[PDF] Exercices corrigés sur les « complexes

Exercices corrigés sur les « complexes

Exercice 1 : Forme algébrique Mettre sous forme algébrique z= a+ibavec a;b2R les complexes suivants : 1 z 1 = 1+2i 3 4i C’est une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur le complexe conjugué du dénominateur pour se ramener à dénominateur positif z 1 = 1+2 i 3 4i 3+4 3+4i = (1+2i)(3+4i) j3 4ij2 = =5+10i 25 1+2i 5 2 z 2

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Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suianvts : 3+6i 3 4i 2+5i 1 i + 2 5i 1+i Nombre de module 2 et d'argument ˇ=3 Nombre de module 3 et d'argument ˇ=8 Exercice 2 Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = 3+3i z 2 = 1 p 3i z 3 = 4 3 i z 4 = 2 z 5 = 1+i p 3 p 3 i z 6 = ei +e2i où 2R Exercice 3

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Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : (1+3i)(5 2i) (2 4i)2 (3+2i)2 (5+i)2 1 3 4i 3+6i 3 4i Nombre de module 2 et d'argument ˇ=3 Nombre de module 3 et d'argument ˇ=6 Exercice 2 Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = 3+3i z 2 = 1 p 3i z 3 = 4 3 i z 4 = 2 z 5 = 1+i p 3 p 3 i Exercice

Terminales option maths expertes 2020 / 21 Mardi 6 octobre 2020

Calculer (en détaillant) et mettre sous forme algébrique : 1) z1+z2 2) z1z2 3) z 1 z2 4) z2 5) z2 3 6) 1 z1 + 1 z2 Exercice 2 −−− 3333 ptsppttsspts

Cours de maths S/STI/ES - Nombres complexes

deux nombres complexes Mettre et ′ sous forme exponentielle Nous avons déjà montré que = (3???? 4)+???? ???? (3???? 4) et ′=5( (???? 3)+???? ???? (???? 3)) D’où : =???? 3???? 4 ???? et ′=5???? ???? 3 ???? Autre exemple : soit =12???? 11???????? 6 un nombre complexe Mettre sous forme algébrique

Forme algébrique des nombres complexes

Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires Pour tous REELS a et b, a+ib =0 ⇔a =b =0 Pour tous REELS a, a′, b et b′, a+ib =a′ +ib′ ⇔a =a′ et b =b′ Opérations dans C Addition des complexes

Pascal Lainé - Licence de mathématiques Lyon 1

Pascal Lainé 5 3 En déduire cos(????12) et sin(????12) Allez à : Correction exercice 21 : Exercice 22 : 1 Donner les solutions de : 4=−4 Sous forme algébrique et trigonométrique

Epreuve écrite - PREMIERELU

Mettre les résultats sous forme algébrique b) Mettre zi=− −3 sous forme trigonométrique et en déduire les formes trigonométriques des racines carrées de z c) En déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 7 12 π 3) Mettre −+22i et 13+i sous forme trigonométrique En déduire 2007 22 13 i i −+ + Mettre le résultat

Nombres complexes : Forme Trigonométrique

III) Passage d’une forme à l’autre Le module de L E est la distance OM qui est égale à ¥ Û E Û Donc = ¥ Û E Û Cette égalité permet de d’obtenir des formules entre les deux formes 1) Théorème Soit un nombre complexe non nul de forme algébrique L E et de forme trigonométrique z = [ r ; ]

TD 3 Nombres complexes

Exercice7 : Mettre sous forme exponentielle les deux termes de la somme pour obtenir une expression de la formeeiθ +eiθ′ Dans undeuxièmetemps,onremarque que eiθ + e iθ′ = e (1 + eiα), avec α = θ′ − θ On peut alors factoriser par l’angle moitié Exercice9 : 1 Utiliser z2 = zz 2 Élever au carré

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23 octobre 2019

Exercices corrigés sur les "complexes»

Exercice 1 : Forme algébrique

Mettre sous forme algébriquez=a+ibaveca;b2Rles complexes suivants :

1.z1=1+2i34iC"est une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur le complexe conjugué

du dénominateur pour se ramener à dénominateur positif.z1=1+2i34i3+4i3+4i=(1+2i)(3+4i)j34ij2=

5+10i25

=1+2i5

2.z2=11+5i1i+115i1+iOn réduit tout le monde au même dénominateur(1+i)(1i)qui a le bon

goût d"être réel.z2=(11+5i)(1+i)(1i)(1+i)+(115i)(1i)(1+i)(1i)=6+16i2 +616i2
=122 = 6

3.z3=1+i3i

2.On peut adopter deux approches : (i) mettre 1+i3isous forme algébrique avant

de l"élever au carré ou (ii) l"élever au carré avant de le mettre sous forme algébrique (en

se ramenenant à un numérateur réel). On va adopter l"approche (i) : mettre

1+i3isous forme

algébrique (en se ramenant à un numérateur réel) puis l"élever au carré.

1+i3i=(1+i)(3+i)(3i)(3+i)=

2+4i10

=1+2i5 et on a doncz3=1+2i5 1+2i5 =3+4i25

4.z4=12

+ip3 2

Déjà sous forme algébrique

5.z5=21ip7

On se ramène à un dénominateur réel en multipliant par le complexe conjugué : z

5=21ip7

1+ip7 1+ip7 =2(1+ip7) 8 =1+ip7 4

6.z6=(1+i)9(1i)5.On commence par ca lculer(1 +i)9et(1i)5. On remarque que(1 +i)2= 2i,

(1+i)3= 2i(1+i) =2+2i=2(1i). On a donc(1+i)9= [(1+i)3]3=8(1i)3. z

6se simplifie donc enz6=8(1i)2. Comme(1i)2=2i, on az6=4i

=4i. RemarqueOn peut résoudre l"exercice plus simplement en notant que1 +i=p2ei=4et

1i=p2ei=4d"où on tire aisémentz6=(p2)

9e9i=4(

p2)

5e5i=4= (p2)

4e14i=4= 4ei=2=4i

8.z8=(1+11i)21i=(1+11i)2(1+i)j1ij2=12

(120 + 22i)(1 +i) = (60 + 11i)(1 +i) =71 + 59i

9.z9= 2e2i=3= 2cos(2=3) + 2isin(2=3) =1 +ip3

10.z10=2ei=4e

3i=4= 2ei=2

11.z11= 2ei=4e3i=4= 2ei=2=2i

12.z12=2ei=33e5i=6=23

e3=6=23 e=2

Exercice 2 : Forme exponentielle

Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :

1.z1=1+i1i.On commence par mettre 1 +isous forme exponentielle en faisant apparaître son

module :1 +i=p2 1p2 +i1p2 =p2[cos(=4) +isin(=4)] =p2ei=4. On montre avec un raisonnement similaire que1i=p2ei=4et on déduitz1=p2ei=4p2ei=4=ei=2

2.z2= 1 +ip3= 2

12 +ip3 2 = 2[cos(=3) +isin(=3)] = 2ei=3 1

3.z3=21+iOn repart du résultat intérmédiaire de la question 1 :1 +i=p2ei=4et on note que

2 = 2eipour déduire le résultatz3=2eip2ei=4=p2ei3=4

4.z4=1+ip3p3+iOn repart du résultat de la question 2 :1 +ip3 = 2ei=3et on montre de manière

analogue quep3 +i= 2ei=6. On en déduitz4=2ei=32ei=6=ei(3 6 )=6

5.z5= sin(x) +icos(x).z5ressemble à une forme exponentielle mais n"en est pas une, il faut

ducospour la partie réelle et dusinpour la partie imaginaire. Qu"à cela ne tienne, on sait que sin(x) = cos(=2x)etcos(x) = sin(=2x)(faites un dessin sur le cercle trigo pour vous en convaincre). On a doncz5= cos(=2x) +isin(=2x) =ei(2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2