Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel
II – Dimension d’un espace vectoriel On arrive à la notion la plus importante du cours d’algèbre de cette année 1 Définitions Théorème fondamental : dimension et cardinal des bases Soit un espace vectoriel ≠{⃗ r } et engendré par vecteurs Alors toutes les bases de possèdent le même nombre d’éléments
Ch2 : Les espaces vectoriels - Pr Hakima Mouanis
4 3 Base d’un espace vectoriel 5 Espace de dimension fini 6 Théorème de la base incomplète 6 1 Théorème de la base incomplète
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
famille de l’espace des matrices sym´etriques carr ´ees de taille 2 Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension
Espaces vectoriels
La plupart du temps, pour montrer qu'un ensemble F est un espace vectoriel,on montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de référence Epar la caractérisation précédente: 1 On pose Eet on rappelle que c'est un espace vectoriel de référence 2 On montre que FˆE 3 On montre que 0 E2F
Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires
18 Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial ♪ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ˚2 On considère un sous-espace vectoriel F de dimen-sion p, avec 0 ˙p ˙n et G un supplémentaire de F 1)Soit a 2F et (ei)i2‡1,r une base de G a)Montrer que la famille (a ¯ei)i2‡1,r est libre
Cours 02 : Espaces Vectoriels Normés
Cours 02 : Espaces Vectoriels Normés 1 Cours 02 : Espaces Vectoriels Normés Dans tout ce chapitre, K sera le corps Rou C, et E sera un espace vectoriel sur K Nous allons chercher ici à transférer dans le cadre des espaces vectoriels la notion de limite
COLLE 22 Mathématiques
Dans un espace vectoriel E z ^0 E` et de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d’éléments Soit E un K - espace vectoriel de dimension n (n entier naturel non nul) Soit S une famille finie de vecteurs de E Les propositions suivantes sont équivalentes : a) S est une base de E b) S est une famille génératrice de E et
FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS
Proposition - définition 4 Soit Eun espace vectoriel de dimension net de base B= fe 1;:::;e ng; les formes linéaires coordonnées e i ( ou dx i) pour i= 1 à n, forment une base B de E appelée la base duale de B La base Best appelée la base anti duale ou pré duale de B Corollaire 5 dimE = dimE Démonstration
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
Soit un point dans l’espace ; ils existent deux points dans l’espace et tels que : u AB et ,les points , et étant non alignés, ils définissent un plan ( ) dans l’espace (ℰ) Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w AD tel ) ⊥( ) La base AB AC AD;; est directe
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1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿ