[PDF] Les grands ensembles de nombres

ENSEMBLES DE NOMBRES - Maths & tiques

5 Nombres réels L'ensemble des nombres réels est noté ℝ C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde Exemples : 2, 0, -5, 0 67, 1 3, 3 ou π appartiennent à ℝ 6 Ensemble vide Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅ 7 Symbole d’exclusion

Chapitre 1 Les ensembles de nombres

On étend alors Q à l’ensemble des nombres réels, qu’on désigne par R R est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent s’écrire en base 10 Exercices 7 à 10 Remarques 1) On a: N ⊂Z ⊂Q ⊂R 2) L’ensemble des nombres réels peut être représenté par l’ensemble des points d’une droite

ENSEMBLES DE NOMBRES - univ-angersfr

Insuffisances de É: Dans É, les nombres n'ont pas d'opposé (sauf 0) ni d'inverse (sauf 1) III Les entiers relatifs Î Définition: L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté Î, est constitué des entiers positifs et négatifs

Les grands ensembles de nombres

Les grands ensembles de nombres Ce chapitre étudie les grands ensembles de nombres sur lesquels sont basées les mathé-matiques Certains de ces ensembles seront familiers, d’autres nouveaux À l’exception d’un ensemble (les entiers modulo n), les autres sont imbriqués les uns dans les autres : le premier

1 Ensemble des nombres entiers naturels

Sup Tsi - Cours de math´ematiques VIII Ensembles de nombres Propri´et´e 9 On consid`ere deux ensembles finis E et F alors l’ensemble F(E,F) des applications de E dans F est un ensemble fini et Card(F(E,F)) = Card(F)Card(E) D´emonstration Hors programme Exercice 14 D´eterminer les ´el´ements de F(J1,2K,J1,3K) Exercice 15

Exercices sur le chapitre 1 - Serveur de mathématiques

Les ensembles de nombres Exercice 1 (1) Faire un diagramme de Venn des ensembles , , et et placer sur ce diagramme les nombres 8 ; 45 12; 0 ; 4,017 ; 24 49 9 3; 10 100; 0,2 4 (2) Calculer et placer sur ce diagramme : a l’inverse du double de la somme de 3 et de 5 b l’opposé du carré de la différence de 4 et de 9 c

L’ensemble des nombres réels R - MATHEMATIQUES

Les nombres à droite de O (les nombres positifs) permettent de mesurer n’importe quelle longueur b O M x b −→ i L’ensemble Rest muni d’une addition +et d’une multiplication × telles que Théorème 1 (R,+,×)est un corps commutatif On a déjà expliqué qu’ils existe différents types de nombres réels

LES NOMBRES RATIONNELS

Ordonner un ensemble de nombres rationnels, sous la forme de fractions ou de nombres décimaux, en les plaçant sur une droite numérique verticale ou horizontale, par exemple : 3 5; –0,666 ; 5 ; 0,5; - 5 8 Identifier un nombre rationnel situé entre deux nombres rationnels donnés

Ensemble C des nombres complexes

Il existe un ensemble noté C, de nombres appelés nombre complexe , tel que : C contient IR ; C est muni d’une addition et d’une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les même que dans IR Il existe dans C un nombre non réel , noté i , vérifiant i2 1;

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Chapitre3

Lesgrandsensembles denombres

Cechapitre étudielesgrandsensemblesde nombressur lesquelssontbasées lesmathé- matiques.Certainsde cesensemblesser ontfamiliers,d'autr esnouveaux.À l'exceptiond'un ensemble(les entiersmodulon),lesautr essontimbriqués lesunsdanslesautr es:le premier apparaîtcommeun sous-ensembledu second,lesecond dutroisième, etc. Maispourquoi étudier"encore»ces ensemblesquisont bienconnus? Lesrevoirunaprès l'autrepermetdecompr endrece quelenouvel ensembleapporteparrapportauprécédent. L'introductiondechacunpermetaussidese familiariseravecde nouvellesconstructions ma- thématiquesetcompr endreles propriétésfondamentalesquicaractérisentcesensembles.Ila fallubeaucoupde tempspourr econnaître cespropriétés fondamentaleset c'estleXXesiècle quiar egroupé cespropriétésen"structuresmathématiques »quiaujour d'huiportentles nomsdegroupes,anneaux,corps,etc.Le chapitrenotera aupassageces structuresquiseront étudiéesplus enprofondeur dansunchapitr eultérieur.

3.1Lesentiers naturels

axiomatique,postulel'existence decetensemble avecuncertain nombre depropriétés. Cette approche,quecechapitre présente,estdue aumathématicienitalien Peano 1 etau mathémati- cienallemandDedekind 2 .Uneseconde approchepart del'ensembledes nombresréelsR,au préalableconstruit paruneaxiomatiqueappropriée, puisdéfinitNcommeétant lepluspetit sous-ensembleinductifde R,c'est-à-dir elepluspetit(ausens del'inclusion)vérifiant lefait quesessous-ensembles nonvides contiennenttoujoursun pluspetitélément. (Cettepropriété n'estpasvérifiée pard'autres ensemblesdenombr es,parexemple l'ensembledesnombresra- tionnels.Cetensemble possèdeunsous-ensemble ,celuides rationnelspositifs, quine contient pasdeplus petitélément.)

1.GiuseppePeano (1858-1932).Mathématicienitalien. Sesaxiomesont étépubliésen 1889.

2.Richard Dedekind(1831-1916).Undesconcepteurs(notamment avecCantor)de lathéorie modernedesen-

sembles. 47

48CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

Nousaurons besoindesconceptssuivants:

Rappel

•fonction,fonction injective. L'ensembledesentiers naturels(ouentiers nonnégatifs)N={0,1,2,3,...}peutêt reconstruit àpartird'une courtelisted'axiomes. Cesaxiomes,appelés axiomesdePeano ,onteu unimpact majeursurle développementaxiomatiquedes mathématiquesactuelles. Lesvoici. Définition5(Lesaxiomesde Peano).Ilexisteun ensembleNmunid'une fonctions:N!Nayant lespropriétés suivantes: (P1)Ilexisteun élément0!Ntelque0"=s(n)pourtoutn!N. (P2)Lafonctionsestinjective. (P3)(Axiomederécurr ence).T outsous-ensembleEdeNcontenant0ettelque s(n)!Esin!E coïncideavecN. Lapair e(N,s)estappeléele systèmedesentiers naturels. Lafonctionsestappelée lafonction" successeur».A veclesnoms etcaractèresusuelspour leséléments decetensembleN(0=zéro,1=un,2=deux,...),la fonctionsuccesseur donne s(0)=1,s(1)=2,s(2)=3,et ainsidesuite. Ainsis(n)estl'entiersuivant n.Les deuxpremi ers axiomespeuventêtr emisen motscommesuit.L'axiome(P1) énoncequel'entier 0estle seul élémentdeNàne pasavoirde prédecesseur(ouencor enesuit aucunautr eélémentde N). (L'unicitédel'entier n'ayantpasde prédécesseurestdémontréecommesuit.Supposons 0un élémentdistinctde 0pourlequelil n'existeaucun n!Ntelques(n)=

0.Alorsl'ensemble

E#NdéfiniparE={0,s(0),s(s(0)),...}contient0etsatisfaitdonc auxconditions énoncées dans(P3).Cependant Enecontientpas

0etnepeut doncpascoïncider avecN.Doncun tel

élément

0nepeut existerdansN.)L'axiome (P2)ditque,simetnontle mêmesuccesseur

(s(m)=s(n)),alorsils sontégaux (m=n).Mais,attention, lesnomsusuels (zéro,un, deux,...)

nesontpas nécessaires ;lenom d'unseulélémentestfixé,l'élément0.(Dansd'autr esversions,

cenomdemeur elibr e.)L'exercice1montr eraquelapaire(N,s)peutcorrespondr eàd'autres ensembles.Lafonction successeurpeutêtr evisualiséepar l'utilisationdeflèches, uneflèche a!bindiquantques(a)=b.Ainsi

012345678

Ledernieraxiome (P3)mèneau principed'induction.

Théorème1. Soitunensemble d'énoncéslogiques{p(n),n!N}étiquetésparles élémentsdel'en-

semble(N,s).Alors,si (i)p(0)estvraieet

3.1.LESENTIERS NATURELS49

(ii)p(n)estvraie"p(n+1)estvraie, alorsp(n)estvraie pourtoutn!N,c'est-à-dire l'ensembledevéritédepesttoutN. Preuve.SoitEl'ensembledes entiersnpourlesquels lesénoncésp(n)sontvrais:

E={n|p(n)estvrai}.

L'hypothèse(i)affirmequeEcontientl'élément 0;l'hypothèse(ii),elle,dit quesinestdansE (c'est-à-diresip(n)estvrai),alors n+1yest aussi(c'est-à-dire quep(n+1)estvrai).Donc l'ensembleEsatisfaitl'énoncéde l'axiome(P3)et estdoncl'ensemble Nenentier :E=N.Ainsi l'énoncélogiquep(n)estvraipour touslesn!N. Voicimaintenantlaconstruction despr opriétésdel'e nsembledesnombresnaturels (N,s) telquedéfini àpartir desaxiomesde Peano.Cetteméthode (appeléelaméthode axiomatique) trouvesesorigineschezEuclide. Lapreuve decespr opriétésestparfois longue; nousendon- neronsunexemple.Parla suite,l'ensembledes naturelssera notésimplementN,mêmesi la fonctionsuccesseursjoueraun rôlefondamentaldans lesdéfinitionsde +et$. L'addition - Soitaunélémentde Ndifférentde0(doncautre quel'élémentminimal). L'axiome(P3)montreque aestlesuccesseur d'unélémentb(a=s(b)).L'élément bestappelé l'antécédentoule prédécesseurdeaetestnoté a!1.Remarquer quecetteécriture n'apas desenssi a=0,puisquece derniern'apas d'antécédent(n'estle successeurd'aucunnatur el d'après(P1)). Étantdonnédeu xentiersnatur elsaetn,l'addition estdéfiniepar récurrencecomme suit: - sin=0:a+n=a; - sin"=0:a+n=s(a+(n!1)). Ainsi,si lesuccesseurde aestnoté a+1,l asommea+nconsisteàpr endrenfoisle successeur dea; a+n=s(a+(n!1))=s(s(a+((n!1)!1))) =...=s(s(...(s(a+(0))...))) =s(s(...(s( nfois a)...)))=(( ...((a+1)+1)...)+1)) nfois Proposition2.L'opérationd'addition+surNalespr opriétéssuivantes: (i)0estunneutr e:0+a=a+0=a; (ii)communativité: a+b=b+a; (iii)associativité:(a+b)+c=a+(b+c); quivalentpour tousleséléments a,b,c!N.

50CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

Preuve.Soitp(n),n!N,les énoncéslogiquesn+0=0+n=n.Montrer que0estun élément neutrepourl'opération+consisteà montrerla véracitédesénoncésp(n),pourtout n!N. L'énoncép(0)(quidit0+0=0+0=0)estvrai puisqu'unnombre esttoujourségal àlui-même etparla définitiondea+nlorsquen=0.Supposonsmaintenant quel'énoncépour nsoit vrai:p(n)estvrai,c'est-à-dir e0+n=n+0=n.Étudionsles deuxmembr esdel'égalité del'énoncép(n+1).D'abord l'égalitédedroitesuitde lapremièr elignede ladéfinitionde l'addition:(n+1)+0=n+1.L'égalité degauchesedéveloppecommesuit :

0+(n+1)=s(0+n)

=s(n+0)=s(n)=n+1 où"!»indiquel'utilisation del'hypothèsed'induction (p(n)estvrai).Donc (n+1)+0=

0+(n+1)=n+1estvraie sin+0=0+n=nl'est,ouencor e,p(n+1)estvraisi p(n)l'est.

Parleprincipe d'induction,tous lesénoncésp(n)sontvraiset l'élément0estdoncle neutr e pourl'addition. Lapr euveprécédenteaaussimontréque l'additionden'importe quelnombre avec0est commutative:0+n=n+0pourtoutn!N.Maisil restepas maldetravail pourmontrer lacommutativitéet l'associativitéde l'additionpourtous lesentiers.Nous lestiendrons pour acquises. Lamultiplication - Toutcommel'addition,lamultiplication estdéfiniepar récurrence.Soit a!Nunélément fixéquelconque.On définitl'opérationa·ncommesuit: - sin=0:a·n=0; - sin"=0:a·n=(a·(n!1))+a. Onnoteraque lamultiplication desentiersnatur elsn'estpas àpropr ementparlerune opéra- tionnouvelle.Elle estdéfinieà partirdel'addition. Lespropriétés quisuivent sontconnues.

Àpartirdes propriétésde l'additionénoncées danslethéorèmeprécédent,les preuvesdes

énoncésci-dessous sontplusfaciles. Nousendonnons unexemple. Théorème3.Letriplet(N,+,·)définici-dessouspossède lespropriétés : (i)s(0)=1estunneutr epour·:1·a=a·1=a; (ii)communativité:a·b=b·a; pourtousles élémentsa,b,c!N. Preuve.Soientp(n),n!N,les énoncéslogiques(a+b)·n=(a·n)+(b·n).L'énoncé p(0)est vraipuisque,par lapr emièrepartie deladéfinition de·,le membrede gauchedeceténoncé est0etlemembr ededr oiteest0+0quiest aussi0parla définitiondel'addition. Supposons

3.1.LESENTIERS NATURELS51

lavéracité dep(n!1).Alors (a+b)·n 1 =((a+b)·(n!1))+( a+b) 2 =(a·(n!1)+b·(n!1))+( a+b) 3 =[(a·(n!1))+ a]+[(b·(n!1))+b] 4 =a·n+b·n oùchacunedes étapesse justifiecommesuit :l'étape1estladéfinition dela multiplication parn,l'étape 2utilisel'hypothèsed'induction (l'énoncép(n)estvrai), l'étape3suitpar la

commutativitéetl'associativité del'addition(théorème 2)et,enfin, l'étape4utiliseànouveau

ladéfinitionde lamultiplication. L'exponentiation - L'exponentiationestuncasparticulier delamultiplication. Maisonpeut ladéfinirdir ectementparrécurr ence.Soitaunentiernatur eldif férentde0.Alorsle symbole a n estdéfinipar - sin=0:a 0 =1; - sin"=0:a n =(a n!1 )·a. Relationd'ordre surN - Danslaconstr uctionaxiomatique deN,la relationd'or drehabituelle %estformaliséecomme suit.Soita,b!N.On écrita%b(oub&a)s'ilexiste c!Ntelque a+c=b.Sia%beta"=b,on écritaa). Théorème4. L'ensembleNmunidela relation %estunensemble totalementordonné,c'est-à-dir e: (i)antisymétrie:si a%betb%a,alorsa=b; (ii)transitivité:si a%betb%c,alorsa%c; (iii)réflexivité:a%aet (iv)totalité:a%boub%a, pourtouta,betc. Preuve.Ànouveau,seules certainesde cespropriétés sontprouvées. Pourmontrer l'anti- symétrie,supposonsl'existence d'entierscetdtelsquea+c=betb+d=a.Alors a+(c+d)=b+d=aparl'associativitéde +.L'unicité duneutre(voirl'exer cice2(b)) im- pliquec+d=0.Sidn'estpas 0,alorsdpossèdeunprédécesseur et0=c+d=s(c+(d!1)). Cecimontr eque0possèdeun prédécesseur,une contradiction.Ainsid=0etc+0=0im- plique,ànouveau parl'unicité duneutre, quec=0.Donc a=b.La réflexivitésuitdu faitque

0estunélément deNetque x+0=x,c'est-à-dire quex%x.Pourla transitivité,lesr elations

a+(d+e)=(a+d)+e=b+e=cetdonc a%c. Leprincipedu bonordre - L'inductionmathématiqueest généralementjugéedifficileaupr e- mierabord, carellesembleêtreni intuitiveninatur elle.Pourtant,elle estéquivalente àun principe(ditdu bonor dre)qui, nonseulementest intuitif,maissembletellementnaturelque

52CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

d'aucunssedemandent pourquoi ilfautle démontrer.Onpourraitdonc prendre cedernier commeaxiomeet endéduire leprinciped'induction commethéorème. Théorème5(Principedu bonordr edeN).Toutsous-ensemblenonvidede Ncontientunplus petit

élément.

pasdeplu spetitélément. SoitEl'ensembledesentiers naturels quin'appartiennentpas àS, sontdansE». Clairementl'énoncép(0)estvraicar ,0étantle pluspetitélément deN,s'ilétait dansS,il seraitson pluspetitélément. Supposonsmaintenantque p(n)soitvrai: l'ensemble{0,1,...,n}estunsous-ensemble de E.Alorsn+1doitégalementêtr edans E,sinon ilseraitle pluspetitélément deSquin'a pasdeplus petitélémen t.Donc{0,1,...,n,n+1}estunsous-ensemble deEetp(n+1)est égalementvraie.Ainsi Eestun ensemblecontenant0etqui, s'ilcontientn,contient aussin+1. Pardéfinition deN,E=N.Cecientraîne queSestvide, cequiest contraireà l'hypothèse. Finalementnousénonçons sanspr euvel'équivalenceannoncée. Théorème6. Leprincipe d'inductionetle principedubon ordresont équivalents.

EXERCICES

1.Voicidesensembles(infinis)sur lesquelsunedéfinition d'unefonctions:N!Nestdessinée :

uneflècheallant deaàbsignifieques(a)=b.Laquelle decespair es(E,s)satisfontles troisaxiomesde(N,s)?Siune pairene satisfaitpasà ladéfinition,direquel(s)axiome(s) n'est (nesont)pas satisfait(s)?Attention :lessymboles utiliséspourétiqueterleséléments deces ensemblesEnedevraientpas vousinduire enerreur .Vous pouvezleschangeràvotr eguise. (a)

012345678

(b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3.1.LESENTIERS NATURELS53

(c)

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (d)

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (e) !4!3!2!101234

2.(a)Montreràpartirdela définitiondes entiersnaturels (N,s):soita,b,c!Nvérifianta+c=

b+c.Alorsa=b. (b)Utiliserlapr oposition2 pourmontrerque0estleseul élémentdeNquiestun neutre pour l'addition.(End'autr esmots,si

0!Netvérifie

0+n=n+

0=npourtout n!N,alors

0=0.)

3.Lethéorème3 énoncelespr opriétésduneutr e,dela commutativitéet del'associativitédela

multiplicationdes entierset,enfin, deladistributivité. Letextea donnélapr euvedela distri- butivitédela multiplicationpar ladroite d'unesomme.(Attention:lapr euven'a cependant pasmontréque c·(a+b)=c·a+c·bestvrai!) Montrerlesénoncéssuivants enutilisantque

laproposition 2etcequiaété déjàmontré(dans lesnotesou parvous !)pourla multiplication.

(a)Montrerque1·n=npourtoutn!N.Puismontr erque n·1=npourtoutn!N. (b)Ledéveloppementci-dessous montrela commutativitédela multiplication.Justifierpar l'énoncéappr opriéchacunedesétapes.Soitp(n)l'énoncéa·b=b·apourtout a,b%n.Les

54CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

énoncésp(0)etp(1)ontdéjàété établis.Soita+b%n.Sip(n!1)estvrai,alors a·b=a·(b!1)+a =(b!1)·a+a =((b!1)·(a!1)+(b!1))+a =(b!1)·(a!1)+(a+(b!1)) =((b!1)·(a!1)+1·(a!1))+b =((b!1)+1)·(a!1))+ bquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19