Espaces vectoriels - Claude Bernard University Lyon 1

corps K est dite base de V lorsqu’elle est libre et génératrice Par exemple la famille {(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)} est une base de R3 En eﬀet nous avons déjà vu que c’était une famille génératrice de R3; de plus le calcul que nous avons fait des coeﬃcients λ,µ,ν qui permettent d’obtenir (a,b,c)

Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel

On dit qu’une famille ℱ de est génératrice de si =???? (ℱ), i e tout vecteur ⃗ de est combinaison linéaire d’éléments de ℱ Définition de base Une famille ℱ de est une base de si et seulement si ℱ est libre et génératrice de 2 Bases et coordonnées

Algorithme de la base incomplète

Montrer que la famille ("1;"2) est libre et compléter celle-ci en une base de E Familles libres / génératrices en dimension ﬁnie HIII Exercice 4 SF 4 — Montrer que B=

1 (SOUS-)ESPACES VECTORIELS ET COMBINAISONS LINÉAIRES R

1) Montrer que la famille : X3 +X +1,X3 −2X +2,X2 +3X est libre et la compléter en une base de R4[X] 2) Montrer que la famille € (8,4,1,2),(1,3,0,5) Š est libre et la compléter en une base de R4 3) Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3 et (e1,e2,e3)une base de E On pose : ǫ1 =e1 +2e2 +e3 et ǫ2 =e2 −e3 Montrer que (ǫ1,ǫ2

1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel

3 Famille libre, liee,base´ M´ethode : Pour montrer qu’une famille a` n el´ ´ements est li ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que´ le nombre de pivots est < a` n; cela fournit en meme temps une base de l’espace ˆ Exercice 6 1) Montrez que la famille F = ((1,1,1,1),(2,1,−1,0),(4,3,1,2)) est liee, et trouver une base de´

Espaces vectoriels de dimension ﬁnie 1 Base

1 Pour montrer que la famille fv 1;v 2;v 3gest une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice (a)Montrons que la famille fv 1;v 2;v 3gest libre Soit une combinaison linéaire nulle av 1+bv 2+cv 3 =0, nous devons montrer qu’alors les coefﬁcients a;b;c sont nuls Ici le vecteur nul est 0 =(0;0;0) av 1 +bv 2 +cv 3