[PDF] Bases - unicefr

Chapitre 4 Vecteurs, bases et repères

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont paral- ils forment une base du plan vectoriel Alors on peut

Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel

vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de , c’est-à-dire une base de Les coordonnées de =( , , )∈ dans cette base sont les réels et Remarque: On voit sur cet exemple élémentaire qu’une base permet de représenter les

Bases - unicefr

pour trouver des vecteurs de E qui augmentent le rang du syst`eme, il suffit de les prendre dans une base de E Par exemple, si e 1 et e 2 sont deux vecteurs non proportionnels d’un sous-espace vectoriel E qui admet (b 1,b 2,b 3) comme base, alors l’un des trois syst`emes (e 1,e 2,b 1) ou (e 1,e 2,b 2) ou (e 1,e 2,b 3) est une base de E

Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

Exo7 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1 Montrer que les vecteurs v 1 = (0;1;1), v 2 = (1;0;1) et v 3 = (1;1;0) forment une base de R3 Trouver les composantes du vecteur w=(1;1;1) dans cette base (v

ESPACES VECTORIELS ET VECTEURS

Base de V := ensemble f~e 1;~e 2;:::gde vecteurs t q ils engendrent V, i e tout autre vecteur ~vs’ ecrit comme leur combinaison lin eaire : ~v= t 1~e 1 + t 2~e 2 + , ils sont lin eairement ind ependants La base n’est pas unique, mais toutes les bases ont le m^eme nombre d’ el ements Dimension de V: dimV := nombre de vecteurs d’une base

Terminale Spé math vendredi 27/11/2020

Pour montrer que deux vecteurs forment une base d’un plan, il faut montrer que ces vecteurs sont des vecteurs du plan et qu’ils ne sont pas colinéaires Pour montrer que trois vecteurs forment une base de l’espace, il faut montrer que ces vecteurs ne sont pas coplanaires

TD 3 Matrices inversibles et changements de bases

Montrer que ces vecteurs forment une base de R2 3 Déterminer la matrice B de f dans cette nouvelle base 4 a Calculer la matrice Bn pour tout entier n 2N b

mathsbdpfr Vecteurs, droites et plans de lespace

donc forment une base de l’espace D’après la relation de Chasles, ˘⃗ ⃗ ⃗ ˘⃗ donc a pour coordonnées ˘⃗B 1 1 1 C dans cette base Exemple : Déterminer si un triplet de vecteurs forment une base Soit ˙8,⃗9⃗,:⃗˝ une base de l’espace dans laquelle les vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗ ont pour coordonnées ⃗D 2 1 ˚1 F

Chapitre 4 Base et génératrice - univ-angersfr

2 Un système de n+1 vecteurs ou plus n’est jamais libre 3 Une base a exactement n vecteurs 4 Tout système libre se complète (facilement) en une base 5 De tout système générateur on peut constituer une base (avec ou sans combinaison linéaires) Ainsi, dans R2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires constituent une base Exemples

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Bases

D´edou

Octobre 2010

Base d"un sous-espace vectoriel

D´efinition

Une base d"un sous-espace vectoriel deRn, c"est un syst`eme

g´en´erateur libre de ce sous-espace vectoriel .Comme sous-espace vectoriel deRn, on aRntout entier, doncD´efinition

Une base deRn, c"est un syst`eme g´en´erateur libre deRn.

Bases deR2: exemplesExemples

Comme base deR2, on a la base canonique ((1,0),(0,1)) mais y en a plein d"autres, comme ((2,3),(4,5)).Ca s"´ecrit aussi en colonnes et ¸ca se dessine.

Toutes les bases deR2Proposition

a) Tout syst`eme de deux vecteurs non proportionnels deR2en est une base. b) Inversement toute base deR2est constitu´ee de deux vecteurs (non proportionnels).Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, est-ce qu"on a le temps?

Exo pour les surmotiv´es, `a rendre en td

a) D´emontrez a). b) D´emontrez b).

Bases deR3Proposition

a) Tout syst`eme libre de trois vecteurs deR3en est une base. b) Inversement toute base deR3est constitu´ee de trois vecteurs formant un syst`eme de rang trois.Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, est-ce qu"on a le temps?

Exo pour les surmotiv´es, `a rendre en td

a) D´emontrez a). b) D´emontrez b).Exo 0 `a consommer de suite

Donnez une base deR3.

Bases triangulaires sup´erieures deR3Le syst`eme (2 0 0) (4 3 0) (7 8 7) est une base deR3, puisque son rang est 3 (il est ´echelonn´e). Bases triangulaires inf´erieures deR3Le syst`eme (2 3 4) (0 7 6) (0 0 5) est une base deR3, sa matrice est triangulaire (inf´erieure).

Bases faciles deR3ILe syst`eme

(2 0 0) (1 7 6) (2 3 5) est une base deR3, car son rang est trois (facile).

Bases faciles deR3IILe syst`eme

(2 3 4) (1 0 6) (2 0 5) est une base deR3, car son rang est trois (facile).

Bases deRnProposition

a) Tout syst`eme libre denvecteurs deRnen est une base. b) Inversement toute base deRnest constitu´ee denvecteurs formant un syst`eme libre.Et ¸ca se d´emontre. Mais nous, on n"a pas le temps.

Bases canoniques

Proposition

La base canonique deRnen est bien une base.Et ¸ca se d´emontre. Et l`a, on prend le temps?

D´egraisser en base : le probl`eme

Probl`eme

On a un syst`eme g´en´erateur d" un sous-espace vectoriel, et on veut extraire de ce syst`eme une base.R´eponse

C"est toujours possible :

on ´elimine l"un apr`es l"autre ceux des vecteurs qui sont combinaisons lin´eaires des autres. Quand on a fini, le syst`eme obtenu est encore g´en´erateur deE, et en plus il est libre, donc c"est une base deE.

D´egraisser en base : exemple

Exemple

On poseE:= Vect((1,0,0,0),(1,1,0,1),(0,1,0,1)). On voit que le deuxi`eme vecteur est la somme des deux autres, qui ne sont pas proportionnels. DoncEest de dimension 2 et admet ((1,0,0,0),(0,1,0,1)) pour base.Exo 1

Donnez deux autres bases de cetE.

D´egraisser en base : exo

Exo 2 On poseE:= Vect((1,6,2,4),(0,3,0,2),(2,0,4,0)). Extrayez de ((1,6,2,4),(0,3,0,2),(2,0,4,0)) deux bases deE.

Bases d´egraiss´ees : conclusion

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