entre xet2 x. Ceci a été grandement amélioré avec des méthodes toujours plus sophistiquées, et le record actuel dû à Baker-Harman-Pintz est y=x0:525.En admettant l"h ypothèsede Riemann, qui est l"une des plus célèbres conjectures des mathématiques (voir plus loin), on peut montrer quey=x1=2=pxconvient. Et pourtant! On pense qu"en véritéy=1:5log2(x)devrait convenir. Commentaire :4Problème Infaisable (2)
Le problème des grands écarts entre deux nombres premiers consé- cutifs : étant donnéx, quelle taille doit on prendre pouryen fonction dexpour être sûr que pourxassez grand il y ait un nombre premier dans l"intervalle[x;x+y]? Un résultat élémentaire (le "postulat de Bertrand") affirme quey=xconvient : il y a toujours un premier entre xet2 x. Ceci a été grandement amélioré avec des méthodes toujours plus sophistiquées, et le record actuel dû à Baker-Harman-Pintz est y=x0:525.En admettant l"hypothèse de Riemann, qui est l"une des plus célèbres conjectures des mathématiques (voir plus loin), on peut montrer quey=x1=2=pxconvient. Et pourtant! On pense qu"en véritéy=1:5log2(x)devrait convenir. Commentaire :5Nombres Premiers, encore
Si on s"occupe maintenant depetits écar tsentre nombres premiers , la situation change radicalement, bien que de nombreux et célèbres problemes subsistent. Le plus connu est celui des nombres premiers jumeaux : e xiste-t-ilune infinité de couples de nombres premiers (p;p+2), dits jumeaux? Cette fois ci ce n"est plus un problème infaisable
et on sait beaucoup de choses (mais on ne connait toujours pas la réponse). Le meilleur résultat, dû à Chen dans les années 60, est qu"il existe une infinité de nombres premiersptels quep+2ait au plus deux f acteurspremiers .On connait aussi depuis longtemps u ne estimation précise, évidemment aussi conjecturale, du nombre de ju- meaux(p;p+2)avecpX. Le problème de Goldbach. Tout nombre pair (supérieur à4 ) est-il la somme de deux nombres premiers? C"est un problème très voisin du précédent, les mêmes méthodes s"appliquent avec les mêmes résul- tats. Ce qui est frustrant c"est que le nombre de décompositions en somme de deux premiers devient très vite grand, mais on ne sait pas démontrer qu"il est non nul!5Nombres Premiers, encore
Si on s"occupe maintenant depetits écar tsentre nombres premiers , la situation change radicalement, bien que de nombreux et célèbres problemes subsistent. Le plus connu est celui des nombres premiers jumeaux : e xiste-t-ilune infinité de couples de nombres premiers (p;p+2), dits jumeaux? Cette fois ci ce n"est plus un problème infaisable
et on sait beaucoup de choses (mais on ne connait toujours pas la réponse). Le meilleur résultat, dû à Chen dans les années 60, est qu"il existe une infinité de nombres premiersptels quep+2ait au plus deux f acteurspremiers .On connait aussi depuis longtemps u ne estimation précise, évidemment aussi conjecturale, du nombre de ju- meaux(p;p+2)avecpX.Le problème de Goldbach. Tout nombre pair (supérieur à4 ) est-il la somme de deux nombres premiers? C"est un problème très voisin du précédent, les mêmes méthodes s"appliquent avec les mêmes résul- tats. Ce qui est frustrant c"est que le nombre de décompositions en somme de deux premiers devient très vite grand, mais on ne sait pas démontrer qu"il est non nul!6Problèmes Diophantiens
A partir de maintenant, je ne vais mentionner que des problèmes d io- phantiens , c"est à dire essentiellement des équations que l"on sou- haite résoudre en nombres entiers ou rationnels. Attention! entier si- gnifie toujours entier relatif . Dans les problèmes précédents, du moins ceux qui ne sont pas infaisables, l"outil principal est l"analyse. Pour les équations diophantiennes on utilise en plus de l"algèbre et de la géométrie algébrique. La géométrie algébrique est un outil extrêment puissant (et également très sophistiqué, lire difficile) qui permet d"obtenir de remarquables ré- sultats dans beaucoup de domaines de la TN, mais aussi qui permet d"obtenir (facilement cette fois) une estimation intuitiv e de la difficul té d"un problème. P are xemple,pour ceux qui connaissent la notion, la difficulté d"une équation diophantienne donnée par une courbe se me- sure à son genre : en genre supér ieurou égal à 2 le prob lèmeest très difficile voire infaisable, en genre 1 on peut espérer résoudre le problème (sans garantie), en genre 0 le prob lèmeest f acileet m ême algorithmique.6Problèmes Diophantiens
A partir de maintenant, je ne vais mentionner que des problèmes d io- phantiens , c"est à dire essentiellement des équations que l"on sou- haite résoudre en nombres entiers ou rationnels. Attention! entier si- gnifie toujours entier relatif . Dans les problèmes précédents, du moins ceux qui ne sont pas infaisables, l"outil principal est l"analyse. Pour les équations diophantiennes on utilise en plus de l"algèbre et de lagéométrie algébrique.La géométrie algébrique est un outil extrêment puissant (et également
très sophistiqué, lire difficile) qui permet d"obtenir de remarquables ré- sultats dans beaucoup de domaines de la TN, mais aussi qui permet d"obtenir (facilement cette fois) une estimation intuitiv e de la difficul té d"un problème.Par exemple, pour ceux qui connaissent la notion, la difficulté d"une équation diophantienne donnée par une courbe se me- sure à son genre : en genre supér ieurou égal à 2 le prob lèmeest très difficile voire infaisable, en genre 1 on peut espérer résoudre le problème (sans garantie), en genre 0 le prob lèmeest f acileet m ême algorithmique.6Problèmes Diophantiens
A partir de maintenant, je ne vais mentionner que des problèmes d io- phantiens , c"est à dire essentiellement des équations que l"on sou- haite résoudre en nombres entiers ou rationnels. Attention! entier si- gnifie toujours entier relatif . Dans les problèmes précédents, du moins ceux qui ne sont pas infaisables, l"outil principal est l"analyse. Pour les équations diophantiennes on utilise en plus de l"algèbre et de lagéométrie algébrique.La géométrie algébrique est un outil extrêment puissant (et également
très sophistiqué, lire difficile) qui permet d"obtenir de remarquables ré- sultats dans beaucoup de domaines de la TN, mais aussi qui permet d"obtenir (facilement cette fois) une estimation intuitiv e de la difficul té d"un problème.Par exemple, pour ceux qui connaissent la notion, la difficulté d"une équation diophantienne donnée par une courbe se me- sure à son genre : en genre supér ieurou égal à 2 le prob lèmeest très difficile voire infaisable, en genre 1 on peut espérer résoudre le problème (sans garantie), en genre 0 le prob lèmeest f acileet m ême algorithmique.7La ConjectureabcProbablement l"équation diophantienne la plus importante, car elle
donne la solution à beaucoup d"autres (par exemple au célèbre "grand théorème de Fermat", démontré par Wiles), est la conjecture abc, due à Masser-Oesterlé. Définissons le r adicalRad (N)d"un entierN
comme le produit des nombres premiers divisantN. Par exemple, le radical dep1000est égal àpsipest premier. Le radical de1728 estégal à
6 . Mais ceci sont des exceptions, et en général le radical de Nn"est pas beaucoup plus petit queN(il est mêmeégal à NsiN est sans f acteurcarré , ce qui se produit avec une probabilité de 6 =2, supérieure à60 %).
La conjectureabcest la suivante : sia,bsont premiers entre eux et si on posec=a+b, alors le radical du produitabcne peut pas etre beaucoup plus petit que le maximum dejaj,jbj, oujcj(on exclut bien sur les cas triviaux oùabc=0). Plus précisément Rad(abc)>max(jaj;jbj;jcj)1"pour tout" >0. Commentaire :7La ConjectureabcProbablement l"équation diophantienne la plus importante, car elle
donne la solution à beaucoup d"autres (par exemple au célèbre "grand théorème de Fermat", démontré par Wiles), est la conjecture abc, due à Masser-Oesterlé. Définissons le r adicalRad (N)d"un entierN
comme le produit des nombres premiers divisantN. Par exemple, le radical dep1000est égal àpsipest premier. Le radical de1728 estégal à
6 . Mais ceci sont des exceptions, et en général le radical de Nn"est pas beaucoup plus petit queN(il est mêmeégal à NsiN est sans f acteurcarré , ce qui se produit avec une probabilité de 6 =2, supérieure à60 %).La conjectureabcest la suivante : sia,bsont premiers entre eux et
si on posec=a+b, alors le radical du produitabcne peut pas etre beaucoup plus petit que le maximum dejaj,jbj, oujcj(on exclut bien sur les cas triviaux oùabc=0). Plus précisément Rad(abc)>max(jaj;jbj;jcj)1"pour tout" >0. Commentaire :8La Conjecture de Hall
Un cas par ticulier de abcest la conjecture dite de Hall. Ce cas par- ticulier est important car réciproquement, elle entraine "presque" la conjecture générale. La conjecture de Hall est la suivante : étant don- nésxetytels quey2x36=0,jy2x3jne peut pas être beaucoup plus petit que la racine carrée dex, plus précisément le rapport r=x1=2jy2x3j doit être majoré parx"pour tout" >0. Ce qui est amusant avec cette conjecture est qu"elle est facilement testable sur ordinateur. On sait querpeut être plus grand que1 :035 infiniment souvent (c"est le meilleur résultat connu). On appelle donc exemple de "bonne qualité" tout couple(x;y)tel quer>1:035. On ne connait que 39t elscouples : leur rech ercheest un e xerciceam usant.
Commentaire :
8La Conjecture de Hall
Un cas par ticulier de abcest la conjecture dite de Hall. Ce cas par- ticulier est important car réciproquement, elle entraine "presque" la conjecture générale. La conjecture de Hall est la suivante : étant don- nésxetytels quey2x36=0,jy2x3jne peut pas être beaucoup plus petit que la racine carrée dex, plus précisément le rapport r=x1=2jy2x3jdoit être majoré parx"pour tout" >0.Ce qui est amusant avec cette conjecture est qu"elle est facilement
testable sur ordinateur. On sait querpeut être plus grand que1 :035 infiniment souvent (c"est le meilleur résultat connu). On appelle donc exemple de "bonne qualité" tout couple(x;y)tel quer>1:035. On ne connait que 39t elscouples : leur rech ercheest un e xerciceam usant.
Commentaire :
9Equations Superfermat (1)
Nous en arrivons maintenant à des équations plus spécifiques. Main- tenant que le grand théorème de Fermat est résolu (!!!) on peut s"in- teresser à l"équation superfermat qui est la généralisation suivante : x p+yq=zr avecp,q,rentiers supérieurs ou égaux à2 , éventuellement différents. Il faut absolument supposer en plus quex,yetzsont sans facteurs communs (ce n"est pas nécessaire pour Fermat par homogénéité). Exercice facile :Trouver une infinité de solutions (avecx,yetzavec facteurs communs) de l"équationz7=x3+y5.9Equations Superfermat (1)
Nous en arrivons maintenant à des équations plus spécifiques. Main- tenant que le grand théorème de Fermat est résolu (!!!) on peut s"in- teresser à l"équation superfermat qui est la généralisation suivante : x p+yq=zravecp,q,rentiers supérieurs ou égaux à2 , éventuellement différents.Il faut absolument supposer en plus quex,yetzsont sans facteurs
communs (ce n"est pas nécessaire pour Fermat par homogénéité). Exercice facile :Trouver une infinité de solutions (avecx,yetzavec facteurs communs) de l"équationz7=x3+y5.